Алгебра октав

Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание- "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица. .

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как

,

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

.

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

Определение. Алгеброй октав называется алгебра , если:

I. Алгебра - альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов есть подтело алгебры ;

III. е² = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;

IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры , содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй .

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = {(u,v)|uK vK}, где К - множество кватернионов. По определению, (u₁;v₁) = (u₂;v₂) u₁ =u₂ v₁ = v_2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u₁;v₁) + (u₂;v₂) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂);

(u₁;v₁) * (u₂;v₂) = (u₁u₂ - v₂v₁ ; v₂ u₁ + v₁ ū₂)_.

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u₁;v₁) + (u₂;v₂)) + (u₃;v₃) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂) + (u₃; v₃) = ((u₁ +u₂) + u₃; (v₁ + v₂) + v₃) = (u₁ +(u₂ + u₃); v₁ + (v₂ + v₃)) = ((u₁; v₁) + (u₂+ u₃;v₂+ v₃) = (u₁; v₁) + ((u₂; v₂) + (u₃; v₃)),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u₁; v₁) + (u₂; v₂) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂) = (u₂ +u₁; v₂ + v₁) = (u₂; v₂) + (u₁; v₁),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0_U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁ +u₂ ; v₁ + v₂) (u₃; v₃) = ((u₁ +u₂) u₃ - ₃(v₁ + v₂); v₃(u₁+u₂)+ (v₁ + v₂)ū₃) = (u₁ u₃ +u₂ u₃ -₃v₁ - ₃v₂; v₃u₁+ v₃u₂+ v₁ ū₃ + v₂ū₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃) = (u₁u₃ -₃v₁; v₃u₁ + v₁ū₃)+(u₂ u₃ -₃v₂; v₃u₂+ v₂ū₃)=(u₁ u₃ -₃v₁ + u₂ u₃ -₃v₂; v₃u₁ + v₁ū₃ + v₃u₂+ v₂ū₃).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u₃; v₃) ((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) = (u₃; v₃) (u₂; v₂) + (u₃; v₃) (u₁; v₁).

Действительно, с одной стороны:

(u₃; v₃) ((u₁; v₁) + (u₂;v₂)) = (u₃; v₃) v (u₂+ u₁ ; v₁ + v₂) = (u₃ (u₁ +u₂); ()v₃;

(v₁+ v₂)u₃+ v₃())= (u₃ u₁ +u₃u₂ -₁v₃ - ₂v₃; v₁ u₃ +u₂ u₃+ v₃ū₁+ v₃ū₂);

с другой стороны:

(u₃; v₃) (u₁; v₁) +(u₃; v₃) (u₂; v₂) = (u₃ u₁ - ₁v₃;v₁ u₃ + v₃ū₁)+ (u₃ u₂ - ₂v₃;v₂ u₃ + v₃ū₂)= (u₃ u₁ -₁v₁ +u₃ u₂ -₂v₃; v₁ u₃ + v₃ū₁ +v₂ u₃ + v₃ū₂).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁ u₂ -₂v₁; v₂ u₁ + v₁ ū₂) (u₃; v₃) = ((u₁ u₂ - ₂v₁)u₃ -₃(v₂ u₁ + v₁ū₂);

v₃(u₁ u₂ - ₂v₁)- (v₂ u₁ + v₁ū₂) ū₃) = (u₁ u₂ u₃ - ₂v₁u₃ -₃v₂ u₁ -₃v₁ū₂; v₃u₁u₂ - v₃₂v₁ - v₂ u₁ ū₃ - v₁ū₂ ū₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₃; v₃)) = (u₁; v₁) (u₂u₃ - ₃v₂; v₃u₂ + v₂ū₃) = (u₁ (u₂u₃ - ₃v₂) – v₁;

v₁+ (v₃u₂ + v₂ū₃) u₁) = (u₁u₂u₃ - u₁₃v₂ –v₁ - u₃₂v₁; v₁- v₁₂v₃ + v₃u₂ u₁ + v₂ū₃ u₁).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₃; v₃) ≠ (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₃; v₃))

т.е. умножение в не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u₁;v₁) (u₂;v₂) = (u₁u₂ - ₂v₁ ; v₂ u₁ + v₁ ū₂);

(u₂;v₂) (u₁;v₁) =(u₂u₁ - ₁v₂ ; v₁ u₂ + v₂ ū₁).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u₁;v₁) (u₂;v₂) ≠ (u₂;v₂) (u₁;v₁)

т.е. умножение в не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₂; v₂))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁ u₂ - ₂v₁; v₂ u₁ + v₁ ū₂) (u₂; v₂) = ((u₁ u₂ - ₂v₁)u₂ -₂(v₂ u₁ + v₁ū₂);

v₂(u₁ u₂ - ₂v₁)- (v₂ u₁ + v₁ū₂) ū₂) = (u₁ u₂ u₂ - ₂v₁u₂ -₂v₂ u₁ -₂v₁ū₂; v₂u₁u₂ - v₂₂v₁ - v₂ u₁ ū₂ - v₁) = (u₁ u₂ u₂ - ₂v₁ (u_{2 +} ū₂)– |v₂|² u₁; v₂u₁ (u₂ + ū₂)- v₁- |v₂|²v₁) .

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₂; v₂)) = (u₁; v₁) (u₂ u₂ - ₂v₂; v₂ u₂ + v₂ ū₂) = (u₁(u₂ u₂ - ₂v₂) –()v₁;

v₁ () + (v₂ u₂ + v₂ ū₂) u₁) = (u₁u₂ u₂ - u₁₂v₂ –v₁ – u₂₂v₁;

v₁- v₁₂v₂ + v₂ u₂ u₁+ v₂ ū₂ u₁) = (u₁ u₂ u₂ - (u₂ + ū₂) ₂v₁ – u₁|v₂|²; (u₂ + ū₂)v₂u₁ + v₁- v₁|v₂|²).

Здесь следует учитывать, что ₂v₂ =v₂₂ = |v₂|² и u₂ + ū₂ - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u₂; v₂) ((u₂; v₂) (u₁; v₁)) = ((u₂; v₂) (u₂; v₂)) (u₁; v₁).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u₂; v₂) ((u₂; v₂) (u₁; v₁)) = (u₂; v₂) (u₂u₁ - ₁v₂; v₁ u₂ + v₂ ū₁) = (u₂(u₁ u₂ - ₂v₁) – v₂;

(v₁ u₂ - v₂ ū₁) u₂ + v₂ ) = (u₂u₁ u₂ - u₂₁v₂ –v₂ - u₁₂v₂; v₁u₂u₂ + v₂ ū₁ u₂ + v₂ - v₂₂v₁) = (u₂u₁ u₂ - u₁ |v₂|² - (u₂ + ū₂)₁v₂; v₁u₂u₂ + v₂ ū₁(u₂ + ū₂)- |v₂|² v₁).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u₂; v₂) (u₂; v₂)) (u₁; v₁) = (u₂ u₂ - ₂v₂; v₂ u₂ + v₂ ū₂) (u₁; v₁) = ((u₂ u₂ - ₂v₂) u₁ - ₁(v₂ u₂ + v₂ ū₂);

v₁(u₂ u₂ - ₂v₂) + (v₂ u₂ + v₂ ū₂) ū₁) = (u₂ u₂ u₁- ₂v₂ u₁ - ₁v₂ u₂ - ₁v₂ ū₂; v₁u₂ u₂ - v₁₂v₂ + v₂ u₂ ū₁ + v₂) = u₂ u₂ u₁ - ₁v₂(u₂ + ū₂) - |v₂|²u₁; v₁u₂ u₂ - v₁ |v₂|²+ v₂ ū₁ (u₂+ ū₂).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в решим уравнение:

(u; v) (x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0_и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:

(u; v) (х; у) = (u; v) (хu - y; уи + v) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1=,откуда:

(u^-1 u) x = u^-1v+ u^-1ux = v =1+ уи.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v(1+ уи) + уи = vv+ v уи+ уи = vуи+уи=0 (+1)уи=0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда = 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в .

В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0_Uи это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:

(х; у) (и; v) = (и: v) (хи - y; vх - уū) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1=, откуда:

x(uu^-1) = y+ u*u^-1 x = 1+ ₂yū,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+ ₂yū) + уū= vv + ₂ vyū + уū= vyū+ уū= 0 (+ 1)уū =0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в . Обозначим (1; 0) = 1_U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v) (х: у) = (1; 0) (их - v; уи+ v) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1=₂, откуда:

(u^-1u) x = u^-1v + u^-1 x =₂+₂v = ₂ + ₂yu.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v+ + уи= 0 ₂ + ₂ vyu + уи= 0 (|u|² + |v|²) yu = - vu (|u|² + |v|²) y = - v,

откуда

у = - .

Тогда из второго уравнения системы

v- u =0v- =0 = x= .

Итак, пара

(x; y) = ; -

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в .

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:

(х; у) (u; v) = (1; 0) (xu - y; vx + yū) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1=₂ откуда:

x (u u^-1) = y₂ + ₂ x = ₂ (yū + ū).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v₂(yū + + ū) + yū = 0 (|u|² + |v|²) yū = - vū

откуда при ū ≠ 0 следует, что у = - . и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu - = 1,

откуда следует, что

xu= 1 - = .

Умножим это равенство справа на u^-1=, тогда

x = * =

Итак, пара

(x; y) = ; -

является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в . Обозначим его (u, v)^-1.

Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в .

Из 1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.

Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.

Пусть U₁ = {(u; 0)| u K}. Ясно, что U₁ K x K.

Покажем, что множество U₁ замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:

(u₁, 0) + (u₂, 0) = (u₁ + u₂: 0 + 0) = (u₁ + u₂: 0) U₁;

(u₁, 0) (u₂, 0) = (u₁u₂ – 0; 0 u₁ + 0 ū₂) = (u₁ u₂: 0) U₁.

Далее:

- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U₁;

(u; 0)^-1 = = U_1,

откуда следует, что есть под тело алгебры ,.

Покажем, что изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U₁ → K такое, что ((u; 0) є U₁) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u₁; 0) + (u₂; 0)) = f ((u₁ + u₂: 0)) = u₁ + u₂ = f ((u₁; 0)) + f ((u₂; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u₁; 0) (u₂; 0)) = f ((u₁ u₂: 0)) = u₁ u₂ = f ((u₁; 0)) f ((u₂; 0));

f ((u; 0)^-1) = f ((; 0)) = ; 0 = u^-1 = f ((u; 0)) ^-1,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u₁; 0)) = f ((u₂; 0)) u₁ = u₂ (и₁; 0) = (и₂; 0) и f (U₁) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .

Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:

(0; 1)² = (0; 1) (0; 1) = (00 - 1; 10+1) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.

С другой стороны:

(0; i) ≠ (i; 0) = i; (0: 1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠ (k; 0) = k.

Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.

Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) , представим в виде u + ve, где и, v є К и е² = -1. Действительно,

(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve.

Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U^/ К х К. Если мы покажем, что К х K U^/, то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е² = - 1, то u + vjU^/, так как и, v К U^/, e U^/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х K U^/, откуда U^/ = К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.

Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.

Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R.

Тогда,

и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).

Вычислим

ie = (i; 0) (0; 1) = (i0 - 0; 1i + 0) = (0; i);

je = (j; 0) (0; 1) = (j0 - 0; 1j + 0) = (0; j);

ke = (k; 0) (0; 1) = (k0 - 0; 1k + 0) = (0; k),

откуда следует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)² = (je)² = (ke)² = -1. Действительно,

(ie)² = (i; 0) (i; 0) = (ii - 0; 0i + 0ī) = (-1; 0) = -1;

(je)² = (j; 0) (j; 0) = (jj - 0; 0j + 0ī) = (-1; 0) = -1;

(ke)² = (k; 0) (k; 0) = (kk - 0; 0k + 0ī) = (-1; 0) = -1.

Следовательно, ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R.

Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

Теорема 2. Система аксиом алгебры октав категорична.

Пусть (U, +, ., e) и (U₁, ,, e₁ ) - две модели алгебры октав и e² = -1, e²₁ = Ө1.

Рассмотрим отображение Ф : U → U такое, что

Ф (u+ve) = uve₁, u,v К.

Покажем, что Ф - гомоморфное отображение первой модели на вторую модель.

Пусть w₁ = u₁+v₁e и w₂ = u₂+v₂e. Тогда:

Ф(w₁+ w₂) = Ф((u₁+v₁e) + (u₂+v₂e)) = Ф((u₁+u₂)+(v₁+v₂)e) = (u₁+u₂)(v₁+v₂)e₁ = (u₁v₁e₁ ) (u₂v₂e₁) = Ф(u₁+v₁e) Ф(u₂+v₂e) = Ф(w₁)Ф(w₂);

Ф(w₁ w₂) = Ф((u₁+v₁e) (u₂+v₂e)) = Ф((u₁u₂ - ₂v₁)+(v₂u₁ + v₁ū₂)e) = (u₁u₂ - ₂v₁) (v₂u₁ + v₁ ū₂) e) =(u₁u₂ Ө ₂v₁)(v₂u₁ v₁ū₂)e) =(u₁v₁e₁)( u₂v₂e₁) = Ф(u₁+v₁e) Ф(u₂+v₂e) = Ф(w₁) Ф(w₂);

Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨve₁ = Ө(uve₁) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w);

Ф(w^-1)=Ф((u+ve)^-1)=Ф(Өe)= (Ө e) = Ө e = (uve₁)^-1 = (Ф(u+ve)^Ө1) = (Ф(w)) ^Ө1.

Следовательно, отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры в (U₁, ,, e₁ ).

Покажем, что отображение Ф инъективно:

Ф(w₁)=Ф(w₂) Ф(u₁+v₁e) = Ф(u₂+v₂e) u₁v₁e₁ = u₂