Алгебраические системы замыканий

Содержание

Введение.. 3

§1. Основные понятия и примеры.. 6

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания. 13

§3. Алгебраические системы замыканий. 16

§4. Соответствия Галуа. 20

§ 5. Задачи. 27

Библиографический список.. 32

Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.

Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.

Задачи:

1. рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;

2. сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;

3. рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;

4. рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.

Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.

В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.

В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.

Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.

Последний параграф посвящен решению задач.

Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ((1)) и Куроша А. Г. ((2), (3)). Остальные источники ((4), (5), (6), (7)) использовались как дополнительная справочная литература.

Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:

∆ – начало доказательства;

▲ – конец доказательства.

В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число – номер параграфа, а второе – номер примера в параграфе.

Основными результатами работы являются:

1. доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждаясистемазамыканий D намножествеAопределяетоператор замыкания  на A по правилу (X) = ∩{Y D | YX}.Обратно, каждый оператор замыкания  на A определяет систему замыканий D = {XA (X) = X}.

2. доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: СистемаS(A) подалгебруниверсальнойалгебрыAявляетсяалгебраическойсистемойзамыканий. Обратно, еслиданаалгебраическаясистемазамыканий D намножествеA, тодляподходящегомножестваалгебраическихопераций Ω можноопределитьтакуюструктурууниверсальнойалгебрынаA, чтоS(A) = D.

3. установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.

4. решение задач.