Аналитический метод в решении планиметрических задач

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом.

Основными геометрическими фигурами, изучаемыми аналитической геометрией, являются точки, прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка. Именно имея ввиду аналитическую геометрию и ее метод, замечательный французский математик Софии Жермен (1776-1831) как-то сказал: «Алгебра – не что иное как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

В своей курсовой работе я рассмотрела планиметрические задачи, рассчитанные на применение аналитических методов решения. Рассмотренные задачи должны показать единство геометрии, алгебры и математического анализа. Тенденция использованию при решении геометрических задач только геометрических методов препятствует приложениям алгебры и анализа в самой математике.

Целью данной курсовой работы является изучение применения аналитического метода к решению планиметрических задач.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемых источников.

Во введении описана актуальность темы, сформулирована цель, дана структура курсовой работы.

В первой главе даны основные понятия аналитической геометрии. Намечен курс дальнейшего исследования.

Во второй главе описывается применение аналитического метода в решении планиметрических задач.

В заключении сформулированы основные выводы к работе.

III. СУТЬ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА.

1.1. У истоков аналитической геометрии.

Идейные корни аналитической геометрии лежат в плодородной почве классической древнегреческой математики. Второй по своей эпохальности после гениальных евклидовых «Начал» фундаментальный трактат Апполония из Перги (ок. 260 – 170 гг. до н.э.) «Конические сечения» состоявший из 8 книг, из которых до нас дошли 7, содержал обстоятельные описания свойств эллипса, гиперболы и параболы, включая фокусы, касательные, сопряженные диаметры, начала теории поляр. От современной аналитической геометрии конических сечений его отделяло отсутствие удобной системы обозначений, которую принесла в математику значительно позже алгебры, пришедшая с арабского Востока. Отчетливое и исчерпывающее изложение метода координат и основ аналитической геометрии с введением системы обозначений, которой мы пользуемся до настоящего времени, было сделано великим французским математиком Рене Декартом в его книге «Геометрия» (1637). Основная идея этого метода – использование алгебры в геометрии – высказывалась также другим замечательным французским математиком, современником Декарта, Пьером Ферма (1601 – 1665). Именно Ферма впервые установил, что уравнения 1-ой степени задают прямые, а второй канонические сечения. Открытие метод координат дало мощный толчок к развитию всей математики, и, прежде всего, - математического анализа. В результате XVII век стал эпохой такого расцвета математических наук, которого она не испытывала со времен Древней Греции. Заметим, к слову, что понятие координат не является выдумкой математиков: оно заимствовано из практики, и в примитивной форме способом координат пользуются даже незнакомые с математикой люди. Напомним, например, отрывок из поэмы Некрасова: «Кому на Руси жить хорошо»:

Идите по лесу,

Против столба тридцатого

Прямёхонько версту:

Придёте на поляночку,

Стоят на той поляночке

Две старые сосны,

Под этими под соснами

Закопана коробочка.

Добудьте вы её...

рис. 1

Здесь 30 и 1 — координаты поляночки (в том смысле, в каком понимается задание координат предмета); за единицу длины принята верста (рис. 1).

1.2. Основные понятия аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия не имеет строго определенного содержания и определяющим для нее является не предмет исследования, а метод. То есть аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом.

Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и плоскости) относятся к числу так называемых начальных понятий. Эти понятия можно описать, но всякая попытка дать определение каждого из этих понятий неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным. С научной точки зрения логически безупречным методом введения указанных понятий является аксиоматический метод, в развитии и завершении которого величайшая заслуга принадлежит Гильберту.

Аксиоматический метод закладывает фундамент и для лежащего в основе аналитической геометрии метода координат. Ради простоты рассмотрим вопрос о введении координат на прямой. Возможность введения координат на прямой основывается на возможности установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел.

Доказательство возможности установления такого соответствия базируется на аксиомах геометрии и на аксиомах (свойствах) множества вещественных чисел.

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов. Благодаря универсальности подхода к решению различных задач, метод аналитической геометрии стал основным методом геометрических исследований и широко применяется в других областях точного естествознания – механике, физике.

Аналитическая геометрия объединила геометрию с алгеброй и анализом, что плодотворно сказалось на развитии этих трех разделов математики.

1.3.Метод координат на плоскости

Метод координат лежит в основе аналитической геометрии. Суть системы координат состоит в том, что тем или иным способом устанавливается соответствие между точками плоскости (геометрическими объектами) и упорядоченными парами вещественных чисел (алгебраическими объектами). Вследствие этого геометрические фигуры, представляющие собой множества точек плоскости, оказываются состоящими из таких точек, координаты которых удовлетворяют некоторым алгебраическим соотношениям (уравнениям, неравенствам или их системам). В результате изучение свойств геометрических фигур заменяется изучением свойств алгебраических соотношений, описывающих эти фигуры. Для их изучения, в свою очередь, применяются методы алгебры и математического анализа.

Способов введения на плоскости систем координат существует великое множество. В своей курсовой работе я рассмотрю аффинную (и её частный случай – декартову) систему координат на плоскости.

1.4. Аффинная система координат на плоскости.

Определение. Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е₁, Е₂}.

Рассмотрим тогда векторы: е(а)₁= ОЕ(а)₁ и е(а)₂ = ОЕ(а)₂(рис. 2). Поскольку точки О, Е₁, Е₂, не лежат на одной прямой, поэтому векторы е(а)₁и е(а)₂не коллинеарны, следовательно, они образуют базис совокупности V₂ всех векторов плоскости. Таким образом, мы приходим к упорядоченной тройке R={О, е(а)₁, е(а)₂}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов е(а)₁и е(а)₂.

Обратно если дана упорядоченная тройка R={О, е(а)₁, е(а)₂}, состоящая из точки О и двух неколлинеарных векторов е(а)₁и е(а)₂, то от неё легко перейти к тройке R={О, Е₁, Е₂}, отложив векторы е(а)₁и е(а)₂ от точки О и взяв соответственно концы этих векторов Е₁и Е₂: е(а)₁= ОЕ(а)₁ и е(а)₂ = ОЕ(а)₂. Ясно, что точки О, Е₁, Е₂, не будут лежать на одной прямой, так как векторы е(а)₁и е(а)₂ не коллинеарны.

Таким образом, мы приходим к выводу, что задание на плоскости системы координат как упорядоченной тройки точек R={О, Е₁, Е₂}, не лежащих на одной прямой, равносильно заданию её как упорядоченной тройки R={О, е(а)₁, е(а)₂}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов е(а)₁и е(а)₂. В результате в геометрическую картину, составленную из точек, вводятся векторы.

Первая точка О в системе координат R называется началом системы координат, а векторы е(а)₁ и е(а)₂ – её базисными или координатными векторами. Прямая ОЕ₁ с направляющим вектором е(а)₁ называется координатной осью Ох, или осью абсцисс, а прямая ОЕ₂с направляющим вектором е(а)₂ называется координатной осью Оу, или осью ординат.

Пусть на плоскости задана система координат R={О, е(а)₁, е(а)₂} и произвольная точка М. Вектор ОМ(а) = r(а)_мназывается радиус-вектором точки М относительно точки О (или системы координат R).

Определение. Координатами точки М в системе координат R={О, е(а)₁, е(а)₂} называются координаты её радиус-вектора ОМ(а) в базисе е(а)₁, е(а)₂, то есть коэффициенты х, у в его разложении в линейную комбинацию векторов базиса: М(х, у)_Ró ОМ(а) = хе(а)₁+ уе(а)₂.

Итак, понятие координат точки тесно связывается с понятием координат вектора, а понятие системы координат для точек – с понятием базиса векторов. «Привязывая» векторный базис к фиксированной точке плоскости (началу координат), мы приходим к системе координат для точек. Если тот же векторный базис «привязать» к другому началу, мы получим другую систему координат для точек.

Векторы а(а) и в(а)коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор ОМ(а). Координаты вектора ОМ(а) называются координатами точки М в данной аффинной системе координат. При этом если ОМ(а) = (х, у), то пишут: М (х, у).

Пусть прямые, проведенные через точку М параллельно осям координат, пересекают оси координат соответственно в точках М₁ и М₂ (рис. 2). Тогда имеем

ОМ(а) = ОМ(а)₁ + ОМ(а)₂.

С другой стороны,

ОМ(а) = хе(а)₁+ уе(а)₂.

Следовательно,

х =ОМ(а)₁ / е(а), у = ОМ(а)₂ / е(а)₂.

Точки Е₁ и Е₂имеют координаты: Е₁ (1; 0), Е₂ (0;1).

Если на плоскости даны две точки А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂), то координаты вектора АВ(а) вычисляются так:

АВ(а) = ОВ(а) - ОА(а) = (х₂ - х₁, у₂ - у₁).

Пусть точка С делит отрезок АВ в данном отношении:

Тогда . Из правил действии над векторами в координатах следует, что координаты точки С определяются формулами:

,

В частности, если С – середина отрезка АВ, то

,

Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.

Пусть требуется написать уравнение прямой l, заданной в некоторой аффинной системе координат точкой М₁ (х₁, у₁) и ненулевым вектором , параллельным прямой l (рис. 3).

Вектор а(а)будет называться направляющим вектором прямой l .

Пусть М(х, у) – произвольная точка прямой l . Тогда, согласно условию, векторы и а(а) коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство, или

ОМ(а) = ОМ(а)₁ + tа(а),

где t – некоторое число (параметр). Это соотношение в координатах запишется так:

Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.

При и эти уравнения равносильны следующему уравнению первой степени:

Если прямая задана двумя различными точками: А(х₁, у₁) и В (х₂, у₂), то вектор АВ(а) = (х₂ - х₁, у₂ - у₁) является направляющим вектором прямой l. Следовательно, при х₁х₂ и у₁у₂ получаем уравнение

,

которое называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

В частности, если прямая l проходит через точки А (а, 0) и В(0, ), отличные от начала координат, то уравнение прямой принимает вид

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Исключая из параметрических уравнений прямой параметр t. При получим уравнение:

у- у₁ = k (х- х₁),

где . Число k называют угловым коэффициентом прямой. В частном случае, при х₁ = 0 и у₁ = , уравнение принимает вид

Если же , то прямая l параллельна оси Оy, а её уравнение запишется так:

х = х₁.

Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0, где хотя бы одно из чисел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 есть уравнение некоторой прямой в аффинной системе координат на плоскости.

При уравнение Ах + Ву + С = 0 приводится к виду у = kх + , где

,

Если же В = 0 и , то оно принимает вид х = а, где .

1.5. Декартова система координат на плоскости. Прямая и окружность.

Определение. Декартовой (или ортонормированной, или прямоугольной) системой координат на плоскости называется такая аффинная система координат, базисные векторы которой ортонормированны, то есть имеют единичные длины и ортогональны (перпендикулярны). Обозначение R = {O, i(а), j(а)}; так что i(а)| = |j(а)| = 1, i(а) перпендикулярен j(а).

При решении задач, в которых существенную роль играет понятие расстояния между двумя точками, применяется, декартова или прямоугольная система координат.

Пусть даны две точки: А(х₁, у₁) и В (х₂, у₂). Тогда, как известно,

.

Пользуясь формулой, запишем уравнение окружности с центром в точке С (a, ) и радиусом r:

.

Вышеизложенная теория прямой справедлива и для прямоугольной системы координат. В частности, при решении задач пользуются уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А(х₁, у₁):

.

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками А(х₁, у₁) и В (х₂, у₂), вычисляется по формуле

Угловой коэффициент в прямоугольной системе координат имеет следующий геометрический смысл: , где – величина угла от оси абсцисс до прямой l.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: у = k₁х + ₁ и у = k₂х + ₂.

Если l₁l₂, то , поэтому k₁ = k₂, и обратно, т.е. условие k₁ = k₂выражает признак параллельности прямых l₁ и l₂.

Введем формулу для вычисления угла между пересекающимися прямыми l₁ и l₂ (рис. 6).

Так как и , , то

или

Полученную формулу для вычисления угла от прямойl₁ до прямой l₂ можно записать и так:

Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда k₁k₂ = - 1, т.е. условие k₁k₂ = - 1 выражает признак перпендикулярности прямых l₁ и l₂.

Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.

1.6. Аналитическое задание геометрических фигур.Аналитическое условие и геометрические фигуры.

После того как на плоскости введена система координат, мы получаем возможность рассматривать на этой плоскости такие множества точек (а они - то и образуют те или иные геометрические фигуры), координаты х, у которых удовлетворяют тем или иным условиям (ограничениям). Эти условия могут носить характер уравнений, неравенств или систем уравнений и неравенств. Обратно, если на плоскости имеется некоторая геометрическая фигура (т.е. некоторое множество точек этой плоскости), то возникает задача нахождения аналитических условий, связывающих координаты х, у точек плоскости, которым удовлетворяют координаты всех точек данной фигуры и не удовлетворяют координаты никаких точек плоскости, не принадлежащих этой фигуре.

Аналитические условия, связывающие две переменных х, у и характеризующие фигуры Ф, с точки зрения математической логики представляют собой двухместный предикат Р(х, у), заданный на множестве вещественных чисел: х, у ÎR. Множество истинности этого предиката как раз и представляют собой такое множество пар действительных чисел х, у, которые служат координатами точек фигуры Ф и только таких точек. Этот факт записывают следующим образом:

Ф = {М(х, у): Р(х, у) – истинно}.

При этом, нетрудно понять, что если предикат Р(х. у) представляет собой конъюнкцию двух предикатов P₁(х, у) Ù Р₂ (х, у), то фигура Ф есть пересечение двух фигур Ф = {М (х, у): Р₁ (х, у) Ù Р₂ (х, у) – истинно} = {М (х, у): Р₁ (х, у) – истинно} Ç {М (х, у): Р₂ (х, у) – истинно} = Ф₁ Ç Ф₂.

Аналогично, если предикат Р(х, у) представляет собой дизъюнкцию двух предикатов P₁(х, у) Ú Р2 (х, у), то фигура Ф есть объединение фигур Ф = Ф₁ È Ф₂.

Итак, при координатном подходе к изучению геометрических фигур выделяются две взаимно обратные задачи:

1. по заданным геометрическим свойствам фигуры Ф составить аналитические условия Р (х, у), определяющие эту фигуру;

2. по заданным аналитическим условиям Р (х, у), определяющим фигуру Ф, выяснить её геометрические свойства.

Составление аналитических условий, определяющих фигуру.

Здесь по геометрическому описанию фигуры Ф требуется сформулировать такие аналитические условия Р(х, у), что будут справедливы два утверждения:

а) если точка М(х, у) Î Ф, то её координаты х, у удовлетворяют условиям Р(х, у), т.е. будучи поставлены в этот предикат, превращают его в истинное утверждение (высказывание);

б) если координаты точки М(х, у) удовлетворяют условиям Р(х, у), то М Î Ф.

Ясно, что второе утверждение можно заменить равносильным ему утверждением:

б`) если точка М не принадлежит фигуре Ф, то её координаты не удовлетворяют условию Р(х, у).

Практически это делается так. На данной фигуре Ф берется произвольная (или, как говорят, текущая) точка М(х, у) с текущими координатами х, у и отыскивается (необходимые и достаточные) условия принадлежности точки М фигуре Ф, т.е. строится некая модель этой геометрической ситуации (принадлежности М Î Ф). Затем в этой модели найденные условия переводятся на аналитический язык, т.е. на язык аналитической взаимосвязи текущих координат х, у текущей точки М.

Пример. Пусть на плоскости задана декартова система координат R = {O, i(а), j(а)}. Составим аналитические условия, определяющие правую полуплоскость с граничной прямой Оу вместе с её границей. Таким условием будет неравенство , т.е. правая полуплоскость состоит из тех и только тех точек М(х, у), первые координаты которых (абсциссы) неотрицательны, поскольку все точки правой полуплоскости этим свойством обладают, а никакие точки, не принадлежащие правой полуплоскости (т.е. принадлежащие левой плоскости без граничной прямой Оу), этим свойством не обладают ( для них ).

Аналитические условия, определяющие I координатную четверть, представляют собой конъюнкцию двух предикатов: , которые задают эту четверть как пересечение двух полуплоскостей: верхней (задаётся условием ) и правой (задается условием ). Аналогично, II четверть: ; III четверть: ; IV четверть: .

Из рассмотренных примеров видим, что аналитическое задание линий (или, как еще говорят, кривых линий, или, короче, кривых) приводит к уравнениям с двумя неизвестными х, у вида:

F (х, у) = 0

Здесь следует отметить, что дать строгое определение понятию линии в том адекватном смысле, в каком мы осознаем эти математические объекты с интуитивной точки зрения, весьма непросто. Понятие линии является одним из сложных понятий математики. Самое общее определение этого понятия рассматривается в топологии. Это понятие впервые было определено математиком П.С. Урысоном в 20-х годах XX века. Ограничимся пока следующими двумя определениями.

Определение. Уравнением данной линииL в заданной системе координат R = {О; е(а)₁, е(а)₂} называется такое уравнение F (х, у) = 0 с двумя неизвестными х, у, которому удовлетворяют координаты х, у каждой точки этой линии (т.е. будучи представлены в это уравнение превращают его в верное равенство) и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащей этой линии.

М (х, у) – текущая точка линии L; х, у – текущие координаты.

Определение. Линией, определяемой уравнением F (х, у) = 0 в заданной системе координат R = {О; е(а)₁, е(а)₂}, называется множеством (или совокупность, или геометрическое место) всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

L ={М (х, у): F (х, у) = 0}.

Здесь необходимо отметить, что сформулированное определение линии оказывается весьма широким, так что под него попадают объекты, никак не отвечающие нашему наглядному (интуитивному) представлению о линии. Другими словами, далеко не каждое уравнение вида F (х, у) = 0 определяет на координатной плоскости геометрическую фигуру, которую мы склонны считать линией.

В качестве примера приведем два уравнения. Первое х - |х| = 0, как легко видеть, определяет на координатной плоскости правую полуплоскость, так как оно равносильно неравенству: . Второе х+у-|х|-|у|=0 равносильно системе (конъюнкции) двух неравенств и потому определяет на плоскости одну точку, а уравнение х² + у² + 1 = 0 вообще не определяет на плоскости никакой геометрической фигуры.

Для того чтобы уравнение вида F (х, у) = 0 определяло геометрическую фигуру, отвечающую нашему наглядному представлению о линии, следует, вообще говоря, функцию F (х, у) = 0 подчинить некоторым ограничениям. Одним из таких является требование того, чтобы уравнение F (х, у) = 0 и у = f(х) были эквивалентны, т.е. любая пара действительных чисел, удовлетворяющая первому уравнению, удовлетворяет и второму, и наоборот. В этом случае, как нетрудно понять, линия L, определяемая уравнением F (х, у) = 0 , будет графиком функции f(х).

Таким образом, мы приходим еще к одному способу аналитического задания линий плоскости. Он называется явным: здесь линия задается уравнением у = f(х), в котором у явно выражена через х, Этот способ хорошо известен из школьного курса алгебры и начала анализа. В отличие от него предыдущий способ, т.е. задание линии уравнением F (х, у) = 0, называется неявным: здесь ни одно из неизвестных не выражено явно через другое.

Наконец, рассмотрим еще один способ задания линий – параметрический. При таком задании каждое из неизвестных х и у выражается как функция через третью, неизвестную, переменную t, называемую параметром:

L:

При каждом значении tÎ D из некоторой области допустимых значений получаем значения х и у, которые представляют собой координаты некоторой точки линии: М (х. у) Î L.

Для примера получим параметрические уравнения окружности с центром в начале координат радиуса r. В качестве параметра выберем центральный угол t, который образует радиус-вектор ОМ(а) текущей точки М(х, у) с положительным направлением оси Ох (т.е. с вектором i(а)). Тогда для того, чтобы точка М (х, у) обежало всю рассматриваемую окружность, нужно, чтобы угол t изменялся в пределах: t Î (0, 2p). Из rONM находим:

х = ON = ОМŸсоs t = r Ÿ cos t, у = MN = ОМŸ sin t = r Ÿ sin t.

Эти формулы будут справедливы и для II – IV четвертей. Таким образом, мы приходим к параметрическим уравнениям окружности:

Из этих равенств можно исключить параметрt. Для этого нужно каждое из них возвести в квадрат и результаты сложить почленно. Получим:

х² + у² = r² cos² t + r² sin² t, x² + y² = r²(cos² t + sin² t), x² + y² = r².

Мы приходим к знакомому нам уравнению.

Рассмотрим примеры задач на определение вида геометрической фигуры по её аналитическому заданию и их решения. В качестве аналитических условий, задающих геометрические фигуры, будем брать уравнения.

Пример. Исследовать геометрическую фигуру, задаваемую в аффинной системе координат уравнением: х – у = 0. Представим данное уравнение в виде: . тогда ясно, что ему удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости, радиус-векторы r(а) (х, у) которых коллинеарны вектору а(а) (1, 1).

Отсюда следует, что рассматриваемая фигура есть прямая l, проходящая через начало координат и параллельная вектору а(а) (1, 1). В случае, когда система координат декартова, прямая l есть биссектриса I и III координатных углов.

1.7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

В этом разделе изучаются линии второго порядка, задаваемые в некоторой аффинной системе координат на плоскости алгебраическими уравнениями второй степени. Одна такая линия нам уже известна: это – окружность. Мы начнем с рассмотрения дальнейших конкретных примеров таких линий -эллипса, гиперболы и параболы.

Эти замечательные кривые были известны ещё древнегреческим математикам, начиная с IV в. до н.э. в связи со знаменитой задачей об удвоении куба, которую можно рассматривать как задачу о нахождении точки пересечения двух парабол х² = у и у² = 2х. В частности, Аристей в работе «О пространственных местах» уже рассматривал три различных типа конических сечений: эллипс, гиперболу и параболу. Основополагающий вклад в изучение этих линий вн