Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть 
- кольцо с единицей 1. Элемент 
из множества 
называется обратным в кольце 
, если 
. 
называется обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо 
, элемент 2 необратим в этом кольце, так как 
, элемент 5 необратим в кольце целых чисел. 
- обратимые элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел 
, обратимыми являются все элементы кроме 
.
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо 
, обратимыми являются все элементы кроме .
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция 
коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица 
.
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа 
- галуафилд. 
; 
. Определим
операции сложения и умножения:
И 
- бинарные операции, 
- унарная
Из этой таблицы видно, что операция 
- коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к. 
, 
.
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле. Обозначение: 
.
Если 
, то 
.
Доказательство. Пусть , докажем, что 
, то есть 
, тогда 
противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | 
, 
.
Если 
, 
. 
умножим равенство справа на 
, то есть 
.
.
Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства 
на слева, 
.
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: 
, 
, значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
.
Доказательство. 
. Умножим обе части равенства справа на 
, где 
.
, где .
Доказательство. Выпишем правую часть 
равна левой части.
, где .
Доказательство. Правая часть 
равна левой части.
, .
Доказательство. Правая часть 
левая часть.
, .
Доказательство. Левая часть 
.
, .
Если 
, то 
.
Доказательство. Вычислим произведение 
то есть 
обратный элемент к 
.
, где 
.
Доказательство. Левая часть равна 
равна правой части.
- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля: 
1. 
, так как поле.
2. 
3. 
4. 
, так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции 
и 
подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
Алгебраическая система 
называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра - это поле с единицей 1.
Множество 
замкнуто относительно операции и 
Аксиома минимальности, если 
такое, что:
а) 
б) 
, тогда 
.
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/