Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля
Вычисление радиальных функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
, (1)
где 
- некоторая вещественная положительная константа и 
- оператор Лапласа.
Эллиптические координаты 
, допускающие разделение переменных связаны с декартовыми: 
, 
.
Полагая 
в методе разделения переменных, получаем уравнения:
, 
,
где 
- константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.
Дифференциальное уравнения Матье имеет вид
, (2)
где обычно переменная 
имеет вещественное значение, а 
- заданный вещественный ненулевой параметр.
Собственные значения 
и граничные условия
(3)
соответствуют чётным функциям Матье 
, а собственные значения 
и граничные условия
(4)
нечётным функциям Матье
В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: 
, 
, 
, 
.
Собственные значения 
, отвечающие функциям , , , , обозначаются через 
, 
, 
, 
.
Модифицированное уравнение Матье
(5)
получается из уравнения Матье (2) подстановкой 
. В зависимости от того, будет в (5) 
или 
, это уравнение имеет либо решение 
, либо решение 
, которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.
Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: 
, 
, 
, 
.
Вычисление функций Матье I рода
Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка
, 
(6)
удовлетворяющие в нуле условию
, если 
(7)
, если 
И на бесконечности условию
~
, 
(8)
где 
- задано, а () - собственные значения задачи (2), (3), (4),
Параметр 
используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:
Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
(9)
(10)
Здесь 
- "масштабирующая" функция, положительная на 
, удовлетворяющая условию 
при , её выбор находится в нашем распоряжении.
Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для 
и 
:
(11)
(12)
где 
и 
.
Для совместного решения задач Коши для и используется следующий приём. Функцию ищем в точках 
. На каждом из отрезков 
вспомогательные функции 
находятся, как решение задач Коши
(13)
где 
.
Поскольку для любых решений и 
, уравнений (12) и (13) справедливо соотношение 
, получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления 
, 
,
, , (14)
причём 
.
Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:
1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка 
величины 
, 
, 
;
2. Полагая , по формуле (14) вычисляем , 
;
3. По формуле (10) вычисляем функции , ;
4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции
.
В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция
, где 
.
Вычисление функций Матье III рода
Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:
, 
. (15)
Условие на бесконечности
~
, 
. (16)
Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:
,
и при достаточно больших 
линейному соотношению:
, 
.
(17)
Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом 
.
Рассмотрим алгоритм нахождения функций 
. Для их вычисления нужно перенести граничное условие
,
где 
, справа налево от точки 
до точки 
.
Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.
По всему отрезку переносим соотношение
,
потребовав выполнение условия 
для всех , 
, где 
и 
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка
.
Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:
,
где 
.
Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:
.
функция матье дифференциальное уравнение
Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.
Литература
1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.
2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.
3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М. – 1979. – 832 с.:ил.