Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

§1. Отображение Пуанкаре

§2. Общие сведения об отражающей функции

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

§4. Стационарный интеграл

§5. Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам

§6. О некоторых аспектах применения отражающей функции для исследования свойств решений дифференциальных систем

Заключение

Список используемых источников

Введение

Многочисленные нужды практики приводят нас к необходимости моделирования динамики развития реальных систем, а тем самым и зачастую к необходимости построения систем дифференциальных уравнений с определёнными свойствами. При моделировании задач классической физики дифференциальные равнения появляются естественным образом, когда мы формулируем на математическом языке соответствующие физические законы. В последнее время, однако, всё чаще приходится иметь дело с более сложными реальными системами, и здесь на первый план выходит качественное моделирование. При этом очень часто нам приходится составлять модели таких реальных систем, для которых общие фундаментальные законы могут служить лишь некоторым ориентиром. В этом случае мы, как правило, вынуждены отказаться от точных количественных оценок и строить модель, отражающую лишь качественные стороны поведения системы. Обычно это достигается искусным заданием правых частей соответствующей дифференциальной системы.

Полученная при моделировании дифференциальная система оказывается, как правило, достаточно сложной для исследования. Поскольку наша задача состоит лишь в выяснении качественной стороны эволюции реальной системы, то при изучении полученной дифференциальной системы мы можем заменить её на качественно эквивалентную её дифференциальную систему.

Таким образом, практика ставит перед нами следующие задачи:

задача некоторой унификации построения дифференциальных систем с заданными качественными свойствами;

в том случае, когда уже построена некоторая сложная дифференциальная система, встаёт задача о замене этой системы ей качественно эквивалентной, но удобной для дальнейшего исследования.

Для решения этих задач было бы разумно с одной стороны, иметь набор соответствующих модельных систем, т.е. достаточно богатый набор качественно различных дифференциальных систем, а с другой стороны, обладать математическим аппаратом, позволяющим устанавливать качественную эквивалентность модельной системы и исследуемой дифференциальной системы.

Качественное поведение решений дифференциальных систем во многом определяется наличием и количеством периодических решений, их начальными условиями.

Для выяснения вопросов о наличии и количестве периодических решений периодических систем наиболее часто используется отображение Пуанкаре и метод отражающей функции. Ниже будут приведены некоторые сведения о них.

Значительное число работ учёных всех стран мира посвящено качественному исследованию автономных дифференциальных систем небольших размерностей.

Неавтономные дифференциальные системы даже не высоких размерностей изучаются менее интенсивно из-за отсутствия методик их прямого исследования.

Получить сведения, о качественном поведении решений исследуемой неавтономной дифференциальной системы, возможно, установив её эквивалентность, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальной системы, стационарной или нестационарной, качественный портрет решений которой известен.

В данной работе рассматривается задача о построении дифференциальных систем, эквивалентных в смысле совпадения отражающих функций, системам с известным первым интегралом.

§1. Отображение Пуанкаре

Рассмотрим систему

Будем считать, что эта система удовлетворяет следующим условиям:

а) при всех задача Коши для системы имеет единственное решение , .

б) система периодична по , т.е. .

Чтобы не делать далее оговорок, будем считать также, что все решения системы существуют при

Отображение называют оператором или отображением сдвига вдоль решений системы (1). Имеют место следующие свойства оператора сдвига вдоль решений системы .

.

Каждое из этих свойств вытекает из свойств функции .

Докажем, к примеру, свойство , которое равносильно тождеству

Для его доказательства отметим, что в силу периодичности системы функция , как и функция является решением системы . При эти решения совпадают. Поэтому они обязаны совпадать и при всех , в том числе и при т.е. должно иметь место тождество , а с ним и свойство .

Отображение при любом называют отображением за период, или отображением Пуанкаре для системы . Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех для которых решение системы определено при всех .

Общий принцип.

Для того, чтобы продолжимое на решение системы было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка была неподвижной точкой отображения Пуанкаре .

Необходимость очевидным образом следует из периодичности решения .

Достаточность. Пусть есть неподвижная точка отображения за период . Это означает, что

Функция определена на некотором множестве, содержащем отрезок , и в силу периодичности системы является решением системы . Согласно оба решения и при совпадают. Так как решения системы однозначно определяются своими начальными условиями, то

.

Теорема доказана.

Таким образом, если при каком-то удаётся отыскать отображение за период , то из уравнения будут найдены начальные данные всех периодических решений.

Создаётся впечатление, что отображение Пуанкаре можно найти только зная общее решение дифференциальной системы.

Для отыскания отображения Пуанкаре (отображение за период) можно использовать некоторые вспомогательные функции, которые не совпадая с общим решением во всей области существования решения, совпадают с ним на гиперплоскостях, отличающихся на период. Если такая функция будет найдена, то будет найдено и отображение за период.

В.И. Мироненко в качестве такой функции использовал функцию (2,3), которую назвал отображающей функцией. При известной отображающей функции периодической дифференциальной системы отображение за период определяется формулой

В дальнейшем будем полагать , где половина периода.

Приведём теперь известные факты об отражающей функции (3,4).

§2. Общие сведения об отражающей функции

Рассмотрим систему

,

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначим через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

для любого решения системы верно тождество

для отражающей функции любой системы выполнены тождества

дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Совокупность условия и начального условия назовём основным соотношением для отражающей функции.

Как известно, в большинстве случаев система дифференциальных уравнений не может быть проинтегрирована в элементарных функциях или в квадратурах. Это вынуждает исследовать решения системы по самим дифференциальным уравнениям.

Знание отражающей функции системы позволяет решать вопросы существования, количества и начальные данные периодических решений системы.

Поскольку у разных дифференциальных систем может быть одна и та же отражающая функция, то с помощью отражающей функции можно заменить одну дифференциальную систему на качественно ей эквивалентную и более простую другую дифференциальную систему.

Пример.

Уравнение Рикатти имеет отражающую функцию . Такую же отражающую функцию имеет и уравнение , которое значительно проще интегрируется в замкнутом виде, а значит проще и исследование свойств решений данного условия.

Приведём более точное понятие эквивалентности, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальных систем.

Эквивалентные системы.

Рассмотрим класс систем

считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами:

отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ;

любая система вида , отражающая функция которой совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .

Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой:

Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции , для которой выполнены тождества , имеют место соотношения

Доказательство. Продифференцируем тождество по и по . Получим тождества

из которых следует неравенство и тождества и .

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции выполнено

Тогда, для того, чтобы в области функция совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:

где есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть есть отражающая функция некоторой системы и пусть совпадает с .

Положим

Тогда используя тождества и . и основное соотношение для отражающей функции , получим тождества

из которых следует, что всякая система, для которой есть отражающая функция, может быть записана в виде .

Достаточность. Пусть в системе есть такая функция, для которой решение системы однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции . Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Т.о. варьируя вектор-функцию мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию.

У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения , где половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем.

Пусть известно, что системы и

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система является периодической. Тогда если решения и систем и соответственно продолжимы на отрезок , то , хотя система может быть непериодической. Откуда следует

Теорема 2.2. Пусть система с периодической по правой частью и система принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех . Тогда между периодическими решениями системы и решениями двухточечной задачи для системы можно установить взаимооднозначное соответствие.

Уравнения

например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией . Единственное периодическое решение

первого уравнения соответствует единственному решению задачи второго уравнения.

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

Наряду с дифференциальной системой

будем рассматривать множество систем

где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему назовём возмущённой, а добавку возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем и .

Как известно, отражающая функция системы обязана удовлетворять следующему соотношению

Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Справедлива (4)

Лемма 3.1. Для любых трёх вектор-функций

имеет место тождество

Доказательство.

Будем преобразовывать левую часть тождества

Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть есть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции функция

удовлетворяет тождеству

Доказательство.

Подставив функцию в выражение , придем к следующим тождествам:

Выразим из соотношения частную производную , подставим в последнее тождество и будем преобразовывать получившееся выражение:

Применив к первым двум слагаемым последней части этой цепочки тождеств тождество придем к следующим соотношениям:

Выразим из соотношения выражение, находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее из получившихся тождеств:

Учитывая определение функции , полученное тождество можно переписать в виде

Мы пришли к соотношению

Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение , придем к нужному нам тождеству и тем самым докажем лемму.

Лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущенная дифференциальная система где произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Пусть отражающая функция системы Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что помимо этого уравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству

С этой целью введем функцию по формуле . Согласно предыдущей лемме, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеют место соотношения

Поставим следующую задачу Коши для функции :

Решение этой задачи существует и единственно (6, с.66). Таким образом, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция дифференциальной системы является также и отражающей функцией дифференциальной системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции , приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы верно тождество , второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Следствие3.1. Пусть функции являются решениями дифференциального уравнения в частных производных . Тогда все дифференциальные системы вида

где нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе .

Доказательствоследствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 3.1

Замечание 3.1. В (2, с.24) доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальнойсистеме в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция может быть представлена в виде

где решения уравнения . Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.

§4. Стационарный интеграл

Рассмотрим систему

,

с непрерывной в области функцией .

Дифференцируемая функция , заданная в некоторой подобласти области , называется первым интегралом системы в области , если для любого решения , , системы , график которого расположен в функция , , постоянна, т.е. зависит только от выбора решения и не зависит от .

Пусть , есть некоторая функция. Производной от функции в силу системы назовем функцию , определяемую равенством

Лемма 4.1. Для любого решения , , системы , график которого расположен в , имеет место тождество

.

Доказательство. Действительно,

Лемма 4.2. Дифференцируемая функция , представляет собой первый интеграл системы тогда и только тогда, когда производная в силу системы тождественно в обращается в нуль.

Необходимость. Пусть есть первый интеграл системы . Тогда для любого решения этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

откуда при получим равенство справедливое при всех значениях и . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь при всех Тогда для любого решения системы на основании леммы1 будем иметь тождество

а с ним и достаточность.

Лемма доказана.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на функция также является первым интегралом системы . Первый интеграл будем называть невырожденным на , если при всех выполняется неравенство

Функцию будем называть стационарным первым интегралом системы , если она не зависит от и является первым интегралом системы .

Теорема 4.1. Для того, чтобы система с раз дифференцируемой по правой частью имела в невырожденный стационарный первый интеграл, необходимо выполнение тождества

где , компоненты вектор-функции .

Доказательство. Пусть стационарный первый интеграл системы . Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество

Это означает, что при каждом фиксированном функции линейно зависимы на интервале их существования. Поэтому вронскиан этих функций (левая часть тождества ) обязан обращаться в нуль.

Теорема доказана.

Выясним условия, при которых система имеет стационарный интеграл. Будем считать, что условия теоремы 4.1 выполнены. Составим систему линейных уравнений относительно неизвестных функций

………………………………………….

Теорема 4.2. Для того, чтобы система с раз дифференцируемой по правой частью имела хотя бы один стационарный интеграл , необходимо и достаточно существование такого независящего от решения системы , для которого уравнение Пфаффа

интегрируется одним соотношением .

Необходимость. Пусть система имеет стационарный интеграл . Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество . Дифференцируя тождество раз по , убеждаемся в том, что совокупность функций решение системы .

Достаточность. Пусть теперь система имеет не зависящее от решение, для которого уравнение Пфаффа интегрируется одним соотношением . Тогда существует (6) такая функция , для которой

Поэтому

так как удовлетворяет первому уравнению системы . Из тождества следует достаточность.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Пусть система имеет линейно независимых при каждом решений

, ,

для которых соответствующие уравнения Пфаффа

интегрируется с помощью соотношений .

Тогда представляют собой независимых стационарных интегралов системы .

Доказательство. Согласно теореме 4.2 функции являются первыми интегралами системы . Покажем, что они независимы. Отметим, что для каждой функции существует функция , для которой

Поэтому матрица Якоби имеет вид

Из линейной независимости векторов , при каждом следует, что при всех ранг матрицы Якоби равен . Поэтому функции , , являются независимыми (7, c.682).

Теорема доказана.

Теорема 4.4. Пусть выполнены все условия теоремы 4.1 и существует некоторое при котором уравнение Пфаффа

не вырождается в