Место прямой в начертательной геометрии

Лекция 1. Вводная

Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные формы с их геометрическими закономерностями изучаются в виде их изображений на плоскости.

Основоположником начертательной геометрии, как науки, является французский ученый 18 века Гаспар Монж, систематизировавший все существующие знания в этой области и создавший труд «Geometry descriptive», изданный в 1799 г.. Г. Монж говорил, что «…нужно приучить пользоваться начертательной геометрией всех способных молодых людей, как богатых, для того, чтобы они были в состоянии употреблять свои капиталы с пользой – равно для себя и государства, так и для тех, у которых образование является единственным богатством, для того, чтобы они могли увеличить цену своего труда».

В России впервые этот предмет был введен в Московском высшем училище в 1810 году в Институте путей сообщения в Петербурге.

«Чертеж – это язык техники», - говорил Г. Монж, а проф. Курдюмов продолжал эту мысль: «А начертательная геометрия - это грамматика этого языка, т.к. учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов только линиями и точками, как элементами всякого изображения».

Начертательная геометрия ставит перед собой 2 задачи:

1. Прямая ― научиться изображать на плоскости по оригиналу трехмерные геометрические объекты.

2. Обратная ― по заданному чертежу восстановить положение оригинала в пространстве.

Существуют центральный и параллельный методы проецирования. Рассмотрим первый.

Метод центрального проецирования

Если дана некоторая плоскость П₁, которую мы назовем плоскостью проекций,центр проекций S вне ее, а также точку А, то проведя через т. А из центра S проецирующий луч, мы получим проекцию т. А на пл. проекций П₁. Если таких произвольно расположенных точек будет несколько, то в итоге мы получим некую коническую поверхность, поэтому этот метод называется еще и коническим. При таком способе проецирования нет размерного соответствия между изображением и моделью. (Рисунок 1)

Рисунок 1 Рисунок 2

Метод параллельного проецирования

В тех случаях, когда размерное соответствие обязательно, используют метод параллельного или цилиндрического проецирования, когда центр проецирования находится в бесконечности и проецирующие лучи параллельны между собой (рисунок 2). В качестве фиксированного базиса используют три взаимно-перпендикулярных плоскости проекций.

Первая из них называется фронтальной плоскостью и обозначается латинской буквой V. Она стационарна. А проекциям точек этой плоскости присваивают индекс этой же плоскости, например А^v, А^н, А^w.

Вторая пл. проекций, расположенная горизонтально, так и называется – горизонтальная и обозначается - Н. Для получения плоского чертежа ее поворачивают относительно оси ох переднюю полу вниз, заднюю вверх.

Третья плоскость расположена, как и первая вертикально, но перпендикулярна к фронтальной, и разворачивается против часов стрелки вокруг оси oz при совмещении плоскостей в единую и называется профильной - W.

Эти три плоскости взаимно перпендикулярны и делят пространство на 8 углов – октантов.

Пересекаясь между собой, три плоскости образуют линии пересечения – оси.

V ∩ H Þ ox (ось абсцисс); H ∩ W Þ oy (ось ординат); V ∩ W Þ oz (ось аппликат).

Ниже на чертеже представлена модель пространства и рядом изображение ее на плоскости.

Рисунок 3 Рисунок 4

При этом следует помнить, что проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскостям проекций.

При проецировании мы будем использовать такие геометрические образы как точка, прямая, плоскость, объемные тела.

Точка

Точка – это геометрический образ, не имеющий измерений. Проекцией точки является основание перпендикуляра проецирующего луча, опущенного на плоскость проекций из заданной пространственной точки. Точка может быть задана на чертеже своими координатами, например: А (20;30;15;) или проекциями.

Х - указывает на расстояние до профильной плоскости проекций, Y – до фронтальной, Z – до горизонтальной.

Ортогональный чертеж точки образуется при проведении линий связи из соответствующих координат. На пересечении этих, перпендикулярных между собой линий и образуются проекции точек.

X,Y Þ A^h; X,Z Þ A^v; Y,Z Þ A^w.

Линия связи – это прямая, соединяющая две проекции точки. Следует помнить, что фронтальная A^v и профильная A^w проекции точки всегда находятся на горизонтальной линии связи, а фронтальная A^v и горизонтальная A^h -- на вертикальной

Существует 3 способа получения третьей проекции:

1. Проекционный, когда ножка циркуля устанавливается в начало координат О, и раствором циркуля, равным координате упроводится дуга до пересечения с осью ох.

2. С помощью постоянной чертежа k-45°, когда из начала координат под углом 45° проводят прямую.

3. Координатный (самый точный и поэтому предпочтителен), когда на линии связи А^v - А^w от оси Z откладывают координату Y.

Классификация точек в пространстве

Пространственная точка А находится (Î) в пространстве R, когда ни одна из ее координат не равна 0.

Если одна из кординат = 0, а остальные не равны, то в общем случае точка принадлежит плоскости проекций. Так, если:

1. Х = 0, а Y, Z ¹ 0, то точка принадлежит профильной плоскости проекций.

2. Y = 0, а X, Z ¹ 0, то точка принадлежит фронтальной плоскости проекций.

3. Z = 0, а X, Y ¹ 0, то точка принадлежит горизонтальной плоскости проекций.

Если две координаты точки = 0, то точка находится на оси. Так, если:

1. Y, Z = 0, а X ¹ 0, то точка находится на оси X,

2. X, Z = 0, а Y ¹ 0, то точка находится на оси Y,

3. Х, Y = 0, а Z ¹ 0, то точка находится на оси Z

Когда точка лежит в начале координат О – (ориго - начало, лат.), то все ее координаты равны 0.

При выполнении чертежей и решении задач не всегда нужна третья проекция, поэтому в таких случаях пользуемся системой двух взамно-перпендикулярных плоскостей V и H. Например, эпюры точек А, В, С, D, E, F в системе четвертей выглядят следующим образом:

Рисунок 5

Проверьте себя, знаете ли вы:

1.Что изучает предмет «Начертательная геометрия»?

2.Чем отличаются методы центрального и параллельного проецирования?

3.Что такое плоскости проекций, сколько углов в пространстве они образуют, пересекаясь между собой?

4.Как образуется плоский чертеж (эпюр)?

5.Определение точки в пространстве и способы задания ее на чертеже.

6.Способы построения третьей проекции точки.

7.Классификацию точки в пространстве.

8.Можете ли вы по чертежу определить, как в пространстве расположена точка? (см. рисунок 5).

Лекция 2

Прямая

Прямая – это множество точек с одним измерением. Прямая на чертеже может быть задана проекциями точек или точкой и направлением. В пространстве прямая бесконечна и для ее ограничения используются термины и понятия – отрезок, луч.

Положение прямой в пространстве:

Прямая в пространстве может занимать 7 различных положений относительно плоскостей проекций.

1.Линии уровня – это прямые, параллельные только к одной плоскости проекций, на которую проецируются в натуральную величину:

а) фронтальная f б) горизонтальная h в) профильная p

Рисунок 1

2.Проецирующие прямые – прямые, параллельные двум плоскостям проекций и перпендикулярные к третьей. На две пл. проекций проецируются в натуральную величину на третью - в точку.

а)горизонт.-проецир. m, б)фронт.-проецир. в)проф.-проецир. р

Рисунок 2

3.Линии общего положения – это линии, которые ни на одну из плоскостей проекций не проецируется в натуральную величину. Для такой прямой

1. Z_А - Z_В ¹ 0 2. Y_А – Y_В¹ 0, 3. X_А – X_В¹ 0,

Рисунок 3

Метод прямоугольного треугольника

Чтобы определить натуральную величину (Н.В). прямой общего положения и углы ее наклона к пл. проекций, необходимо воспользоваться методом прямоугольного треугольника.

Рисунок 3

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть требуется отрезок АВ разделить точкой С в заданном отношении СА: СВ= 2: 3. Из точки А проведем в произвольном направлении вспомогательную прямую и на ней отложим 2+3=5 равных масштабных отрезков любой длины, получив отрезок А5. Точки 5 и В соединим прямой. Через точку 2 проведем прямую, параллельную В5, в пересечении этой прямой с отрезком АВ получим искомую точку С. Отрезку СА соответствуют два масштабных отрезка на вспомогательной прямой, а отрезку СВ – три таких отрезка. Точка С делит отрезок АВ в отношении 2: 3.

Рисунок 4

Относительное положение точки и прямой в пространстве

Возможны два случая:

1. А є l 2. А Ï l

Если точка принадлежит прямой, то на эпюре их одноименные проекции совпадают.

1.Точка D є l, тогда Dh є lh, Dv є lv, Dw є lw

Задача 1.

По заданному чертежу определить положение точек относительно заданной прямой.

Рисунок 5

Следы прямой

Следы прямой — это точки пересечения прямой или ее продолжения с плоскостями проекций. У горизонтального следа Z = 0, у фронтального Y = 0.

Для того чтобы найти горизонтальный след, необходимо фронтальную проекцию прямой продолжить до пересечения с осью Х. и провести линию связи до пересечения ее с горизонтальной проекцией прямой.

Чтобы найти фронтальный след, необходимо горизонтальную проекцию прямой продолжить до пересечения с осью Х и провести линию связи до пересечения ее с фронтальной проекцией прямой.

Рисунок 6

Взаимное положение прямых относительно друг друга.

1. Прямые могут быть пересекаться между собой и тогда точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии связи (рисунок а).

2. Прямые могут скрещиваться между собой и тогда точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи (рисунок б).

3. Прямые могут быть параллельны между собой и тогда их одноименные проекции также параллельны между собой (рисунок с).

а) б) в)

Рисунок 7

Проверьте себя:

1. Что такое прямая?

2. Способы задания прямой на чертеже.

3. Положение прямой в пространстве относительно плоскостей проекций.

4. В чем заключается сущность метода прямоугольного треугольника?

5. Деление прямой в заданном отношении.

6. Что такое следы прямой и как построить их проекции?

7. Взаимное положение прямых в пространстве.

Лекция 3

Плоскость

Плоскость – это множество точек с двумя измерениями. Определителем плоскости являются три точки. Через одну и две точки можно провести множество плоскостей, и только через три точки можно провести единственную плоскость. Плоскость безгранична, но если ее ограничивают каким-либо контуром, то она называется отсеком

Существует шесть способов задания плоскостей (рисунок 1):

1) тремя точками,

2) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой,

3) двумя параллельными прямыми,

4) двумя пересекающимися прямыми,

5) плоской фигурой,

6) следами

Рисунок 1

Относительно плоскостей проекций плоскость заданная может занимать шесть различных положений:

1) плоскости уровня: горизонтальная (1), фронтальная (2) и профильная (3), которые параллельны соответствующим плоскостям проекций, и перпендикулярны двум другим (рисунок 1),

2) проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующие (4), фронтально–проецирующие (5), профильно-проецирующие (6), которые перпендикулярны только к одной плоскости проекций (рисунок 1),

3) плоскость общего положения, не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскости проекций (рисунок 2).

Рисунок 2

Из рисунка 2 видно, что следы плоскостей есть ничто иное, как нулевые горизонтали и фронтали, пересекающиеся между собой на оси ОХ, но для простоты оба следа обозначают одной и той же буквой.

Прямые линии и точки в плоскости

Прямая линия принадлежит плоскости, если:

а) она проходит через две точки этой плоскости (рисунок 3а);

б) следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рисунок 3б - частный случай п.1);

в) она проходит через произвольную точку заданной плоскости параллельно любой прямой этой плоскости (рисунок 3в).

а) б) в)

Рисунок 3

Главные линии плоскости

Это прямые:

Горизонталь, h - это прямая, лежащая в плоскости заданной и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рисунки 4 а, б, в).

Фронталь, f – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рисунок 4).

а) б) в) г)

Рисунок 4

Линия наибольшего ската, 1-2 (рисунок 4 г) – прямая, принадлежащая заданной плоскости и перпендикулярная к её горизонталям и фронталям. Прямой угол, составленный л.н.с. плоскости с ее горизонталью, проецируется на горизонтальную плоскость без искажения.

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Задача

Указать, какие из заданных на чертеже точек, принадлежат плоскости Р.

Рисунок 5

Проверьте себя:

1. Что представляет собой плоскость?

2. Что является определителем плоскости?

3. Сколько существует способов задания плоскостей? Назовите их.

4. Какие положения относительно плоскостей проекций может занимать в пространстве плоскость?

5. Условия принадлежности прямой плоскости.

6. Условия принадлежности точки плоскости.

7. Что представляют собой главные линии плоскости?

Лекция 4

Взаимное положение плоскостей в пространстве

Плоскости могут быть между собой параллельны, могут пересекаться и, как частный случай пересечения, могут быть перпендикулярны друг к другу (см. соответственно рисунок 5 – а, б и с).

Рисунок 5

Если плоскости параллельны между собой, то одна из них проходит через прямую, параллельную этой плоскости. Одноименные следы таких плоскостей параллельны между собой.

Задача 1. Через точки А и В провести плоскости Р (Р^н, Р^v) и Р(m∩n) параллельную плоскости (рисунок 6).

Рисунок 6 Рисунок 7

Задача 2

Проверить, параллельны ли между собой плоскости (f ∩ h) и S(m∩n) (рисунок 7).

Пересекающиеся плоскости.

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо определить их две общие точки. Или одну общую точку и через нее провести прямую параллельно любой прямой другой плоскости.

Если обе плоскости заданы следами, то общие точки находят на пересечении одноименных следов (рисунок 8 а, б, в, г,). В других случаях вводятся вспомогательные плоскости – посредники (8 е).

Задача 3

Построить линии пересечения двух плоскостей.

а) б) в) г) д) е)

Рисунок 8

Лекция 5

Прямая и плоскость

Прямая может быть параллельна плоскости (как частный случай принадлежать ей) и может пересекать ее, в том числе и под прямым углом.

1. Прямая, параллельная плоскости

Если прямая параллельна любой прямой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (рисунок 8).

Рисунок 8

2. Точка встречи прямой и плоскости

Чтобы определить точку встречи прямой и плоскости, необходимо:

1) заключить прямую в плоскость, т.е. через заданную прямую провести плоскость, которой она бы принадлежала (рисунок 9).

Рисунок 7

2) построить линию пересечения этих плоскостей

3) на пересечении заданной прямой и линии пересечения и будет находиться искомая точка.

Примеры

Рисунок 10

3. Прямая перпендикулярная плоскости

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Чтобы провести перпендикуляр к плоскости на эпюре, необходимо из фронтальной проекции точки провести перпендикуляр на фронтальную проекцию фронтали (или фронтальный след), а из горизонтальной проекции - перпендикуляр на горизонтальную проекцию горизонтали (или горизонтальный след плоскости, который, собственно и является нулевой горизонталью).

Для нахождения точки встречи перпендикуляра с плоскостью, необходимо воспользоваться правилом, ранее рассмотренным, для нахождения точки встречи прямой и плоскостью.

Задача 1

Из точки А. опустить перпендикуляр на пл. Р.

Рисунок 11

Задача 2

Из точки А плоскости Р восстановить перпендикуляр и, выбрав на нем произвольную точку, определить ее расстояние до этой плоскости.

Рисунок 12

Плоскость, перпендикулярна к другой тогда, когда она проходит через прямую, перпендикулярную к этой плоскости (рисунки 13 а и в).

Если следы плоскостей взаимно-перпендикулярны, это признак того, что плоскости не перпендикулярны.

а) в) с)

Рисунок 13

Перпендикулярность геометрических элементов

Проецирование углов

1. Произвольный угол между двумя произвольными проецируется без искажения только на ту плоскость, которой он параллелен.

2. Теорема.

Прямой угол между двумя прямыми проецируется на плоскость в натуральную величину, если одна из сторон этого угла параллельна этой плоскости.

Рисунок 14

Проверьте себя:

1. Какие положения относительно друг друга занимают плоскости в пространстве?

2. В чем заключается признак параллельности двух плоскостей?

3. В чем заключается признак перпендикулярности двух плоскостей?

4. В чем заключается признак параллельности прямой и плоскости?

5. В чем заключается признак перпендикулярности прямой и плоскости?

6. В чем смысл теоремы прямого угла?

Лекция 6

Методы преобразования

Существует два метода преобразования:

Метод вращения, сущность которого заключается в том, что плоскости проекций остаются неизменными, а геометрический объект вращается в пространстве вокруг заданой оси таким образом, как это необходимо для решения задачи.

В свою очередь, метод вращения подразделяется на:

а) вращение вокруг осей перпендикулярных к плоскостям проекций:

На рисунке 1а – вокруг фронтально-проецирующей оси точка поворачивается на 30°, на 1б – вокруг горизонтально-проецирующей оси т. А вращается до совпадения с пл. Р

а) б)

Рисунок 1

б) вращение треугольника АВС вокруг горизонтальной линии уровня дает нам его натуральную величину (рисунок 2):

Рисунок 2 Рисунок 3

в) вращение отрезка АВ вокруг горизонтального следа плоскости R до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций, на которой отображается Н.В. АВ и углы его наклона к плоскостям проекций (частный случай вращения вокруг горизонтальной линии уровня) – (рисунок 3);

г) вращение без указания осей (метод плоско-параллельного перемещения) - рисунок 4. на котором мы также получаем натуральную величину отрезка АВ;

Рисунок 4

Сущность метода плоскопараллельного перемещения заключается в том, что плоскости проекций остаются неизменными, а геометрический объект меняет свое положение так, как это необходимо для решения задачи. При этом одна из проекций остается неизменной по величине и пропорциям, меняя только свое положение, а точки другой перемещаются параллельно между собой и второй плоскости проекций.

2 – метод замены плоскостей проекций – его сущность заключается в том, чтогеометрический элемент остается неподвижным, а вводится дополнительная плоскость проекций, на которую г.о. проецируется как это необходимо по условию задачи.

На рисунке 5 натуральная величина отрезка АВ найдена вышеуказанным методом.

Рисунок 5