Редуцированные полукольца

Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

\Подпись\ ____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров, 2003.

План.

1. Введение.

2. Основные понятия, леммы и предложения.

3. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c Î S;

4. 0a = 0 = a0 для любого aÎ S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, ÎS выполняется a = , как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема .Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ=Æ);

3. все идеалы O, PÎSpecS, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы OM, MÎMaxS, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и PÍMÞO=OM для "PÎSpecS и MÎMaxS

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ((1)).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, , ¢,cÎS выполняется

abc = ab¢c Û acb = acb¢.

Определение 4. Элемент aÎS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1.Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = ab¢. Тогда

baba = bab¢a и ¢aba =¢ab¢a,

откуда

baba + b¢ab¢a = bab¢a + b¢aba

или иначе

(ba)+ (¢a)= bab¢a + ¢aba.

В силу редуцированности ba = b¢a, т.е.

ab = ab¢ Þ ba = ¢a. (1)

Аналогично доказывается ba = ¢a Þ ab = ab¢.

Пусть ab = ab¢. Тогда с помощью (1) ba = ¢a, откуда bac = ¢ac и acb = acb¢. Значит, имеем:

ab = ab¢ Þ acb = acb¢, ba = ¢a Þ bca = ¢ca. (2)

Пусть сейчас abc = abc¢. Тогда

abc= ab¢cÞ acbc = acb¢cÞ acbac=acb¢acÞacbacb=acb¢acbи

acbacb¢= acb¢acb¢Þ (acb)+ (acb¢)= acb¢acb+ acbacb¢ Þ acb = acb¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пусть a+ = ab + ba влечёт a = . При = 0 получаем a= 0 Þ a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального > 2, то c= 0 для k Î N с условием n £ 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S= {0, a, , 1}, операции в котором заданы следующим образом:

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa= ab, но aa¹ba. Во-вторых, S– полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB Í P влечёт A Í P или B Í P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a Î P или Î P для "a, Î S.

Предложение 2. Идеал Pполукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, ÎS \ P найдётся элемент ÎS такой, что asbÏP. Если S- коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, ÏP влечёт abÏP.

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, Ï P. Тогда главные идеалы (a) и () не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t Î aSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u,v,wÎS, то хотя бы для одного i Î {1,…,k} av Ï P, ибо в противном случае каждое слагаемое uavw лежит в P, и следовательно, tÎ P.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но AP. Тогда найдётся a Î A \ P. Предположим, что BP. Получим, что некоторый элемент Î B \ P и по условию asb Ï P для подходящего ÎS. Но тогда и ABP, и следовательно, P - первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m-системой, если 0 ÏT, 1 ÎT и для любых a, Î T найдётся такой ÎS, что asbÎ T.

Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где ÎNи a¹0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 Ï T, 1Î T и для "a,aÎ T $с = 1ÎS : aсa= aÎ T. Таким образом, T является m-системой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ Pявляется m-системой. И хотя дополнение до m-системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3.Пусть T-m-система, а J- произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P Ê J, P Ç T = Æ и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb Í P для некоторых a, Ï P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть mÎ (P+SaS) Ç T, r Î (P+SbS) Ç T и msrÎ T для некоторого ÎS. Но, с другой стороны,

msr Î (P+SaS) × (P+SbS) Í P+SaSbS Í P.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSbÎP неверно, и P- первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M Í A влечёт M = Aили A= S для каждого идеала A.

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеалJ и не пересекающуюся с ним m-систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a Î Sмножество

AnnaS = {t Î S: (" Î S) ast=0} называется аннулятором элемента a.

AnnaS является двусторонним идеалом полукольца S.

Anna ={ Î S: as = 0} - правый идеал и AnnaS Í Ann a.

Определение 10. Для любого идеала P множество O = { Î S: ($tÏP) sSt = 0} = { Î S: Ann sSP} называется O-компонентой идеала P.

Лемма 1.Oявляется идеалом для любого первичного идеала P.

Доказательство: Пусть a, Î O. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u Ï P. В силу первичности Ptsu Ï P для подходящего Î S. Для любого v Î S

(a + )vtsu = (avt)su + (vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = (avt) = 0 = 0, поэтому a + , sa,as Î O, и O - идеал.

Лемма 2.Пусть PÍM- первичные идеалы полукольца.

Тогда OMÍOÍ P.

Доказательство: Пусть a Î OM, тогда aSt = 0 для некоторого tÏ M. Поскольку t Ï P, то a Î O, и значит, OM Í O. Для любого Î S 0 = ast Î P. Поскольку P первичен, то a Î P или t Î P, отсюда a Î P, и следовательно, OÍ P.

Лемма 3.Для произвольных первичных идеалов P и P¢ симметрического полукольца S верна импликация:

PÇP¢ не содержит первичных идеалов ÞOP¢.

Доказательство: Предположим, что O Í P¢. Полагая A= S \ P и B= S \ P¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A È B. Покажем, что AB Ç O = Æ. В самом деле, если Î AB Ç O, то = 0 для некоторого Î A, т.е. {0} Î AB. Поскольку является произведением элементов из A È B, то в силу первичности идеалов Pи P¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u Î B, v Î A. Откуда u Î OP¢ - противоречие.

Таким образом, AB является m-системой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий O. А так как A È B Í AB, то P Ç P¢ Ê Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и OpP¢.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P¢ в симметрическом полукольце, еслиOÍP¢, то пересечение Pи P¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, ) = { Î S: "xÎS (axs = bxs)} - идеал полукольца S для "a, Î S.Очевидно, (a, 0) = AnnaS.

Для произвольного идеала A обозначим - пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, Î Sвыполняется

= (a, ).

Определение 12. Пересечение radS всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5.Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = AnnaS для всех aÎS.

Доказательство: При a = 1 radS = = AnnS = 0, т.е. S - полупервично.

Пусть S - полупервичное полукольцо и Î. Для каждого первичного идеала P, либо P содержит AnnaS, либо AnnaS не содержится в P. В первом случае Î P, во втором случае a Î O Í P. Тогда aSbradS = 0, откуда Î AnnaS. Следовательно, Í AnnaS. Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2.Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть c Ï(a, ) для a, Î S. Тогда ac ¹ bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc ¹ acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac¹ bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac¹ bc, и следовательно, ac¹ bc. По индукции ac ¹ bc. Значит, T = {1, c, c,…} - m-система, не пересекающаяся с (a, ), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, ), при этом c Î S\ P. Значит, c Ï, откуда Í (a, ). Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a, ) Þ по определению 12 S - строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через SpecS множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

D(A) = {P Î Spec S: AP}.

Множество D({0}) = {P Î Spec S: {0}P} = Æ, а Spec S = D(S).

D(A) Ç D(B) = { P Î SpecS: AP Ù BP} = { P Î SpecS : ABP} = D(AB).

SpecS является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD(A).

Лемма 4.Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Î Spec S: Ann A Í P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P Î D(A), т.е. AP, то AnnA Í P, т.е. P Î Y. Откуда Í Y, ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P Ï. Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B), где B - некоторый идеал в S, не пересекающийся с.

D(A) Ç D(B) = Æ, тогда AB Í rad S = 0, т.е. B Í Ann A.

Тогда P не содержит AnnA, иначе Pсодержал бы B . Следовательно, P Ï Y . Получили Y Í .

Лемма 5.Пусть P- первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = OÛP- минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = O , P ¢Î SpecS и P ¢ Í P. Тогда OÍ OP¢ Í P ¢. Поэтому P ¢= P, и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a ÎP \ O. Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{ a} $с = 1ÎS : aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с O. Действительно, если aÎ O , Î N, то a = 0 для некоторого ÎS \ P. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то естьa Î O ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в PÇ P ¢,что противоречит минимальности P. Значит, P Í O. Также O Í P (Лемма 2). Тогда P = O.

Лемма 6.Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a, Î S \ P, то asb Ï P для подходящего Î S, откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.

Определение 14. S – слабориккартово Û "a Î S "Î Ann aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N– полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0ÎN. Тогда AnnaS = N. В результате получим, что AnnaS + Ann = N. Теперь возьмём aÎN \ {0}. Тогда AnnaS = {0}, а Ann= N. В результате получим, что AnnaS + Ann = {0} + N = N . Таким образом, N– слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема .Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ=Æ);

3. все идеалы O, PÎSpecS, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы OM, MÎMaxS, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и PÍMÞO=OM для "PÎSpecS и MÎMaxS

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S- редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому Sобладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1)Þ3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал O вполне первичен. Пусть P Î Spec S и ab ÎO при a, b Î S.

Тогда $ сÎS \P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для " s Î S.

Возьмём = 1 Þ abc = 0 Þ bc Î AnnaS (по определению AnnaS). Но Ann aS Í Ann a . Тогда bc ÎAnn a. По условию 1) S - слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a ÎS, bc Î Ann aS.

$ e ÎAnn aS, f ÎAnn bc: e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что a ÏO Þ AnnaS Í P (по определению Ann aS) Þ e ÎP.

Тогда f ÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P - первичный идеал Þ P - собственный Þ 1ÏP.

f ÎAnn bc Þ bcf = 0. Т.к. S - симметрическое Þ bScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP, f ÏP , а P - первичный идеал) Þ Î O .

Таким образом, получили, что все идеалы O , P Î SpecS, вполне первичны.

3)Þ4). По условию 3 все идеалыO , где P Î SpecS, первичны. Но M Î MaxS – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M Î SpecS. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM, где M Î SpecS и M Î MaxS, первичны.

Пусть P Í M. Тогда OM Í O (лемма 2).

Если a Î O , т.е. ab = 0 при некотором ÎS \ P и = 1ÎS, то a ÎOM , ибо ÏOM Í P, а ab = 0 ÎOMи OM псевдопрост (доказано выше). Значит и OÍ OM . Тогда O = OM .

4)Þ5). Пусть P – первичный идеал из S иP Í M. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как P Í M Þ O= OM. Также O ÍP (Лемма 2). Докажем, что OM– минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S. Но QÍ M Þ OMÍ OQÍ Q. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал Þ OQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что O = OM =Q.

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢ - произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP¢ = OM(по условию 4)). Также OP¢ = P ¢ .

Тогда получили равенство Q= OQ = OM = OP¢ = P ¢ . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMaxS, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5)Þ6). Пусть ab = 0, но Anna + Ann ¹ S для некоторых a, ÎS.

Тогда Anna + Ann Í M для подходящего M Î MaxS.

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. ТогдаOM Í P (Лемма 2). Предположим, что $a Î P \ OM . Степени элемента aобразуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{a} $с = 1ÎS: aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, еслиaÎ OM, Î N, то a = 0 для некоторого ÎS \ M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть aÎOM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢ OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пусть q, w Î S \ P и q, w Î S \ P ¢. Тогда $ Î S: qsw Ï P Þ qsw Ï PÇ P ¢ ÞP Ç P ¢ -первичный идеал, что противоречит минимальности P. ЗначитP Í OM и P = OM. Первичный идеалOM псевдопрост, поэтому aÎOM или ÎOM. Откуда по определению нуль-компонент AnnaM Ú AnnM Þ Anna + AnnM Þ противоречие Þ Anna + Ann = S.

6)Þ1). Возьмём "a, b ÎS: ab = 0 Þ Î Ann aS.

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Anna + Ann = S. Так как в симметрическом полукольце AnnaS = Anna, то AnnaS + Ann = S. Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2)Û6). Пусть a, b Î S и ab = 0. D(a) Ç D() = {PÎSpec S: aÏP Ù ÏP} = { PÎSpec S: ab Ï P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = Æ.

Обратно, D(a) Ç D() ={PÎSpec S: aÏP Ù ÏP} ={PÎSpec S: ab Ï P}=D(ab) =Æ Þ ab = 0, так как D(x) = Æ Û x = 0.

Таким образом, ab = 0 Û D(a) Ç D() = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {SÎSpec S: Ann aÍP Ù Ann bÍP} = Æ.

Тогда Ann a + Ann bM для " M Î Max S Í Spec S Þ Ann a + Ann b = S.

В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Þ Ann aM Ú Ann bM для подходящего M Î Max S Í Spec S.

Тогда = {S Î Spec S: Ann a ÍP Ù Ann b ÍP} = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a+ b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и , что ab = 0 и a+ bÎA. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Anna + Ann = S, то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnna и k ÎAnn.

c Î Anna Þ ac = 0 (по определению аннулятора).

k Î Ann b Þ bk = 0.

a = a×1 + 0 = a×(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + )×k = (a + )×k ÎA.

Получили a ÎA, что и нужно было доказать.

Литература.

1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.