Симплекс метод в форме презентации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пермский государственный технический университет

Лысьвенский филиал

Кафедра ЕН

Курсовая работа

по дисциплине «Системный анализ и исследование операций»

по теме: «Симплекс метод в форме презентации»

Выполнил студент группы ВИВТ-06-1:

Старцева Н. С.

Проверил преподаватель:

Мухаметьянов И.Т.

Лысьва 2010г.

Содержание

Введение. 3

Математическое программирование. 5

Графический метод. 6

Табличный симплекс – метод. 6

Метод искусственного базиса. 7

Модифицированный симплекс – метод. 7

Двойственный симплекс – метод. 7

Общий вид задачи линейного программирования. 9

Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. 11

Вычислительные процедуры симплекс – метода. 11

Теорема 1: 13

Теорема 2: 14

Теорема 3: 15

Теорема 4: 15

Теорема 5: 15

Переход к новому опорному плану. 15

Двойственная задача. 17

Теорема 1 (первая теорема двойственности) 18

Теорема 2(вторая теорема двойственности) 18

Заключение. 20

Приложение. 21

В последние годы в прикладной математике большое внимание уделяется новому классу задач оптимизации, заключающихся в нахождении в заданной области точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, зависящей от большого числа переменных. Это так называемые задачи математического программирования, возникающие в самых разнообразных областях человеческой деятельности и прежде всего в экономических исследованиях, в практике планирования и организации производства («Определение наилучшего состава смеси», «Задача об оптимальном плане выпуска продукции», «Оптимизация межотраслевых потоков», « Задача о диете», «Транспортная задача» и т.д.).

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию

Z = С₁х₁+С₂х₂+... +С_Nx_N

при линейных ограничениях

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

a_М1x₁ + a_М2x₂ + ... + a_МNХ_N = b_М

Так как Z - линейная функция, то Z = С_j, (j = 1, 2, ..., n), то все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

Цель данной курсовой работы: изучить и научиться применять на практике симплекс - метод для решения задач линейного программирования.

Задачи курсовой заботы:

1. привести теоретический материал;

2. на примерах рассмотреть симплекс метод;

3. представить данную курсовую работу в виде презентации.

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x₁, x₂, ... , x_n ) при ограничениях g_i ( x₁, x₂, ... , x_n ) * b_i , где g_i - функция, описывающая ограничения, * - один из следующих знаков £, =, ³, а b_i - действительное число, i = 1, ... , m. f называется целевой функцией.

Линейное программирование – это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так. Найти max

при условии: a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n £ b₁;

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n £ b₂;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + . . . + a_mn x_n £ b_m;

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0, . . . , x_n ³ 0 .

Эти ограничения называются условиями не отрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом.

Найти:

max c_T x

при условии:

A x £ b;

x ³ 0 ,

где А - матрица ограничений размером (m´n),

b(m´1) - вектор-столбец свободных членов,

x(n ´ 1) - вектор переменных,

с_Т = (c₁, c₂, ... , c_n) - вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х₀ называется оптимальным, если для него выполняется условие:

с_Т х₀ ³ сТ х , для всех х Î R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max (- f(x)), то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный (прямой, простой) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

Графический метод

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и целевой функции задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклуюфигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

Табличный симплекс – метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “меньше либо равно”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему:

1. Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ”

или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

2. Формируется симплекс-таблица.

3. Рассчитываются симплекс – разности.

4. Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

5. При необходимости выполняются итерации.

На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков

“равно”, “больше либо равно”, “меньше либо равно” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m, а в задачи минимизации - с положительными m. Таким образом, из исходной получается новая m - задача.

Если в оптимальном решении m - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении m - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

Модифицированный симплекс – метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры, которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта, хороша для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс – разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомогательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

Двойственный симплекс – метод

Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которой среди векторов, составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, имеется m единичных. Вместе с тем двойственный симплекс-метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами (при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательными).

Общий вид задачи линейного программирования

,

Ограничения:

1. Правые части всех ограничений должны быть неотрицательными b_i≥0, i=1,..m. Если какой-нибудь из коэффициентов b_i< 0, то необходимо коэффициенты ограничения слева и справа домножить на "-1" и изменить знак данного ограничения на противоположный;

2. Все ограничения должны быть представлены в виде равенств, поэтому при переходе от неравенства к равенству используют аппарат дополнительных переменных. Если исходные ограничения определяют расход некоторого ресурса (знак ""), то переменные x_j≥0, j=n+1,…k следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть ресурса. В этом случае x_j– остаточная переменная и вводится в уравнение со знаком "+". Если исходные ограничения определяют избыток некоторого ресурса (знак ""), то вводится избыточная переменная x_j≥0, j=k+1,…N знаком "-".

Переменные:

· Все переменные должны быть неотрицательными, т.е. x_j≥0, j=1,…n.

· Если переменная не имеет ограничения в знаке, то её нужно представить как разность двух неотрицательных переменных: x=x^’-x^’’, где x^’≥0, x^’’≥0. Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях, содержащих эту переменную, а также в выражении для целевой функции. Если такая переменная попадает в оптимальное решение, то

.

Целевая функция:

· Подлежит максимизации или минимизации. max z= - min(-z)

· Система ограничений в виде равенств и неравенств образует выпуклое множество - выпуклый многогранник. Это множество может быть ограниченным и неограниченным. Целевая функция задачи линейного программирования также является выпуклой функцией. Таким образом, задача линейного программирования является частным случаем задачи выпуклого программирования.

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования в виде равенств