Метод векторів та його застосування

Метод векторів та його застосування

Вступ

Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення.

Уперше поняття вектора як напрямленого відрізка знайшло застосування в механіці для зображення фізичних векторних величин: швидкості, прискорення, сили, моменту сили тощо. Високий ступінь наочності і простота геометричних операцій над векторами як напрямленими відрізками сприяли тому, що поняття вектора знайшло загальне визнання і застосування в інших розділах фізики: в кінематиці, статиці, динаміці точки і динаміці системи, в теорії потенціалу та гідродинаміці, а також стало одним із основних понять таких наук, як векторна алгебра, векторний аналіз, теорія поля, тензорний аналіз тощо.

Проте хоча поняття вектора знайшло перше застосування в фізиці, це математичне поняття, усі операції над якими виконуються за законами математики.

Вектор як математичне поняття міцно ввійшов у шкільну математику, у різні нематематичні науки. В школі за допомогою векторного метод розв’язується багато різноманітних задач, які не мають іншого способу розв’язання.

Саме тому вивчення поняття вектора є дуже важливим в сучасних умовах розвитку математичних наук.

1. Поняття вектора

В елементарній геометрії, як відомо, відрізком AB називається сукупність всіх точок прямої, що лежать між A і B. Точки A і B називаються кінцями відрізка. При цьому, очевидно, порядок, в якому беруться кінці відрізка, несуттєвий. Однак при використанні геометрії у вивченні фізики, особливо механіки, часто доводиться розглядати напрямлені відрізки, тобто відрізки, для яких вказані початкова і кінцева точки. Тобто ABі BA геометрично один і той же відрізок, то, розглядаючи їх як напрямлені відрізки, ми повинні враховувати, що вони задають різні об’єкти.

Означення 1. Відрізок АВ називається напрямленим, якщо береться до уваги порядок його кінцевих точок. Перша точка (А) називається його початком, а друга (В) – його кінцем.

Позначають напрямлений відрізок так: АВ.

Означення 2. Довжиною напрямленого відрізка називається

довжина відрізка АВ. Позначають: . Звідси = АВ=

Означення 3. Напрямлені відрізки АВі CDназиваються однаково напрямленими (спів напрямленими), якщо однаково напрямлені промені АВі CD, і протилежно напрямленими, якщо ці промені протилежно напрямлені.

Означення 4. Векторомназивається множина однаково напрямлених (спів напрямлених) відрізків однакової довжини.

Означення 4.1. Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого вказано, яка з обмежуючих його точок рахується першою, яка – другою. Перша точка напрямленого відрізка називається початком вектора, а друга точка – кінцем.

Напрямок вектора на кресленні відмічається стрілкою, оберненою гострим кінцем до кінця вектора. В тексті вектор записується двома великими літерами латинського алфавіту зі спільною рискою зверху, при цьому перша з них позначає початок, друга – кінець вектора. Наприклад, , (мал. 1.a), причому А, C – відповідно початки, а В, D – кінці даних векторів. В деяких випадках вектор позначається також однією малою літерою, наприклад, a, , c,… (мал. 1.b).

мал. 1.aмал. 1.

Означення 5. Вектори і називаються однаково напрямленими(спів напрямленими), якщо спів напрямлені відповідні їм напрямлені відрізки і (мал. 2.a), і протилежно напрямленими, якщо напрямлені відрізки і протилежно напрямлені (мал. 2.b).

мал. 2.aмал. 2.

Означення 6. Довжиною (модулем) вектора називається довжина будь-якого представника класу спів напрямлених відрізків, який визначає цей вектор.

Інакше кажучи, довжиною вектора називається довжина напрямного відрізка, який зображає цей вектор.

Модуль вектора позначають , а вектора АB– .

Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називається нульовим вектором, позначають або . Нульовий вектор не визначає ніякого напряму, а його довжина вважається рівною нулю.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором, або ортом.

Рівність векторів

Означення 1. Два вектори називаються рівними, якщо множини відповідних їм напрямлених відрізків збігаються. Пишуть: =.

Всі нульові вектори вважаться рівними один одному.

Із цього означення випливає така ознака рівності двох векторів.

Теорема 1. (перша ознака рівності двох векторів).

Для того щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб вони були однаково напрямленими і мали рівні довжини.

Доведення:

1. Необхідність. Нехай вектори і рівні. Доведемо, що і =.

Якщо =, то, за означенням 1, множини напрямлених відрізків, які відповідають цим векторам, збігаються. Тому , =. Звідси ,=, що й треба було довести.

2. Достатність. Нехай , =. Доведемо, що =. Якщо, , =, то , =, тобто і належать одній і тій же множині однаково напрямлених відрізків рівної довжини. А це означає, що =. Теорему доведено.

Наслідок. Два вектори, кожен з яких дорівнює третьому, рівні між собою.

Теорема 2.(теорема про відкладання вектора).

Від будь-якої точки простору можна відкласти вектор, рівний даному, і до того ж єдиний.

Доведення: Нехай даний вектор зображається напрямленим відрізком . Виберемо у просторі довільну точку О, сполучимо точку Вз точкою Оі позначимо середину відрізка ОВчерез С(мал. 3). Проведемо

відрізок АС і відкладемо на його продовженні відрізок CM=АС. Чотирикутник АВМОє паралелограмом, бо його діагоналі точкою перетину діляться пополам. Звідси випливає, що промені АВі ОМоднаково напрямлені, а відрізки АВі ОМрівні. Отже, ==.

Доведемо тепер, що цей вектор єдиний. Припустимо, що існує інший вектор =, відмінний від . Але ж і =, тому =. Отже, , =, тому точки M і збігаються, що суперечить припущенню. Тобто від точки O можна відкласти лише один вектор, рівний даному вектору . Теорему доведено.

Означення 2. Два вектори називаються протилежними, якщо вони протилежно напрямлені і мають рівні довжини. Вектор, протилежний до , позначається - (мал. 4). Очевидно, =-, – (-)=.

Додавання векторів, властивості операції додавання векторів

Введемо операцію додавання векторів, яка відіграє важливу роль в векторній алгебрі.

Означення. Нехай задано два вектори і . Від деякої точки A відкладемо вектор =, потім від точки B відкладемо вектор =. Вектор = називається сумою векторів і і позначається так: =+ (мал. 5). Помітимо, що для знаходження двох неколінеарних векторів доводиться будувати трикутник. Тому вказане правило додавання векторів називають правилом трикутника.Це правило можна сформулювати так: для будь-яких трьох точок A,B іC+=, або: сумою векторів і євектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що вектор відкладено від кінця вектора .

З цього правила випливає правило паралелограма: якщо вектори і відкладені від спільного початку O, =, = (мал. 6) і на них побудовано паралелограм OACB, то сумою векторів + є вектор =, який виходить з того ж початку і збігається з діагоналлю OC паралелограма.

Розглянемо властивості операції додавання векторів.

Властивість 1. Операція додавання векторів комутативна, тобто для будь-яких векторів і : +=+.

Доведення: За правилом трикутника маємо (мал. 7):

Властивість 2. Операція додавання векторів асоціативна, тобто для будь-яких векторів , , : (+)+= +(+)

Доведення: Візьмемо довільну точку Aі від неї відкладемо вектори =, =, = (мал. 8). Тоді +=, (+)+=; +=; +(+)=. Отже, (+)+ =+(+).

Властивість 3. Сумою протилежних векторів є нуль-вектор: +(-)=0.

Доведення. Нехай =, тоді -=, і за правилом трикутника матимемо +(-)=+==0.

Властивість 4. Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання: +=+.

Доведення: Нехай =, =, тоді за правилом трикутника +=+==.

Знаведених властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів має ті ж властивості, що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: (+)+=+(+)=(+)+=(+).

Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника. Щоб знайти суму n векторів (мал. 9), потрібно з довільної точки O відкласти вектор =, з його кінця – вектор =,…,= (початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор = буде сумою даних векторів.

Віднімання векторів

Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення. Різницею векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор : -=якщо +=. /1/

Доведемо, що вектор існує і притому єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох частин рівності вектор (-) і користуючись властивостями суми векторів, маємо: (-)++=(-)+. /2/

Отже, якщо вектор існує, то він визначається попередньою рівністю /2/, а тому єдиний. Дійсно, підставивши /2/ в /1/, одержимо правильну рівність: ++(-)=.

Отже, вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів і : -=+(-)=. За правилом трикутника +=. Звідси
=- (мал. 10).

Отже, для побудови різниці векторів і досить відкласти ці вектори від спільного початку (=,=) і провести вектор від кінця B вектора-від’ємника до кінцяCвектора-зменшуваного; цей вектор і є шуканою різницею -: =-.

Множення вектора на число

Означення. Добутком вектора на дійсне число α називається вектор , який задовольняє такі умови:

1) =*;

2) , якщо α >0, і , якщо α <0.

Такий вектор позначається = α .

Операція добутку вектора на число має такі властивості.

Властивість 1. α*=0*= для будь-якого дійсного числа α і будь-якого вектора . Ця властивість випливає з умови 1) означення.

Властивість 2. Для будь-якого вектора 1*=; -1*=-. Ця властивість випливає безпосередньо з означення.

Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел α і β: α(β)=(αβ) .

Доведення. Нехай α(β)=, (αβ) =. Доведемо, що =. Маємо:

=*=**,

=*=**.

Отже, =. Покажемо, що . Якщо α і β одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа α і β протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.

Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α(+)=α+α, для , і α R.

Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори =, =, =α, =α (мал. 11). Тоді +=, α+α=. Покажемо, що =α. Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB~ . Звідси випливає, що OAB=, а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =α*=*. Тому =α*.

Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).

Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α (+) = α+α.

Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β)=α+β, і α, β R.

Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).

1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α+β однаково напрямлені. Крім того,

;

.

Отже, і вектори (α+β) та α+β рівні.

2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β)=(-β+β)=0=0; α+β= -β+ β=0, отже, властивість справджується.

Якщо α-β, тоді –α, α+β або –β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α)+ (α+β)=(-α+α+β)=β(α+β)= α+β, що і треба було довести.

2. Колінеарність векторів

Означення. Два ненульових вектори і називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: ||(мал. 13).

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α. /1/

Доведення.

1. Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то =, оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: ==. Позначивши α =, дістанемо =α. Якщо , то аналогічно доводиться, що = -. Нехай α = -, тоді також = α.

2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.

Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α =, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення :двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори і однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільної точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,,компланарні, а вектори ,неколінеарні, то існують єдині числа α, βтакі, що: = α + β. /2/

Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O,A, Bне лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1. Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори і колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = β, де β – деяке число. Отже, =0*+ β, тобто має місце розклад /2/.

2. С (ОВ). Проведемо || OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника =+. Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α =, β =. Дійсно, якби, наприклад, α , то було б, ||, що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора за векторами і . Теорему доведено.

Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , , некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що = α+β+γ .

Лінійна залежність векторів

Означення. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,…, серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що ++ … += 0. / 4/

Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при ==…== 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Сума ++ … + називається лінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що ++ … += 0 /5/

При цьому принаймні одне з чисел , ,…, не дорівнює нулю. Нехай, нап