Закони збереження та динаміка обертального руху

Лекції з навчальної дисципліни

физика

Зміст

Тема 1. Закони збереження

Організаційно-методичні вказівки до проведення лекції

Вступ

Закон збереження імпульсу

Робота сили. потужність

Кінетична енергія. потенціальна енергія, закон збереження механічної енергії

Елементи кінематики обертового руху

Висновки

Тема 2. Динаміка обертального руху

Організаційно-методичні вказівки до проведення лекції

Вступ

Момент сили. кінетична енергія обертового тіла

Момент інерції. рівняння динаміки обертового руху

Момент імпульсу. закон збереження моменту імпульсу

Поняття про гіроскопічний ефект

Висновки

Навчальна література

Тема 1. Закони збереження

Навчальний потік інженери

Час 2 години

Місце 235 кл

Навчальна та виховна мета

_________________________________________

__________________________________________________________

Навчальні питання і розподіл часу

Вступ_____________________________________ -… хвил.

1. Закон збереження імпульсу. -… хвил.

Робота сили. Потужність. -… хвил.

Потенціальна енергія. Кінетична енергія. Закон

Збереження механічної енергії. -… хвил.

4. Елементи кінематики обертального руху. -… хвил.

Висновки та відповіді на питання -… хвил.

Навчально-матеріальне забезпечення

Маятник Обербека.

Лектор -2000.

Кінофільм: “Законы сохранения в механике”

Організаційно-методичні вказівки до проведення лекції

Перевіряється наявність курсантів та оголошується тема, мета та питання, що вивчаються, дається література.

Розглянути систему взаємодіючих тіл, користуючись кадрами "Лектора-2000"; сформулювати закон збереження імпульса. Пояснити, що робота характеризує дію сили, пов’язану з переміщенням тіл, розглянути роботу змінної сили.

Визначити кінетичну, потенціальну енергії та сформулювати закон збереження механічної енергії.

Записати кінетичні рівняння обертального руху, пояснити його за допомогою маятника Обербека.

Вступ

Закон збереження імпульса - один із основних законів природи. Справедливість його підтверджується всією сукупністю фізичних знань.

Закон збереження імпульса - пов’язаний з законом Ньютона.

Цей закон справедливий не тільки для тіл (частинок речовини), а й для випромінювання. Робота сили при переміщенні тіла у відсутності сили тертя, дорівнює приросту кінетичної енергії та спаду його потенціальної енергії.

Згідно Ньютонівської механіки повна механічна енергія замкнутої консервативної системи зберігається.

Закон збереження імпульсу

Розглянемо систему взаємодіючих тіл (рис.1).

Рис.1

На рис.1 сили - внутрішні сили взаємодії тіл системи, а F₁, F₂, F₃ - зовнішні сили, діючі на тіла системи. Запишемо для кожного із трьох тіл системи другий закон Ньютона:

, (1),

Складемо всі три рівняння. З третього закону витікає, що сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулю. Тоді одержимо:

,

де - імпульс всієї системи.

Якщо зовнішні сили відсутні або їх геометрична сума рівна нулю, то, а це означає, що p = const.

Таким чином, повний імпульс замкненої системи залишається сталим. Це і є закон збереження імпульсу, який являється одним із фундаментальних законів природи.

Робота сили. потужність

Часто можна спостерігати такі дії сил, при яких тіло переміщується, але кількість руху, його не змінюється. Тому необхідно ввести фізичну величину для характеристики тої дії сил, яка визиває переміщення тіл. Такою величиною є робота.

Хай тіло М під дією или F переміщується по відрізку шляху S=BC (рис.2).

Рис.2

Тоді робота буде дорівнювати добутку проекції сили F на дотичну до траєкторії (тангенціальної складової на величину пройденого шляху S.

(3)

Формула (3) справедлива, якщо . Якщо ж величина тангенціальної складової являється функцією шляху (рис.3), то для обчислення роботи розбивають на такі малі елементарні ділянки , щоб величину сили на кожній з них можна було вважати постійною і знаходять на кожній ділянці роботу

.

Рис.3

Повна робота буде на всьому шляху приблизно дорівнювати сумі елементарних на всіх ділянках

(4)

Повна робота буде обчислена тим точніше, чим на більш малі ділянки буде розбитий шлях. В результаті, коли шлях розбивається на нескінченно малі ділянки, повна робота буде дорівнювати сумі нескінчено малих величин в вищій математиці обчислюється шлях інтегрування.

Отже, маємо:

(5)

Тут dS - нескінчено мале переміщення, F - сила, діюча на тіло на цьому переміщенні, a - кут між силою і переміщенням.

В математиці вираз FdS cos a називається скалярним добутком вектора і позначається . Тому повний вираз можна записати так:

(6)

З рис.3 видно, що елементарна робота чисельно дорівнює площі заштрихованої ділянки, а повна робота - площі фігури, обмеженої кривої , віссю і ординатами початку та кінця шляху.

В системі СІ робота вимірюється в джоулях. Робота в один джоуль здійснюється силою в 1К на шляху в 1 м.

Розмірність роботи в системі СІ рівна:

(7)

Отже, робота виконується силами взаємодії в процесі переміщення тіл.

Потужністю називається фізична величина, яка дорівнює відношенню роботи до проміжку часу, за який вона здійснюється.

В випадку змінної потужності вводиться поняття миттєвої потужності.

, .

Кінетична енергія. потенціальна енергія, закон збереження механічної енергії

Кінетичною енергією називається енергія механічного руху любого тіла: вимірюється вона тою роботою, яку могло б здійснити тіло при його гальмуванні до повної зупинки, при тій роботі, яку потрібно здійснити, щоб надати тілу дану швидкість.

Нехай тіло 1 (матеріальна точка) масою m, яка рухається зі швидкістю, починає взаємодіяти з тілом 2 і, в результаті цього, гальмується.

При цьому швидкість його зменшується, а значить на тіло діє сила, яка по другому закону Ньютона дорівнює:

.

Якщо за нескінченно малий час dt тіло 1 переміщується на нескінченно малий відрізок dS, то воно здійснює над тілом 2 нескінченно малу роботу, рівну

,

Але

.

Тому маємо:

.

Повна робота на кінцевій ділянці шляху знаходиться шляхом інтегрування:

.

Таким чином, кінетична енергія рухомого тіла рівна:

.

Таким чином, кінетична енергія тіл визначається тільки їх масами і швидкостями.

Потенціальна енергія. Якщо в системі тіл діють тільки сили тяжіння, пружні сили і сили електростатичного поля, то при наявності переміщення тіл ці сили виконують роботу. Очевидно, що при переміщенні тіл змінюється їх взаємне положення (конфігурація системи). А це означає, що система взаємодіючих тіл має запас енергії, яку вона може витратити при зміні своєї конфігурації. Цей запас енергії, який обумовлений конфігурацією тіл системи, називається потенціальною енергією системи. Знайдемо потенціальну енергію матеріальної точки m в полі тяжіння матеріальної точки М. Для цього обчислимо роботу проти сил тяжіння. При піднятті на невелику висоту h (h< - радіуса Землі) вага тіла p = mq можна вважати сталою. Тоді маємо:

.

Таким чином тіло масою m на висоті h над поверхнею Землі має потенціальну енергію:

.

Не важко обчислити потенціальну енергію деформованої пружини. Сила пружності

.

Сила, що стискає пружину протилежна силі пружності .

Роботу цієї змінної сили на шляху x знайдемо шляхом інтегрування:

.

Таким чином, стиснена пружина або розтягнута має запас потенціальної енергії:

. (8)

Дослід показує, що якщо в замкненій системі не відбувається перетворення механічної енергії в інші види енергії, то загальна кількість механічної енергії системи залишається сталою

(9)

В цьому полягає закон збереження енергії, який формулюється ще так: енергія в замкненій системі може перетворюватись із одного виду в другі, але повна її величина залишається сталою.

Робота являється мірою передачі руху від одного тіло до другого, а енергія є єдина кількісна міра різних форм руху матерії. Рух матерії тільки перетворюється з одної форми в іншу і ніколи не зникає.

В фізиці механічна система, при русі якої сума кінетичної та потенціальної енергії залишається сталою, називається консервативною системою. В земних умовах консервативними можна приблизно вважати ті системи, в яких можна знехтувати силами тертя.

Відмітимо, що системи, в яких повна механічна енергія при русі безперервно зменшується (розсіюється), переходить в другі, немеханічні, форми енергії називаються диссипативними (або неконсервативними) системами.

Всі реальні системи в земних умовах являються диссициативними. Закон збереження енергії справедливий і для диссипативних систем, якщо під певною енергією розуміють суму всіх видів енергій системи.

Відмітимо, що закон збереження енергії не справедливий для інерціальних систем, поскільки сили інерції всюду проявляються як зовнішні сили.

Елементи кінематики обертового руху

Абсолютно твердим тілом називається таке тіло, віддаль між любими двома точками якого залишається постійна незалежно від наявності або відсутності сил, діючих на тіло. Такі тіла надалі будуть називатися просто твердими.

Найбільш просто задачі механіки розв’язуються для матеріальних точок. Тому в цих випадках, коли не можна знехтувати формою та розмірами тіла, його в думці розбивають на невеликі елементи так, щоб кожний елемент можна було розглядати як матеріальну точку.

Таким чином, задача про рух твердого тіла зводиться до задачі про рух великого числа матеріальних точок (системи матеріальних точок).

Обертовим рухом твердого тіла називають такий рух при якому траєкторії всіх точок тіла являються колами, центри яких лежать на одній прямій, що називається віссю обертання.

Кінетично обертовий рух записується наступним співвідношенням:

, (10)

де w - кутова швидкість.

Кутова швидкість - це вектор, напрямлений вздовж стін обертання в ту сторону, в яку рухався б буравчик, ручка якого обертається в напрямку руху точки по колу.

Якщо w = const, то обертання рівномірне

кутове прискорення

(11)

зв’язок між лінійною і кутовою швидкістю

(12)

зв’язок між лінійним (точніше, тангенціальним) прискоренням і кутовим прискоренням:

(13)

Проінтегрувавши вирази (10) і (11), одержимо слідуючі формули:

(14)

(15)

(16)

Висновки

Для замкнутої системи геометрична сума імпульсів тіл під час будь-яких взаємодій залишається сталою.

Робота характеризує дію сили, пов’язану з переміщенням тіла.

Якщо на тіло діє кілька сил загальна робота дорівнює алгебраїчній сумі робіт, що виконується кожною силою. Робота в різних інерціальних системах відліку різна, бо різне переміщення.

Потужність характеризує швидкість виконання роботи.

Енергія характеризує механічний стан тіла (системи тіл).

Кінетична енергія характеризує стан руху тіла.

Потенціальна енергія характеризує взаємодію тіл або частинок і залежить від їх взаємного розміщення.

Для будь-якої системи тіл, у якій діють тільки внутрішні потенціальні сили, механічна енергія системи залишається сталою.

Для замкнутої системи геометрична сума імпульсів тіл під час будь-яких взаємодій залишається сталою.