Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения

Содержание

Иррациональные уравнения

Числовая функция. Способы задания функции

Основные свойства функции

Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией

Обратная функция

Степенная функции, её свойства и графики

Показательная функция, её свойства и графики

Показательные неравенства

Логарифмы и их свойства

Логарифмические уравнения

Тригонометрические функции числового аргумента

Функция y sinx ее свойства и график

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Частные случаи тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых

Теорема о трех перпендикулярах


Алгебра

Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.

Веще́ственное, или действи́тельное число - математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений (2) . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные - из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Абсолютная погрешность и её граница.

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено \mathsf{(a)}, считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) \mathsf{(\vartriangle a)}понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины: \mathsf{a^{*}-a=\vartriangle a}. Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина \mathsf{(a^{*})}называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближенного значения \mathsf{(a^{*})}называют величину \mathsf{\vartriangle (a^{*})}, про которую известно, что: \mathsf{\mid a^{*}-a \mid\le \vartriangle(a^{*}).} Относительная погрешность и её граница.

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного значения называют величину \mathsf{\delta (a^{*})}, про которую известно, что: \mathsf{\left| {a^{*}-a \over a^{*}} \right|= {\vartriangle (a^{*}) \over \left| {a} \right|} = \delta (a^{*})}. Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1) 2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; и подставим.

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Ко́мпле́ксныечи́сла - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается \mathbb{C}. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y - вещественные числа, i - мнимая единица Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле - это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках - электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + ( + d) i.

Вычитание (a + bi) − (c + di) = (ac) + ( − d) i.

Умножение

(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.

Деление \frac{(a+bi)}{(c+di)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.

Числовая функция. Способы задания функции

В математике числовая функция - это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств - как правило, множества действительных чисел \R или множества комплексных чисел \mathbb{C}.

Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x) = x!

Графический С помощью графика http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/6/6b/Arctg.png/200px-Arctg.png Фрагмент графика функции y=\operatorname{arctg}x.

Табличный: С помощью таблицы значений

x0123456789
y11235813213455
Актуально: