Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

В работе исследуется геометрия поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один, т.е. пространства Минковского.

Изучение дифференциальной геометрии в пространстве Минковского является актуальной задачей, поскольку пространство Минковского является пространством специальной теории относительности, и все результаты по дифференциальной геометрии этого пространства получают физическое истолкование. Каждое событие характеризуется тремя пространственными координатами и моментом времени t. Если уравнения физической теории (релятивистской механики, релятивистской гидродинамики, электродинамики и др.) записаны в виде соотношений, связывающих векторы и тензоры, заданные в пространстве Минковского, то их вид будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Тем самым основной принцип специальной теории относительности будет выполняться автоматически.

Интервал (расстояние между точками) в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замен е одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

Данная работа состоит из шести параграфов.

В первом параграфе происходит знакомство с пространством Минковского, дается определение этого пространства, его основные особенности, перечисляются типы прямых и плоскостей.

Во втором параграфе исследуются кривые пространства 1R4, вводится понятие соприкасающегося флага. Для кривых с заданным соприкасающимся флагом строится канонический репер и выводятся деривационные формулы.

Третий параграф посвящен изучению развертывающихся и линейчатых поверхностей. Изучение основных понятий этого параграфа поможет перейти к рассмотрению торсов.

В четвертом параграфе рассматриваются торсы с псевдоевклидовой касательной плоскостью и соприкасающимся флагом вида {M, R1, 1R2, 1R3}. Для таких торсов строится канонический репер кривой пространства 1R4 и выводятся деривационные формулы.

В последующих двух параграфах исследуются линии на торсах указанного типа с помощью построенного канонического репера. Дается понятие геодезических линий, решается вопрос о существовании (1,2)-,(2,2)-,(1,3)-,(2,3)- геодезических линий на торсе с псевдоевклидовой касательной плоскостью. Вводится понятие нормальной кривизны кривой, вектора кривизны, определяются асимптотические линии.

§1. Пространство Минковского

Пространством Минковского называется четырехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1.

Герман Минковский предложил данное пространство в 1908 году в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

После евклидовых пространств индекса k=0, т.е. собственно евклидовых, наибольший интерес представляют евклидовы пространства индекса k=1 (они, конечно, принадлежат к псевдоевклидовым пространствам). Евклидово пространство индекса 1 представляет интерес с точки зрения теории дифференциальных уравнений (волновое уравнение с п аргументами) и особенно с точки зрения теории относительности. В последнем случае играет роль именно четырехмерное евклидово пространство индекса1.

Данное пространство может быть получено на базе четырехмерного аффинного пространства А,с помощью введения скалярного умножения векторов.

Пусть некоторый репер аффинного пространства А4, где , .

Введем скалярное умножение по формуле:

. (1)

Пространство A4, для векторов которого введено скалярное умножение по формуле (1) называется четырехмерным псевдоевклидовым пространством индекса 1 или пространством Минковского. Обозначается 1R4.

Скалярный квадрат вектора определяется по формуле:

. (2)