Корни многочленов. Производные и кратные корни

            Допустим p =   некоторый многочлен над k и . Значением многочлена p в точке a называется элемент поля k,   равный . Он обозначается p(a)

              является гомоморфизмом   Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем

Если   | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ;

В частности, если p ( a ) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный).   наличие у   многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие   у его производной того же корня кратности не ниже ( n -1)

Элемент   будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k ( x ) ( x - a + ), а каждый идеал в k(x) - главный, то I=(x-a)

Многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности. Число n называется кратностью корня a если   | p , но   не делит p . Предположим, что - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . При a b НОД( , ) =1, многочлен p делится на   и потому deg ( p )

Делимость многочленов

Способ деления «углом» используется в арифметических действиях над коэффициентами. Он применяется к многочленам над любым полем k

  Делимость многочленов позволяет для   двух ненулевых многочленов p , s k ( x ) получить такие многочлены   q и r =0( s делит p ), либо deg ( r )< deg ( s ), что p = q * s + r

  Многочлен называется унитарным, если его старший коэффициент равен 1

Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД( p , q )= u * p + v * q

            Возьмем многочлены u и v такие, что сумма w = u * p + v * q имела наименьшую степень. Можно при этом считать w унитарным многочленом

Производим деление с остатком: p = s * w + r . После чего находим: r = p - s * w = p - s *( u * p + v * q ) = (1- s * u )* p +(- s * v ) q = U * p + V * q

  R должно равняться нулю

Докажем, что w | q . Так как W = ОНД( p , q )., то по определению w | W . Также W | p , W | q W | w . Значит многочлены w и W унитарные. Поэтому W = w

Для любого числа многочленов ОНД можно доказать, что   для подходящих многочленов

Данная формула сохраняется для бесконечного множества многочленов. В связи с тем, что их ОНД является ОНД некоторого их конечного подмножества

ОНД   ненулевых многочленов p и s   называется такой унитарный многочлен ОНД( p , s ), что выполняются следующие условия:

  q | p, q | s   q | ОНД ( p, s)

ОНД ( p, s) | p;   ОНД ( p, s) | s

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным. В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда   , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p)

Для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а   ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0

Разложение на множители

       Неприводимый многочлен в кольце k ( x ) является аналогом простого числа в кольце Z . Каждый ненулевой многочлен p = можно разложить в произведение: p = * , где все многочлены   неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1

Предположим, что k некоторое поле, p , q , s - многочлены над k . Если p = q * s , причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p , то многочлен p называется приводимым. Иначе неприводим

Кратными называются множители одинаковые. Объединяя кратные множители получим: p =

Свойства неприводимых многочленов .

1 . Если p |   и p неприводим, то либо p |   либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости   ; , откуда:   и значит, ,       то есть      НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0

2. Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | q p | q

Приведем несколько примеров

Многочлен   неприводим над полем Q рациональных чисел. Многочлен   над полем R вещественных чисел приводим если . В данном выражении второй множитель имеет отрицательный дискриминант. По этой причине невозможно разложить его над R . Получаем над полем C комплексных чисел: , где = - кубический корень из 1

Понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен

. Множитель x является кратным, остальные - простые. Следует отметить, что по определению многочлены первой степени неприводимы над любым полем