Линейная зависимость векторов

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ОR

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai№0 (i=1,…,k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а№0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b№0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b№0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a№0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g№0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)
(aа,b)= a (а,b)
(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
(а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым (a,b) называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

(a,b)= - (b,a)
(aа,b)= a (а,b)
(a+b,c)=(a,c)+(b,c)
(a,a)=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

x-x1/e=y-y1/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)

x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1

Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)

y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b

xcosq+ysinq-P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcosq+ysinq-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2q=(A*t)2

Sin2q=(B*t)2

-p=C*t

cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcosq+ysinq-P=0

q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcosq+ysinq-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2q=(A*t)2

Sin2q=(B*t)2

-p=C*t

cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов; |r2-r1|=2a; a

x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)

x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)

c2-a2=b2

x2b2-a2y2=a2b2

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y2=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его “вытянутости”

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е

D1: x= - a/e

D2: x= a/e

р=а(1-е2)/е – для эллипса

р=а(е2-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r1/d1=e

xЈ|a|, xe+a>0

r1=xe+a

d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

бм=-x-a/e

d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= r

d=p+rcosj

e=r/p+rcosj

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у0=y’(x0)(x-x0)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е1;е1’)=cos u

(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u

(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u

(е2;е2’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е1;е1’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11

(е1;е2’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21

(е2;е1’)= a12

(е2;е2’)= a22

Приравниваем:

a11=cos u

a21= - sin u

a12=sin u

a22=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I2>0 – элиптический тип

I2<0 – гиперболический тип

I2=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)

точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.

Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I2№0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0 и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда

а11’’x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2

I2=a11’’a22’’ > 0

I1= a11’’+a22’’ > 0

a11’’ > 0; a22’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3№0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’ < 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0

Пусть I3>0

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I3<0

-(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I3=0

а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2

Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(a, b) – вектор асимптотического направления.

a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)

Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что b№0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2Ј0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(a, b)1=(a,b)

(a, b)2=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u(x,y)= y2+0, y=0

(a, b)=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C№0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках:

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax0+By0+Cz0=-D

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М1М x-x1 y-y1 z-z1

М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0

М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1

Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.