Интеграл Пуассона

Пусть ¦ ( x ) , g ( x ) , x О R 1 –суммируемые на ( - p , p ) , 2 p - периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку

f * g(x) = dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на ( - p , p ) и

c n ( f * g ) = c n ( f ) Ч c n ( g ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ... ( 1 )

где { c n ( f ) } -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c n = - i n t dt , n = 0, ± 1 , ± 2 , ј

Пусть ¦ О L 1 (- p , p ) . Рассмотрим при 0 Ј r < 1 функцию

¦ r ( x ) = n ( f ) r | n | e i n x , x О ( - p , p ) , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 Ј r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦ r ( х ) равны

c n ( f r ) = c n Ч r | n | , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ј , а это согласно (1) значит, что ¦ r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦ r ( x ) = , ( 3 )

где

, t О ( - p , p ) . ( 4 )

Функция двух переменных Р r (t) , 0 Ј r < 1 , t О ( - p , p ) , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона

Следовательно,

P r ( t ) = , 0 Ј r < 1 , t О ( - p , p ) . ( 5 )

Если ¦ О L 1 ( - p , p ) - действительная функция , то , учитывая , что

c -n ( f ) = ` c n ( f ) , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ј , из соотношения (2) мы получим :

f r ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c 0 ( f ) + 2 ( z = re ix ) ( 7 )

• аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ О L 1 ( - p , p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦ r (e ix ) , z = re ix , 0 Ј r < 1 , x О ( - p , p )

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1 + e ( e > 0 ) функция и ¦ (x) = u (e ix ) , x О ( - p , p ) . Тогда

u (z) = ( z = re ix , | z | < 1 ) ( 10 )

Так как ядро Пуассона P r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

= , | z | < 1 + e

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3)

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦ r ( x ) при r ® 1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого d >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ ( х ) є 1 .

Теорема 1

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( - p , p ) , 1 Ј p < Ґ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на ( - p , p ) и ¦ (- p ) = ¦ ( p ) , то

Доказательство

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

Следовательно,

Для данного e > 0 найдем d = d ( e ) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

Теорема 1 доказана

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы

Определение1

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х

Определение 2

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

Теорема 2 (Фату)

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в.

Доказательство

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

( К - абсолютная константа)

Пусть - такое число, что

Тогда для

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в.

Согласно (13) при x О (-2 p , 2 p )

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x О (- p , p ) и (14)

Из последней оценки получим

при n ® Ґ

Теорема 2 доказана

Замечание

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x О (- p , p ) , когда точка re it стремится к e ix по некасательному к окружности пути

Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок ( - 2 p , 2 p ) (т.е. f (x) = f (y) , если x,y О (-2 p ,2 p ) и x-y=2 p ) и f (x) = 0 , если | x | > 2 p