Использование определенного интеграла для определения площади тела вращения

Одно из важнейших понятий математики, позволяющее, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени называется интегралом (от лат. Integer - целый)

В 1675 г. Лейбниц ввел символ , обозначающий интеграл. Этот знак является изменением латинской буквы   S   (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero , которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый

В то же время появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление ( calculus integralis ), которое ввел И. Бернулли

Задачи интегрального исчисления возникли в связи   с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный   Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.)

В то же время, Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили

Еще более скромной в это время была деятельность европейских ученых. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести

Впервые изданные в 1544 труды Архимеда (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления

На его трудах учились математики XVII столетия, получившие многие новые результаты. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной   f ( x ), которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f ( x ) dx . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей.     

Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму

На такой основе, которая теперь кажется сомнительной, И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки)

Эти исследования продолжили итальянские математики Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы)

Многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению, были сделаны в XVII веке. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой   y = , где N - целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить   общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления   приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.),       В. Я. Буняковский   (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев   (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не   выразимые через элементарные функции

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу   (1842 - 1917)

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)  

Поверхность тела вращения

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой   y = f ( x ) вокруг оси Ох

Определим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b . Функцию f ( x ) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка ( a ; b ). Проведем хорды АМ 1 , М 1 М 2 ,….М n -1 B длины которых обозначим через Δ S 1 , Δ S 2 … Δ S n

Каждая хорда длины Δ S i ( i =1,2,…. n ) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого Δ P i равна:  

Применяя теорему Лагранжа, получим:

, где   

Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме , или сумме

, (1) распространенной на все звенья ломаной

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной Δ S i стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

, (2)

так как в слагаемом, соответствующем отрезку ( x i -1 , x i ), фигурирует несколько точек этого отрезка x i -1 , x i , ξ i .. Но можно доказать, что   предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е

  или

(3)

Формула (3)   определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке   а ≤ x ≤ b    неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией   f ( x )

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x = φ ( t ), y = ψ ( t ) ( t 0 ≤ t ≤ t 1 ), то формула (3) имеет вид

  (3 / )