Теорема Штольца

Содержание работы:

Формулировка и доказательство теоремы Штольца

Применение теоремы Штольца:

;

нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты ;

;

Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей

Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца

Для определения пределов неопределенных выражений   типа   часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и   возрастает:   . Тогда    = ,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный)

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

Тогда по любому заданному   найдется такой номер N , что для n > N будет

или

Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y n вместе с номером n , положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N

Второе слагаемое справа при n > N становится < ; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет < , скажем, для n > N ’ . Если при этом взять N ’ > N , то для n > N ’ , очевидно, , что и доказывает наше утверждение

Примеры:

Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n ) , следовательно, вместе с y n и x n , причем варианта x n возрастает с возрастанием номера n . В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что , что и требовалось доказать

При а > 1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта a n имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а n )

Действительно, полагая в теореме Штольца

X n = a 1 + a 2 +…+ a n , y n =n,

Имеем :

Например, если мы знаем, что ,

то и      

Рассмотрим теперь варианту (считая k -натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида

Полагая в теореме Штольца

x n =1 k +2 k +…+n k , y n =n k+1 ,

будем иметь

Но

( n -1) k +1 = n k +1 -( k +1) n k +… ,

так что

n k +1 -( n -1) k +1 =( k +1) n k +…

и

Определим предел варианты

    ,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

Полагая x n равным числителю этой дроби, а y n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

Но   ,

а    ,

так что, окончательно,

Пример 1

= = = = = = = = =

Пример 2

=

= =

= =

= =

= =

= =

=

  Пример 3

=

=

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой x k , g ( x k +1)> g ( x k ), т.е. функция возрастающая

Тогда           ,

если только существует предел справа конечный или бесконечный

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

Тогда, по определению предела

или

Значит, какой бы   ни взять, все дроби

, , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g ( x n ) вместе с x ( n ), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

Второе слагаемое справа при   становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему

Примеры:

Найти следующие пределы:

  очевидна неопределенность

= = =2

  неопределенность

= = = =0

  неопределенность

= = =

  Литература :

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва