Уравнение движения автоколебательной системы

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания".   Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает"   автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать    случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову"

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,     с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

  При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

Рассмотрим случай, когда    m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

Начальные условия   выберем так:

F 2 - степенной ряд по b 1 b 2 , m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при      b 1 b 2 , m   получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3)

Решая задачи Коши, получим:

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы

    Введем обозначения   ; для остальных функций аналогично

Тогда (6) запишется в виде:

Если в этой системе можно b 1 b 2   представить в виде функции   m так, чтобы b 1 b 2 , m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых   m служит неравенство 0 Якобиана.

    В нашем случае:

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых   m и любых f . Искомое периодическое решение может быть найдено в виде

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф( t ) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x   и x '

Воспользуемся тем фактом, что Ф ( t ) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

  Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде     функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и   x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом

; аналогичным образом можно показать, что    (11)

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по   m

будем искать в виде:      (12)

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим:

Начальные условия для А о , В о , …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим

Для В ' о и В о аналогично. Для остальных   же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

S 1 , S 2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф ( t ). a 1 , a 2 - характеристические показатели

Если все       , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого   приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:  

  =0 (16)   Полагаем   ;

Тогда определитель будет:

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R e ( a ),   или что все равно ч l ч . Если ч l ч < 1 имеет место устойчивость ч l ч   = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ч l ч > 1 имеет место неустойчивость

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р 2 ; q < р 2 ; В первом случае   l -комплексные; Ѕ l 2 Ѕ = q ; (20) если q <1; устойчивость q >1 - неустойчивость

Случай второй - l - действительные:   ; (21) устойчивость соответствует   p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19)   (12)

(22)

Если принять во внимание (15)

(22 a )

(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w № n ; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной   q   и следовательно знаком b , если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость

В нашем случае b имеет вид:

     (23 a )

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l = m l о ; w 2 = 1+ a о m , (24) ( a о , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a о № 0)

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

  (25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

  (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая   коэффициенты при b 1 b 2 , m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A , B , C , D , E , F .    Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27)

  (29)

Запишем условия периодичности для (27):

Делим на m :

   ( 30 a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1)

D , Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить   b 1, b 2 , в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда

(33)

P , Q -определяются формулами (31) (32)

  § 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33)

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв :

Из формул (22)        (34) , тогда   D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

  (36)

;

Тогда, зная функцию f , мы можем вычислить   D в виде функции   P , Q и a о

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

  ;   (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m )

1)   p 2 - q < 0  

2)   p 2 - q > 0  

В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0

Во втором случае   (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а   D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0,    D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) )

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Р о sin w 1 t

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

  (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S -крутизна характеристики, К - напряжение насыщения  

Далее, вводя обозначения:

Получим дифференциальное уравнение для х:

   (41)

А: (случай далекий от резонанса)

Для него применяем результаты § 1, полагая

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если w > 1, т.е. w о > w 1 , то разность фаз равна 0, если   w < 1, то разность фаз равна p . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b ( b < 0).  

(42)

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы

В:   (область резонанса , § 3, 4)

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t     ( P , Q - const )

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q , т.е. соотношение (31) для нашего случая

Или преобразовав их, получим следующее:

Полагая Р = R sin j ; Q = R cos j . Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения,   в близости   к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0,    D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37)

(46)

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**).   В заключение выпишем формулы для вычисления a о, соответствующего     ширине захватывания для рассматриваемого случая

1)

a 0 - является общим корнем уравнений

2)

Сама ширина D w , отсчитанная от одной границы захватывания   до другой выражается следующим образом: D w = a о w 2 о ( MS - c r ). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l 2 о << 1;    D w = w о Р о / V о g

б) для очень сильных сигналов    ( V о g - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы)

  Список литературы

Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956

Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956

Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892