Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. ∀ε ∀x∈E ∃u: ║x-u║<ε

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L⊂E, ∀ε∈(0,1) ∃zε∈E\L ║zε║=1 ρ(zε,L)>1-ε

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если ∀x∈E ∃u∈L: ║x-u║<ε

Теорема: Чтобы L было плотно в H у ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – AxаAx0 при xа x0

Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - ∀║x║≤1 ∃с: ║Ax║≤c

Теорема: A – ограниченный у ∀x∈X ║Ax║≤c║x║

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен у чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена и {An}- ограничена.

Теорема: {Anx} – ограниченно у {║An║}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║а0, nа∞, обозначают AnаA

Определение: Слабая сходимость - ∀x∈X ║(An-A)x║Yа0, nа∞

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость у {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза AnаA nа∞ слабо и 1) {║An║}- ограничена 2) AnаA, x’⊂X, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)аY, D(A)⊂X и ∃ A’:XаY 1) A’x=Ax, x∈D(A) 2) ║A’║=║A║

Определение: Равномерная ограниченность - ∃a ∀x: ║x(t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность ∀t1,t2 ∃δ: ║x(t1)-x(t2)║<ε

Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {x∈X | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=L(X,E)

Определение: Сопряженный оператор A*: Y*аX*

Теорема: Банаха A:XаY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда ∃ A-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема: A-1 ∃ и ограничен у ∃m>0 ∀x∈X ║Ax║≥m║x║

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XаY – линейный ограниченный функционал и ∃! y∈H ∀x∈H f(x)=(x,y)

Определение: M⊂X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. M⊂X компактно у ∀ε>0 ∃ конечная ε-сеть

Теорема: Арцела. M⊂C(a,b) компактно у все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: σ(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. A∈σ(X,Y) у A*∈σ(X*,Y*)

Линейные нормированные пространства