Электромагнитная масса кулоновского поля
Свободное перемещение статического электрического поля в вакууме хорошо изучено. Однако свойства электромагнитной массы (ЭМ-массы), связанной с кулоновским полем, до сих пор подвергаются обсуждению. Вследствие эквивалентности массы (M ) и энергии ( W = Mc ) можно рассматривать на равных, как массу, так и энергию. Представим некоторую конфигурацию электрических зарядов и, совершив работу, получим другую конфигурацию. Затраченная работа перейдёт в дополнительную потенциальную энергию взаимодействия зарядов. Где локализуется приобретённая энергия? Простой расчёт показывает (1), что она локализуется не в зарядах, а в поле взаимодействия зарядов. Кроме того, движущееся кулоновское поле реализует себя тем, что в каждой пространственной точке оно порождает магнитное поле. И ещё: при излучении ЭМ-волн фрагменты энергии поля проявляются самостоятельно вдали от зарядов. Таким образом, кулоновское поле будет рассматриваться ниже, как материальный объект. Однако не следует полностью отождествлять ЭМ-массу с механической массой – слишком большие различия между ними (разные формы материи, магнитное поле).
Другая дискуссионная тема: вектор Пойнтинга, правильно описывающий плотность потока энергии электромагнитной волны, терпит неудачу в применении к переносу энергии кулоновским полем.
Рассмотрение близких к данной теме вопросов можно найти в работах (2, 3).
Объектом исследования выбрана модель электрического заряда ( q ), распределённого по сфере радиусом (r ), в которой внутреннее поле отсутствует. Такое ограничение требуется для того, чтобы устранить «особую точку», и иметь конкретное электрическое поле в «чистом» виде. В то же время сохраняется возможность использовать формулы для точечного заряда. Все изменения поля происходят на этапе ускорения (торможения) заряда. Приобретённые свойства полей сохраняются во время движения с постоянной скоростью (v ). Именно этот этап перемещения заряда рассматривается в данной статье. В качестве «стартовой позиции» выбрана релятивистская формула напряжённости (E ) электрического поля точечного заряда (сферические координаты), представленная в «Берклеевском курсе физики» Э. Парселла (4), а также в «Общем курсе физики» И.В. Савельева (5):
; β = v/c ,
c – электрическая постоянная; θ – угол между векторами v и E . Относительно координатной оси (0х) – линии движения – поле
Е симметрично, и не зависит от азимутального угла (φ).
Напряжённости Е по формуле (1) выражают в рамках специальной теории относительности (СТО) поле заряда в движущейся (собственной) системе отсчёта, измеренное неподвижным (сторонним) наблюдателем. Таким же способом интерпретируются координаты, последующие формулы и расчёты по ним.
Преобразования координат в формуле (1) написаны для одновременных событий в неподвижной и движущейся системах отсчёта в момент времени ( t = 0). Исходя из этого, «стартовая» формула (1) не зависит от времени. Очевидно, что при
v = const, формулы не изменятся и для других моментов (
t ). Одно из ранних доказательств в рамках (СТО) перемещения заряда с сохранением формы его электрического поля представлено в сборнике (6). Вариант сохранения поля заряда при его движении с постоянной скоростью без использования «запаздывающего взаимодействия» предложен в работе (2).
При v = 0, γ = 1, формула (1) описывает кулоновское поле заряда в состоянии покоя. Величины, относящиеся к неподвижной системе отсчёта, будут отмечены подстрочным индексом «0». Изменения, происходящие при увеличении (γ), обусловлены релятивистским сокращением масштабов длины (
x ) по линиям движения,
и увеличением напряжённости ( r , θ, φ, γ), поперечной по отношению к скорости (
v ) компоненты поля Е .
Продольная составляющая поля Е , параллельная скорости, остаётся без изменения.
Явная зависимость величин без индекса «0» от (γ) для сокращения записи здесь и далее не всегда указывается, но она всегда присутствует. Именно формулы (1a, 1b, 1c) служат основанием для деформации поля
Е и сохранения его формы во время движения. Названные преобразования в реальном мире требуют энергетических затрат, и происходят под действием внешних (ускоряющих) сил.
Энергия W /2) E ( r , θ, φ, γ) по всему объёму поля.
Здесь (γ) является параметром, характеризующим скорость движения заряда. Коэффициент,
получен интегрированием в сферических (преобразованных) координатах по радиусу ( r ) и по углу (φ). Возможность такого интегрирования при одинаковых значениях (
r ) для всех (θ, φ) обусловлена направленностью векторов
E по преобразованным радиусам r .
При γ = 1,
W (1) = 2 k . Энергия заряженной проводящей сферы
W = q /2 , где
r , электроёмкость сферы радиусом (
r ), и потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых точечных зарядов, находящихся на расстоянии (2
r ),
W = q (2 r ), также равны 2
k . Энергия покоя кулоновского поля, определённая по формуле (2), совпадает с величиной, вычисленной разными способами. Рассмотрим подробнее напряжённости поперечного (
E ) и продольного ( E ) полей.
Из формулы (4) видно, что компоненты
и «делят» между собой одно и то же поле E . Поле
в (γ) раз сильнее, чем соответствующая составляющие классического кулоновского поля, а поле
остаётся без изменения. Это следует из формул (1a, 1b, 1c), и в дальнейшем отразится на вычислениях энергий.
Поместим заряд ( q ) в воображаемую замкнутую цилиндрическую поверхность (σ), соосную (0
х ). В результате ускорения до уровня (γ) поле (
) увеличивается в (γ) раз, а площадка (
d σ ), нормальная (
), уменьшается в (γ) раз. В тех же условиях поле (
и площадка ( d σ ), нормальная (
), остаются неизменными. Следовательно, теорема Гаусса, связывающая полный поток напряжённости с величиной заряда, остаётся неизменной во всех случаях. Только сокращение (σ
) позволяет увеличить ( ) с сохранением заряда ( q ).
Вычисление энергий (γ) и (γ) для каждого из полей и производится по формуле (2) путем замены E на или по формуле (4).
Значения энергии покоя для этих полей: (1) = (4/3) k ; (1) = (2/3) k .
Введём также функцию (γ), которая показывает, как должна измениться энергия
W (1) поля с релятивистской (механической) массой, после приобретения относительной скорости (β(γ) = (1 – γ
).
Здесь прирост энергии W (1) до величины (γ) происходит по линейному закону за счёт кинетической энергии. Структура объекта с энергией покоя
W (1) при любой скорости движения остаётся вне поля зрения. Формула (7) вошла в учебники по физике, используется в расчётах ускорителей заряженных частиц и др. Её достоверность подтверждается и теорией (СТО), и практикой. Менее известно «уплотнение» поперечного поля (формула (1b)), которая проистекает из того же источника (СТО), выражает те же свойства (7), и подтверждается расчётами электрических токов и их полей в разных (инерциальных) системах отсчёта (3, 4).
Аналогично выглядят формулы вычисления релятивистской механической энергии для компонент поля и .
Полная энергия W (γ) электрического поля заряда и её составляющие,
(γ) и (γ), вместе с их релятивистскими механическими аналогами,
(γ),
(γ),
(γ), показаны на рис. 1 при различных значениях параметра γ.
Рис. 1.
Зависимости полной энергии электрического поля заряда (формула (2)) и её составляющих (формулы (5) и (6)), а также их расчётных значений на основе механического представления ЭМ-массы (формулы (7) и (7a)), от параметра γ (без коэффициента
k ). Релятивистские механические аналоги показаны пунктиром.
Все представленные на рис. 1 функции от (γ), кроме
(γ), «растут» при увеличении (γ), однако энергия
W (γ) не следует закону (γ), а скорее подчиняется изменениям
(γ). Это связано с уменьшением
(γ) вследствие сокращения размеров поля (γ) по линиям движения. Разница в закономерностях изменения поперечной (
) и продольной составляющих ( ) энергии (и массы) кулоновского поля вытекает из формулы (1). При больших (γ) полная кулоновская энергия с увеличением скорости движения поля превращается в энергию
(γ) поперечного поля.
Структурные и инерциальные свойства ЭМ-массы электрического поля при изменении скорости движения во многом не совпадают со свойствами массы механических объектов.
Обратимся к расчёту энергии магнитного поля (γ), образование которого формула (2) в явном виде не учитывает. При перемещении статического поля
Е (γ) со скоростью ( v ) наблюдается магнитное поле с индукцией В (γ) (7).
Векторное произведение,
равно нулю, так как
v и E имеют одинаковое направление. Формула (9) совпадает с законом Био – Савара для единичного носителя тока и, в данном случае показывает, что магнитное поле создаётся исключительно поперечной составляющей кулоновского поля.
Пользуясь формулой (9), можно представить действие магнитного поля на пробный заряд в виде силы Лоренца
F .
Сила F (γ) направлена противоположно E (γ). При этом происходит ослабление электрического поля
E (γ). Суммарное поле
E Поля E и F (γ) всегда направлены перпендикулярно вектору v , что является следствием «сжатия» линейных размеров (формула (1а)) при сохранении заряда
q . Таким образом, (СТО) обладает пока монопольным правом объяснять действие магнитного поля на электрические заряды. На практике магнитное поле «свободного» заряда (
q ) воздействует на пробный заряд или другой заряд q (надо в этом случае умножить E (γ) на q ) именно в формате (12), то есть в виде ослабленного электрического поля. В пределе, β → 1, сила |
F (γ)| → | (γ)|, и кулоновское взаимодействие зарядов стремится к нулю, но в любом случае при отсутствии экранирующих зарядов с противоположным знаком силы притяжения между параллельными токами не возникнут. Например, пучок электронов в вакуумной камере не будет сжиматься в поперечном сечении, а два параллельных пучка не будут притягиваться друг к другу. Если же статическое кулоновское поле носителей тока экранировано действием зарядов с другими знаками, то останется лишь магнитное поле, и носители токов будут притягиваться, или отталкиваться, в соответствии с законом Ампера. Ещё одно следствие из формул (9) и (11): в каждой точке пространства при
v = const напряжённость E и индукция B всегда находятся в одинаковой фазе, и три вектора
v ,
E и B ориентированы между собой так же, как в электромагнитной волне.
Суммарная энергия электрического W (γ) и магнитного Wm (γ) полей.
Использование вектора Пойнтинга для вычисления количества движения P , переносимого кулоновским полем заряда (7).
Интеграл (∫ v ( )( E ) dV = 0) не даёт вклада в P , поэтому
Масса 2 (γ) в формуле (17), во-первых, относится только к поперечному полю (
) и, во-вторых, в два раза больше массы
(γ). Несовпадение массы из формулы (17) с массой
М (γ) = W (γ)/ c для всего поля (формула (2)) порождает противоречия. Как видно из рис. 1, и формулы (14), роль этих противоречий преувеличена.
Анализ получения (вывода) формулы для вектора Пойнтинга показывает, что удвоение
(γ) связано с расчётом импульса P волны, у которой объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей равны, а колебания
E и B находятся в одинаковой фазе. В этом случае сумму плотностей энергии для
E и B можно заменить удвоенной плотностью одного из полей. Так и сделано в формуле (15). При движении кулоновского поля энергии электрического и магнитного полей различны при малых скоростях. В таких условиях коэффициент «2» надо заменить коэффициентом (1 + β
) в соответствии с формулой (14). После названной замены все «недоразумения» с электромагнитной массой снимаются. При высоких скоростях,
v → c , плотности энергии двух полей выравниваются, и вектор Пойнтинга применительно к кулоновскому полю будет давать результаты, аналогичные волновым.
Соколов Л.С. , 2003.
Корнева М.В., Кулигин В.А., Кулигина Г.А., гл. 3, стр. 27...40. 2008.
Andrew E. Chubykalo and Roman Smirnov-Rueda. Phys. Rev. E, vol. 53, num. 5, p. 5373...5381, 1996.
Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Т. 2., стр. 165...187 / Пер. с англ. – М.: Наука, 1975.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: Наука, стр. 111...125, 1978.
Основные формулы физики, под ред. Д. Мензела. Перевод с англ., стр. 169...174. ИИЛ, Москва, 1957.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. Гл. 28, стр. 305...309 / Пер. с англ. – М.: Мир, 1966.