Функция плотности распределения

Задание

1. Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений

плотность распределение доверительный математический ожидание

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов x_i), по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.

Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки– соответственно эмпирическое среднее  и эмпирическую дисперсию S², характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений.  и S² определяются из выражений:

Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:

,

где .

Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h

.

Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:

2. Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений

Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - g) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними D_N подставляют в выражение:

,

где N – объем выборки.

Вычисление эмпирических F’_i и теоретических F_i значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P’_i и P_i. Результаты вычислений сведены в таблицу:

D_N= F'₈ – F ₈= 0,025801,

N=åm_i=360,

Тогда получаем:

λ= 0,48953

Для l_N=0,52 g » 0,05 Þ (1 – 0,05)=0,95 >0,1.

Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.

3. Определение доверительных интервалов

В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.

Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:

интегральный доверительный интервал математический ожидание

Значения t_γ табулированы и равняется t_γ = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.

58,00814756

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:

Значения χ₁², χ₂² табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ₁, γ₂:

Значение χ₁² определяем при вероятности (1- γ₁), χ₂² – при γ₂.

χ₁²=24,1      χ₂²=4,18

И тогда

4. Определение диапазона рассеивания значений

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027 .

М »=58,01085

»S=0,00446962

М-3» 57.997442

М+3» 58.024258

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001

М±σ

=0,4995 при этом=3,29 (по справочнику)

М-3,29=57,996146

М+3,29=58,025554

Список использованной литературы

1. Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.