Алгоритм Дейкстры

2.1 Теоретическая часть

дискретный математика программа интерфейс

Пусть дан граф G=(X, Г), дугам которого приписаны веса (стоимости), задаваемые матрицей C=(c_ij). Задача о кратчайшем пути состоит в нахождении кратчайшего пути от заданной начальной вершины sX до заданной конечной вершины tX, при условии, что такой путь существует, т.е. при условии tR(s). Здесь R(s) – множество, достижимое из вершины s. Элементы c_ij матрицы весов C могут быть положительными, отрицательными или нулями. Единственное ограничение состоит в том, чтобы в G не было циклов с отрицательным суммарным весом. Если такой цикл Ф все же существует и x_i – некоторая его вершина, то, двигаясь от s к x_i, обходя затем Ф достаточно большое число раз и попадая наконец в t, мы получим путь со сколь угодно малым () весом. Таким образом, в этом случае кратчайшего пути не существует.

Если, с другой стороны, такие циклы существуют, но исключаются из рассмотрения, то нахождение кратчайшего пути (простой цепи) между s и t эквивалентно нахождению в этом графе кратчайшего гамильтонова пути с концевыми вершинами s и t. Это можно усмотреть из следующего факта. Если из каждого элемента c_ij матрицы весов C вычесть достаточно большое число L, то получится новая матрица весов C'=(c_ij'), все элементы c_ij' которой отрицательны. Тогда кратчайший путь от s к t – с исключением отрицательных циклов – необходимо будет гамильтоновым, т.е. проходящим через все другие вершины. Так как вес любого гамильтонова пути с матрицей весов C' равен весу этого пути с матрицей весов C, но уменьшенному на постоянную величину (n-1)×L, то кратчайший путь (простая цепь) от s к t с матрицей C' будет кратчайшим гамильтоновым путем от s к t при первоначальной матрице C. Задача о нахождении кратчайшего гамильтонова пути намного сложнее, чем задача о кратчайшем пути. Поэтому мы будем предполагать, что все циклы в G имеют неотрицательный суммарный вес. Отсюда также вытекает, что неориентированные дуги (ребра) графа G не могут иметь отрицательные веса.

Следующие задачи являются непосредственными обобщениями сформулированной выше задачи о кратчайшем пути.

1) Для заданной начальной вершины s найти кратчайшие пути между t и всеми другими вершинами x_iX.

2) Найти кратчайшие пути между всеми парами вершин.

Частные случаи, когда все c_ij неотрицательны, встречаются на практике довольно часто (например, когда c_ij являются расстояниями), так что рассмотрение этих специальных алгоритмов оправдано. Мы будем предполагать, что матрица не удовлетворяет, вообще говоря, условию треугольника, т.е. не обязательно  для всех . В противном случае кратчайший путь между x_j и x_j состоит из одной единственной (x_j x_j) дуги, если такая дуга существует, и задача становится тривиальной. Если в графе G дуга (x_j x_j) отсутствует, то ее вес полагается равным .

На практике часто требуется найти не только кратчайший путь, но также второй, третий и т.д. кратчайшие пути в графе. Располагая этими результатами, можно решить, какой путь выбрать в качестве наилучшего. Кроме того, второй, третий и т.д. кратчайшие пути можно использовать при анализе «чувствительности» задачи о кратчайшем пути.

Существуют также задачи нахождения в графах путей с максимальной надежностью и с максимальной пропускной способностью. Эти задачи связаны с задачей о кратчайшем пути, хотя в них характеристика пути (скажем, вес) является не суммой, а некоторой другой функцией характеристик (весов) дуг, образующих путь. Такие задачи можно переформулировать как задачи о кратчайшем пути. Однако можно поступить иначе: непосредственно приспособить для их решения те методы, которые применяются в задачах о кратчайшем пути.

Существует также случай, когда учитываются и пропускные способности, и надежности дуг. Это приводит к задаче о пути с наибольшей ожидаемой пропускной способностью. И хотя такая частная задача не может быть решена при помощи техники отыскания кратчайшего пути, но итерационный алгоритм, использующий эту технику в качестве основного шага, является эффективным методом получения оптимального ответа.

Наиболее эффективный алгоритм решения задачи о кратчайшем (s – t) – пути первоначально дал Дейкстра. В общем случае этот метод основан на приписывании вершинам временных пометок, причем пометка вершины дает верхнюю границу длины пути от s к этой вершине. Эти пометки (их величины) постепенно уменьшаются с помощью некоторой итерационной процедуры, и на каждом шаге итерации точно одна из временных пометок становится постоянной. Последнее указывает на то, что пометка уже не является верхней границей, а дает точную длину кратчайшего пути от s к рассматриваемой вершине. Опишем этот метод подробно.

Алгоритм Дейкстры ()

Пусть l(x_i) – пометка вершины x_i.

Присвоение начальных значений

Шаг 1. Положить  и считать эту пометку постоянной. Положить  для всех x_is и считать эти пометки временными. Положить p=s.

Обновление пометок

Шаг 2. Для всех , пометки которых временные, изменить пометки в соответствии со следующим выражением: .

Превращение пометки в постоянную

Шаг 3. Среди всех вершин с временными пометками найти такую, для которой .

Шаг 4. Считать пометку вершины x_i* постоянной и положить p= x_i*.

Шаг 5. (1) (Если надо найти лишь путь от к t.)

Если p=t, то l(p) является длиной кратчайшего пути. Останов.

Если pt, перейти к шагу 2.

(2) (Если требуется найти пути от ко всем остальным вершинам.)

Если все вершины отмечены как постоянные, то эти пометки дают длины кратчайших путей. Останов.

Если некоторые пометки являются временными, перейти к шагу 2.

Доказательство того, что вышеприведенный алгоритм действительно дает кратчайшие пути, чрезвычайно простое, дадим набросок этого доказательства.

Допустим, что на некотором этапе постоянные пометки дают длины кратчайших путей. Пусть S₁ – множество вершин с этими пометками, а S₂ – множество вершин с временными пометками. В конце шага 2 каждой итерации временная пометка l(x_i) дает кратчайший путь от s к x_i, проходящий полностью по вершинам множества S₁. (Так как при каждой итерации во множество S₁ включается только одна вершина, то обновление пометки l(x_i) требует только одного сравнения на шаге 2.)

Пусть кратчайший путь от s к x_i* не проходит целиком по S₁ и содержит по крайней мере одну вершину из S₂, и пусть x_jS₂ – первая такая вершина в этом пути. Так как по предположению c_ij неотрицательны, то часть пути от x_j к x_i* должна иметь неотрицательный вес  и. Это, однако, противоречит утверждению, что l(x_i*) – наименьшая временная пометка, и, следовательно, кратчайший путь к x_i* проходит полностью по вершинам множества S₁, и поэтому l(x_i*) является его длиной.

Так как вначале множество S₁ равно (s) при каждой итерации к S₁ добавляется x_i*, то предположение, что l(x_i*) равно длине кратчайшего пути x_iS₁, выполняется при каждой итерации. Отсюда по индукции следует, что алгоритм дает оптимальный ответ.

Если требуется найти кратчайшие пути между s и всеми другими вершинами полного связного графа с n вершинами, то в процессе работы алгоритма выполняются операций сложения и сравнения на шаге 2 и еще  операций сравнения на шаге 3. Кроме того, при осуществлении шагов 2 и 3 необходимо определить, какие вершины временные, а для этого нужно еще  операций сравнения. Эти величины являются верхними границами для числа операций, необходимых при отыскании кратчайшего пути между заданными вершинами s и t. Они действительно достигаются, если окажется, что вершина t будет последней вершиной, получившей постоянную пометку.

Как только длины кратчайших путей от s будут найдены (они будут заключительными значениями пометок вершин), сами пути можно получить при помощи рекурсивной процедуры с использованием соотношения (*). Так как вершина x_i' непосредственно предшествует вершине x_i в кратчайшем пути от s к x_i, то для любой вершины x_i соответствующую вершину x_i' можно найти как одну из оставшихся вершин, для которой

''. (*)

Если кратчайший путь от s до любой вершины x_i является единственным, то дуги (x_i', x_i) этого кратчайшего пути образуют ориентированное дерево с корнем s. Если существует несколько «кратчайших» путей от s к какой-либо другой вершине, то при некоторой фиксированной вершине x_i' соотношение (*) будет выполняться для более чем одной вершины x_i. В этом случае выбор может быть либо произвольным (если нужен какой-то один кратчайший путь между s и x_i), либо таким, что рассматриваются все дуги (x_i', x_i), входящие в какой-либо из кратчайших путей и при этом совокупность всех таких дуг образует не ориентированное дерево, а общий граф, называемый базой относительно s или кратко – s-базой.

2.2 Задачи с методическим описанием

Найти кратчайшие пути от вершины 1 ко всем другим вершинам графа

Неориентированное ребро будем рассматривать как пару противоположно ориентированных дуг равного веса. Воспользуемся алгоритмом Дейкстры. Постоянные пометки будем снабжать знаком +, остальные пометки рассматриваются как временные.