Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ

1. Постановка задачи (математическое описание метода)

2. Описание программного обеспечения

2.1 Общие сведения и требования к ПО и описание логической структуры

3. Описание тестовых задач

4. Анализ результатов

Заключение

Используемая литература

В данной курсовой работе будет рассмотрен метод продолжения решения по параметру, с помощью которого можно эффективно находить корни нелинейных САУ. В работе исследуется влияние вектора начальных приближений x⁰ и заданной точности решения ε_gon на число итераций, время счета и сходимость метода. Так же дается описание программного обеспечения и тексты программ, использованные в данной работе для построения графиков сходимости метода для различных начальных значений вектора x⁰, графики ошибки.

Метод продолжения решения по параметру является наиболее универсальным при решении нелинейных САУ. Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до1. Введем в рассмотрение некоторую САУ

H (x, t) =0,

такую, что:

1) При t=0 система H (x, 0) =0 имеет решение x⁰;

2) При t=1 система H (x, 1) =0 имеет решение x^*;

3) Вектор-функция H (x, t) непрерывна по t. Тогда меняя t от 0 до 1 и решая для каждого t_i систему H (x, t_i) =0, например, методом Ньютона, можно найти последовательно x⁰, x¹, x², …, x^*.

Так как x⁰ при t=0 известно, то всегда можно найти t₁, достаточно близкое к t₀, при котором будут выполняться условия сходимости, например, метода Ньютона. Аналогично можно обеспечить условия сходимости метода Ньютона и для t₂, t₃,…, t=1.

Вектор-функция H (x, t) может быть выбрана различными способами. Рассмотрим три распространенных варианта:

1) H (x, t) =F (x) + (t-1) *F (x⁰) =0

При t=0 получаем: F (x⁰) - F (x⁰) =0, т.е. условие 1) выполнено.

При t=1 F (x^*) - (1-1) * F (x⁰) =F (x^*) =0. И, наконец, вектор-функция H (x, t) непрерывна по t.

2) H (x, t) =t*F (x).

Условия 1) - 3) соблюдаются и для этой вектор-функции.

Идея метода состоит в следующем. Полагаем t₁₌∆t и решаем систему H (x, t₁) =0 при выбранном x⁰. Получаем x^t₁. Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом t₂=t₁+∆t систему H (x, t₂) =0, получаем x^t₂ и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Нелинейные системы H (x, t_i) =0 на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как x^t_i-1 и x^t_i лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение x^t_i не получается за 6-7 итераций, ∆t уменьшается и система H (x, t_i) =0 решается снова.

Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в следующем:

Шаг 1. Формирование системы H (x, t) =0.

Шаг 2. Выбор начального приближения x⁰, (например, x⁰=0) и точности решения ε_gon.

Шаг 3. Полагаем i=1.

Шаг 4. Вычисляем t_i=t_i-1+∆t (обычно вначале берут ∆t=0,1)

Шаг 5. Решаем систему H (x, t_i) =0. Получаем вектор x^t_i. При этом считаем число итераций m. Если m>10, значит метод Ньютона уже не сойдется, так как x^t_i-1 и x^t_i слишком далеки друг от друга. Тогда надо уменьшить ∆t в два раза и вернуться к шагу 4. Будем считать, что x^t_i найдено.

Шаг 6. Проверяем, достигли ли мы заданной точности. Например, используя первый способ,

|| x^t_i-x^t_i-1 || ≤ ε_gon.

Если последнее условие не соблюдается, то переходим к шагу 4. Иначе считаем, что x^*=x^t_i и расчеты закончены.

ПО состоит из следующих файлов: mpr. m, prog. m, funf. m, funj. m. Программы, реализующие метод, разработаны в среде МаtLab, предназначенной для выполнения математических операций. Программа состоит из программы-функции mpr. m, которая описывает метод, программы с данными - основная программа prog. m и двух подпрограмм-функций funf. m - для нахождения корней системы уравнений; funj. m - для нахождения матрицы Якоби. Рассмотрим их подробнее.

Функциональное назначение

Программа предназначена для решения систем нелинейных алгебраических уравнений в среде МаtLab методом продолжения решения по параметру.

Используемые переменные:

t - время выполнения итерационного процесса;

x - вектор начального приближения к решению;

- размерность вектора;

m - номер итерационного процесса;

it - счетчик итераций.

Входные параметры:

funf - формальное имя программы, которое дает возможность вычислить корни нелинейных САУ.

funj - формальное имя программы, которое дает возможность вычислить матрицу Якоби.

x0 - начальное приближение собственного вектора;

dt - приращение времени;

edop - заданная допустимая ошибка;

trace - установка режима вывода на экран;

Выходные параметры:

tout - выходное значение времени;

xout - конечное значение x;

dxout - конечное значение вектора ошибки.

Тексты программ:

Mpr. m

function (xout,dxout,tout) =mpr (funf,funj,x0,dt,edop,trace)

t=dt; x=x0; tout=t; xout=x0'; n=size (x0);

dxout=zeros (1,n); m=0; it=0;

f0=feval (funf,x0);

while (t<=1)

ndx=1;

nh=1;

nv= (ndx; nh);

while (max (nv) >edop)

J=feval (funj,x0);

F=feval (funf,x0);

h= (-F) *t;

dx=J\h;

x=x+dx;

m=m+1;

ndx=norm (dx);

nh=norm (h);

nv= (ndx; nh);

if (m > 10)

t=t-dt;

dt=dt/2;

t=t+dt;

x=x0;

m=0;

end;

end;

x0=x;

tout= (tout; t);

xout= (xout; x');

dxout= (dxout; dx');

if (m < 4)

dt=dt*2;

end;

t=dt+t;

it=it+1;

end;

disp ('it ='); %количество итераций

disp (it);

disp ('t ='); %время выполнения итерационного процесса

disp (t);

pause;

xout - конечное значение x;

dxout - конечное значение вектора ошибки.

m - номер итерации.

Prog. m

trace=1;

dt=0.1;

x0=0;

edop=0.1;

(xout,dxout,m) = mpr ('funf','funj',x0,dt,edop,trace);

plot (m,xout); %График значений x

pause;

plot (m,dxout); %График ошибки

pause;

Funf. m

function (f) =funf (x)

f= (0.0001*exp (30*x) +x-6);

end

Funj. m

function (j) =funj (x)

j= (30*0.0001*exp (30*x) +1);

end

Исследуем влияние вектора начальных приближений на время счета, число итераций и сходимость метода.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.1, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

Результат выполнения программы: количество итераций=60, время счета=4с.

Начальное приближение x⁰=0.3, заданная точность edop=0.1, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

Результат выполнения программы: количество итераций=50, время счета=3,5с.

Начальное приближение x⁰=0.35, заданная точность edop=0.1, dt=0.1

нелинейный корень продолжение решение

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

Результат выполнения программы: количество итераций=22, время счета=2с.

Исследуем влияние заданной точности решения на время счета, число итераций и сходимость метода.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.05, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

Результат выполнения программы: количество итераций=119, время счета=1,5с.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.03, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

Результат выполнения программы: количество итераций=200, время счета=3с.

Начальное приближение x⁰=0, заданная точность edop=0.01, dt=0.1.

График значений x на каждом шаге итерации

График ошибки

Результат выполнения программы: количество итераций=600, время счета=5с.

Проанализировав приведенный выше графический и тестовый материал, описывающий решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом продолжения решения по параметру можно сделать соответствующие выводы:

1. Метод используется для расширения области сходимости метода Ньютона, отличается простотой, не требуют слишком сложных вычислений, что является существенным преимуществом.

2. При задании начального приближения, находящегося далеко от точного решения, метод расходится. Если значение начального приближения выбрано близко к точному решению, то метод сходится, и чем ближе вектор начального приближения к точному решению, тем за меньшее число итераций сходится рассматриваемый метод и тем меньше время счета.

3. Выбор ошибки итерации также влияет на число итераций и время счета. При уменьшении значения допустимой ошибки итерации число итераций увеличивается, что необходимо для получения более точного значения решения системы нелинейных уравнений, время счета также увеличивается.

В работе были рассмотрены теоретические и практические характеристики метода продолжения решения по параметру. В ходе проведения тестирования и реализации метода была проведена справедливость теоретических выкладок. Наглядность результатов не оставляет сомнений в верности проведенного анализа.

Получены сведения о зависимости числа итераций, времени счета и сходимости метода от вектора начальных приближений и заданной точности решения.

Метод продолжения решения по параметру является эффективным и надежным для решения различных систем нелинейных алгебраических уравнений. Недостаток метода состоит в необходимости вычислять матрицу Якоби и решать систему нелинейных алгебраических уравнений на каждой итерации, что приводит к ограничению предельной сложности решаемых систем нелинейных алгебраических уравнений.

1. Кузьмик П.К., Маничев В.Б. Автоматизация функционального проектирования: - М.: Высшая школа, 1986. - Кн.5. Системы автоматизированного проектирования / Под ред. Норенкова И.П.

2. Сарычева О.М. Численные методы: Конспект лекций / Новосиб. гос. техн. ун.-т. - Новосибирск, 1995.