Автоколебательная система. Волны пластической деформации

1 АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

1.1 Автоколебательная система

1.2 Волны пластической деформации

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Автоколебательная система «Хищник-Жертва»

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Получение уравнений с обезразмеренными величинами

2.1.3 Определение координат особых точек

2.1.4 Нахождение показателей Ляпунова особых точек. Исследование характера их устойчвости

2.1.5 Построение фазовых портретов

2.2 Волны пластической деформации

ВЫВОД

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

Приложение А

Приложение Б

ВВЕДЕНИЕ

Отчёт по КР: 25 стр., 4 рис., 4 источника.

Объектом исследования являются две системы: автоколебательная система «Хищник-Жертва» и система волн пластической деформации.

Цель работы – при помощи аналитического и численного анализа исследовать системы, обезразмерить их, найти особые точки, определить их вид, построить фазовые портреты.

При выполнении численных расчетов использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

В результате аналитического анализа получаем особые точки систем и определяем их устойчивость.

В ходе работы были получены фазовые портреты для обеих систем.

1. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

1.1 Автоколебательная система

В последние годы при исследовании процесса пластической деформации приобрела популярность синергетичёская концепция. Ее основная идея состоит в том, что гидродинамические степени свободы, ответственные за течение процесса (деформация, напряжения, плотности дефектов), ведут себя не автономным образом, а самосогласованно. На феноменологическом уровне такое поведение отражается дифференциальными уравнениями, содержащими нелинейные слагаемые. Как известно, аналитическое решение таких уравнений в общем случае не представляется возможным, и потому прибегают к их качественному анализу с помощью фазовых портретов. Особенность используемого подхода состоит в том, что мы, не удовлетворяясь описанием качественных особенностей этих портретов, исследуем точный их вид при различных значениях параметров задачи. Очевидно, такая информация может представить интерес при интерпретации конкретных экспериментальных данных. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений проводилось методами Рунге-Кутта низших порядков.

Экспериментальные результаты последних лет показывают возможность периодического изменения дефектной структуры ряда металлов и сплавов. Такие изменения дефектной структуры с увеличением степени деформации проявляются в колебательном характере изменений равноосности и размеров структурных элементов и согласуются с немнонотонностями на кривых упрочнения. Они связываются с появлением коллективных мод в ансамбле сильновзаимодействующих дислокаций, приводящим к проявлению ротационных процессов. Появление немнонтонностей в характеристиках прочности и пластичности обусловлено рядом ротационных неустойчивостей, периодически протекающих при критических значениях степени деформации. Кроме того, пересечение двух систем ротационных полос влечет уменьшение неравноосности фрагментов.

В последние годы предложена модель периодической перестройки дефектной структуры, в основе которой лежит идея о совместной эволюции хаотически распределенных дислокаций и структуры, состоящей из оборванных дислокационных стенок. При этом пластическая деформация осуществляется двумя способами: некоррелированным перемещением отдельных хаотических дислокаций или перемещением диполя частичных дислокаций. Указанные процессы периодически доминируют в релаксации внешних напряжений и приводят к колебаниям упругой деформации.

Существуют два сценария перехода к ротационным структурам в процессе пластической деформации. Согласно первому такой переход реализуется сразу во всем объеме кристалла, согласуясь с постепенным уменьшением ячеек и увеличением разориентировок малоугловых границ за счет дислокаций невозможно. Другие экспериментальные данные говорят о том, что этот переход сначала происходит в локальных областях кристалла и по мере увеличения степени деформации постепенно охватывает весь объем. Происходящая при этом смена типов дефектных структур может осуществляться путем зародышеобразования и, следовательно, близка по своему механизму к фазовому переходу первого рода.

В работе Н.И. Главацкой исследовались структурные превращения при пластической деформации монокристаллов никеля (1). Было показано, что наблюдаемый характер зависимости микротвердости от степени деформации обусловливается периодической сменой типов дефектных структур. Согласно проведенному исследованию такие структурные преобразования осуществляются принципиально различными способами – эволюционным и инволюционным. Первый из них характеризуется постепенным изменением структурны элементов одного и того же типа – увеличением угла разориентировки структурных элементов, возрастанием плотности дислокаций внутри структурных элементов и в границах. Перестройки морфологически различных типов дефектных структур происходят инволюционным способом. Для него характерно следующее поведение: границы предшествующего типа структуры рассыпаются, а образовавшиеся в результате этого дислокации частично аннигилируют и формируются границы нового типа структуры. Предложена также теоретическая модель, описываются наблюдаемые периодические структурные превращения. Она основана на идее о совместной эволюции хаотических дислокаций, распадающихся границ старой и возникающей границ новой дефектной структур.

1.2 Волны пластической деформации

В процессе пластической деформации и ансамбле дефектов может реализоваться либо циклическое изменение плотностей дефектов, либо автокаталитическое их размножение, приводящее к образованию гидродинамической моды пластического течения. В описанных системах самосогласованное поведение дефектов наблюдалось в условиях монотонно возрастающего или постоянного нагружения, а поле деформации выступало в качестве медленно меняющегося параметра порядка. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда колебательный характер имеет изменение самого поля пластической деформации.

Рисунок 1.1. — Кривая деформации кремнистого железа

Экспериментальное исследование такого случая проводили Фролов К.В., Панин В.Е., Зуев Л.Б., Махутов Н.А., Данилов В.И., Мних Н.М. на образцах крупнозернистого (размер зерна 10 мм) кремнистого железа состава Fe+3%Si и малоуглеродистой стали 10Г2Ф (размер зерна 80 мкм) толщиной (0.3-1.5) мм с рабочей частью 10x50. Они подвергались растяжению на жесткой испытательной машине Instron-1185 с постоянной скоростью при комнатной температуре. Кривая деформации сплава Fe+3%Si имеет вид, представленный на рис. 1.1 На ней цифрами I-V указаны отвечающие пластическому течению материала участки, на которых регистрировалось 5-8 спеклограмм. Прирост деформации между фиксациями ближайших спеклограмм составлял 0.2%. Расшифровка спеклограмм позволила найти вектор смещений точек по всей рабочей поверхности образца с шагом 1 мм. По полю смещений стандартным методом определялись компоненты сдвиговой деформации и поворота (ось x совпадает с направлением приложения нагрузки к образцу, у находится в его плоскости). В результате были построены пространственные зависимости , и зависимости , от интегральной деформации , которые могут быть интерпретированы как временные (рис.1.2-1.3) (2).

Рисунок 1.2. — Распределение локальных сдвигов и локальных поворотов вдоль оси x образца Fe+3%Si для различных участков кривой нагружения (см. рис.1.1) с приростами общей деформации, %: 0.88-1.08 (а); 1.08-1.28 (б); 1.28-1.48 (в).

Рисунок 1.3. — Зависимость локальных сдвигов и локальных поворотов вдоль оси x образца Fe+3%Si в точке (см. рис. 1.2) от общей деформации .

Видно, что для образца Fe+3%Si они имеют волновой характер, при этом сдвиги и повороты меняются вдоль осей координат синфазно. С помощью зависимостей , и , были оценены длина пластической волны , период Т и скорость ее распространения . Они оказались приближенно равными 5±2 мм, 300 с, 0.0015 см/с. Было установлено, что длина волны зависит только от структурных и геометрических параметров образца. Так, при активном растяжении А1 и аморфного сплава величина характеризуется логарифмической зависимостью от размера зерна и линейной – от поперечника образца. В то же время скорость распространения волны v не зависит от размеров образца и зерна, но представляет возрастающую функцию скорости нагружения. Величина v примерно на порядок превышает скорость перемещения подвижного захвата машины.

Для малоуглеродистой стали обнаружен ряд отличий в характере изменения поля дисторсий. В таких материалах отвечающая площадке текучести деформация сопровождается распространением одной или нескольких полос Людерса. В эксперименте, в частности, происходило движение двух полос Людерса во встречном направлении. Основным носителем деформации является фронт полосы, перед ним материал деформирован незначительно. Как показал анализ соответствующего площадке текучести ноля деформации (рис. 1.4а), существуют значительные распределенные волновым образом сдвиги, как за фронтом полосы Людерса, так и перед ним. Величины последних примерно одинаковы, но ярко выраженная цикличность сдвигов, как при деформации Fe+3%Si отсутствует. На зависимости максимумы разного знака совпадают с положениями фронтов полос Людерса. Как видно из рис. 1.46, при встрече полос (окончание площадки текучести и переход к стадии упрочнения) экстремумы поворотов аннигилируют. В дальнейшем зависимости , принимают вид, подобный наблюдаемому для системы Fe+3%Si (рис. 1.4в).

Рисунок 1.4. — Изменение пространственной части волны деформации при распространении полос Людерса в малоуглеродистой стали (и - положение фронтов полос во время регистрации спеклограммы, - координата встречи полос Людерса).

фазовый волна пластическая деформация автоколебательная

Для этой стадии деформирования скорость распространения волны v=0.0023 см/с. Указанное значение v соизмеримо со скоростью фронта полосы Людерса, определенной путем киносъемки процесса при освещении скользящим пучком света. Оно на порядок больше скорости подвижного захвата нагружающего устройства. Таким образом, квазистатическая деформация сталей также носит волновой характер. Наблюдаемые волны не являются упругими и их нельзя отождествлять с волнами пластичности Кольского, реализуемыми при ударном нагружении. Это следует из того факта, что волновые процессы последних двух типов характеризуются скоростями распространения которые намного больше скорости обнаруженных в работе Фролова К.В., Панина В.Е., Зуева Л.Б.. Махутова Н.А., Данилова В.И.. Мних Н.М. волн пластической деформации (3). Приведенные экспериментальные данные показывают, что, по всей видимости, пластические волны образуются в результате самоорганизации элементарных актов пластического течения.

Согласно одному из подходов к объяснению деформационного упрочнения при пластическом течении структурные изменения и перестройки в системе дефектов обусловлены релаксацией напряжений в деформируемом твердом теле. При этом характерная неоднородность поля напряжений и связанная с ней неоднородность пластической деформации говорят о том, что образец является неравновесной системой, в которой происходит диссипация упругой энергии. Последнее явление связано с релаксационными процессами, осуществляемыми на различных структурных уровнях - рождением и движением точечных дефектов, дислокаций, дисклинаций и т.д.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Автоколебательная система «Хищник-жертва»

2.1.1 Постановка задачи

Необходимо получить уравнение с безразмерными величинами, определить координаты особых точек. Найти показатели Ляпунова для особых точек, определить характер их устойчивости. Построить фазовые портреты системы.

2.1.2 Получение уравнений с обезразмеренными величинами.

Исследуемая система уравнений представляет обобщение схемы Лотки-Вольтерра, описывающей экологическую систему «Хищник-жертва». Их уравнения эволюции имеют вид

(2.1)

(2.2)

где n,p – концентрация жертв и хищников соответственно; , - их характерные времена изменения; - константа аннигиляции жертв; , - постоянные, учитывающие интенсивность поглощения жертв хищниками (все указанные постоянные положительны). Первое слагаемое в правой части (2.1) описывает увеличение концентрации дефектов-жертв под воздействием внешней нагрузки, второе – их аннигиляцию, третье – поглощение дефектами-хищниками. Первый член в части (2.2) представляет автономную регрессию хищников, второй – их рост за счет поглощения жертв.

Введем безразмерные плотности дефектов час , и время , а также параметры и >1. Тогда система уравнений (2.1), (2.2) принимает вид

(2.3)

. (2.4)

Здесь все величины не имеют размерностей, следовательно, система была вполне успешно обезразмерена.

2.1.3 Определение координат особых точек

Поскольку аналитически получить точные зависимости из системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.3), (2.4) не представляется возможным, проведем ее качественное исследование методом фазовой плоскости (4). Такой анализ дает возможность определить характер фазовых траекторий, совокупность которых с различными начальными координатами определяет фазовый портрет системы. Точный его вид найдем путем численного интегрирования системы уравнений (2.3), (2.4).

Разделив почленно уравнение (2.3) на (2.4), получаем дифференциальное уравнений первой степени

. (2.5)

Используя (2.5), найдем особые точки фазовой плоскости, т.е. точки в которых направление касательной к фазовой траектории не определено. Для этого запишем систему уравнений :

(2.6)

. (2.7)

Эта линейная система уравнений имеет три решения. Следовательно, имеем три критические точки: О(0,0); S(0,1);F(.

2.1.4 Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.

1) точка O (0,0). Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.8)

(2.9)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим

(2.10)

(2.11)

Условие разрешимости системы имеет вид:

D = (2.12)

Таким образом видимо, что корни рациональны и имеют разные знаки. Следовательно точка О является седлом.

2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.13)

(2.14)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим

(2.15)

(2.16)

В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:

=. (2.17)

Таким образом видно, что корни также рациональны и имеют разные знаки. Следовательно, точка S является седлом.

2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.18)

(2.19)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . В результате получим

(2.20)

(2.21)

В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:

=. (2.22)

Проведем анализ полученных результатов. С учетом того, что в формуле (2.22) присутствует радикал то можно сделать вывод, что при значениях параметра, ограниченных сверху величиной

=, (2.23)

ляпуновские показатели вещественны и отрицательны а с ростом до значений превышающих критическое, они становятся комплексными с отрицательной действительной частью. Следовательно, в этих пределах точка F представляет устойчивые узел и фокус соответственно.

Можно сделать вывод, что системы, в которых предпочтителен колебательный режим реализуются, если интенсивность процессов аннигиляции жертвы мала по сравнению с интенсивностью процесса ее поглощения хищником. С другой стороны, характерное время автономной эволюции хищника должно быть малым в сравнении с соответствующим временем для жертвы.

2.1.5 Построение фазовых портретов

Для построения фазовых портретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных, численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.3), (2.4). Полученные результаты изображены на рис. 2.1-2.2.

Рисунок 2.1. — Фазовый портрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии.

Рисунок 2.2. — Фазовый портрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии.

2.2 Волны пластической деформации

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Получение уравнений с обезразмеренными величинами.

Исследуемая система уравнений имеют вид

(2.24)

(2.25)

Введем безразмерное напряжение , время , а также параметры , , >1. Тогда система уравнений (2.1), (2.2) принимает вид

(2.26)

. (2.27)

Здесь все величины не имеют размерностей, следовательно, система была вполне успешно обезразмерена.

2.2.3 Определение координат особых точек

Поскольку аналитически получить точные зависимости из системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.26), (2.27) не представляется возможным, проведем ее качественное исследование методом фазовой плоскости. Такой анализ дает возможность определить характер фазовых траекторий, совокупность которых с различными начальными координатами определяет фазовый портрет системы. Точный его вид найдем путем численного интегрирования системы уравнений (2.26), (2.27).

Разделив почленно уравнение (2.26) на (2.27), получаем дифференциальное уравнений первой степени

. (2.28)

Используя (2.28), найдем особые точки фазовой плоскости, т.е. точки в которых направление касательной к фазовой траектории не определено. Для этого запишем систему уравнений :

(2.29)

. (2.30)

Эта линейная система уравнений имеет одно решение. Для удобства запишем его таким образом: где

. (2.31)

2.2.4 Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.

1) точка . Положим в уравнениях (2.26) и (2.27) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.32)

(2.33)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . Условие разрешимости системы имеет вид:

D = (2.34)

где

= (2.35)

= (2.36)

Таким образом, видимо, что характер поведения определяется величиной параметра Если параметр лежит в интервале:

, (2.37)

то особая точка будет устойчивым фокусом, следовательно, возможны колебания.

Система имеет тенденцию проявлять максимально колебательное поведение во времени при убывании и возрастании остальных параметров. Максимальное отношение частоты к коэффициенту затухания реализуется в предельных условиях когда , а остальные параметры стремятся к бесконечности. Однако даже при таких оптимальных условиях частота не превышает обратного времени затухания. Что значит, что фазовый переход невозможен и волны пластической деформации практически нереализуемы.

2.1.6 Построение фазовых портретов

Для построения фазовых портретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных, численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.26), (2.27). Полученные результаты изображены на рис. 2.3-2.4

Рисунок 2.3. — Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: типичная картина поведения.

Рисунок 2.4. — Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: оптимальный режим поведения.

ВЫВОД

В данной работе были рассмотрены фазовые переходы в автоколебательной системе «Хищник-Жертва» и в системе с волнами пластической деформации. Для обоих случаев были получены необходимые уравнения в обезразмеренном виде, после чего были определены координаты особых точек, найдены показатели Ляпунова для найденных точек. Был исследован характер особых точек.

В частности для системы «Хищник-Жертва» были найдены три критические точки, две из которых являются седлами, а третья в зависимости от различных значений параметра, может быть либо узлом, либо фокусом. Фокус соответствует режиму колебаний. Следовательно, в системе «Хищник-Жертва» возможны автоколебания.

Для волн пластической деформации найдена всего одна критическая точка, которая является устойчивым фокусом. Было определено, что, не смотря на возможность устоявшегося колебательного режима, волны пластической деформации практически нереализуемы.

После решения были построены фазовые портреты для каждой из систем.

В ходе работы были найдены особые точки и показатели Ляпунова из системы дифференциальных уравнений методом фазовой плоскости. После чего были численно решены эти же системы дифференциальных уравнений и были построены фазовые портреты.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Олемской А.И., Хоменко А.В. Синергетика конденсированной среды: Учебное пособие. – Сумы: Изд-во СумГУ, 2002. – 19-44 с., 373 с.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности. – М.: Наука, 1988. – 448 с.

3. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з курсу «Моделювання фізичних процесів і систем» / Укладач: Хоменко О.В. – Суми: СумДУ, 2009. – 14с.

4. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з курсу «Моделювання фізичних процесів і систем» на тему «Синергетична кінетика плавлення ультра тонкої плівки мастила »/ Укладач: Хоменко О.В. – Суми: СумДУ, 2010. – 4 - 11 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Программная реализация построения фазовых портретов волн автоколебательной системы

clear all;

alpha=0.8;

beta=1.1;

f=@(t,y)(-(y(1)/alpha)*(1-beta*y(2));y(2)*(1-y(1)-y(2)));

for i=0:1/5:1,

for j=0:1/5:1,

(T,Y)=ode45(f,(0 100),(i j));

plot(Y(:,1),Y(:,2));

hold on;

end

hold off;

axis((0 1 0 1));

pause;

clear all;

alpha=0.8;

beta=10;

f=@(t,y)(-(y(1)/alpha)*(1-beta*y(2));y(2)*(1-y(1)-y(2)));

for i=0:1/2:1,

for j=0:1/2:1,

(T,Y)=ode45(f,(0 100),(i j));

plot(Y(:,1),Y(:,2));

hold on;

end

hold off;

axis((0 5.5 0 0.6));

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Программная реализация построения фазовых портретов волн пластической деформации

clear all;

alpha=1; beta=1; gamma=1;

f=@(t,y)(-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2)));

for i=0:1/5:1,

for j=0:1/5:1,

(T,Y)=ode45(f,(0 100),(i j));

plot(Y(:,1),Y(:,2));

hold on;

end

hold off;

axis((0 1 0 1));

pause;

clear all;

alpha=20.48;

beta=0.043;

gamma=25;

f=@(t,y)(-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2)));

for i=0:1/5:1,

for j=0:1/5:1,

(T,Y)=ode45(f,(0 100),(i j));

plot(Y(:,1),Y(:,2));

hold on;

end

hold off;

axis((0 5.5 0 0.6));

pause;

clear all;

alpha=1;

beta=10;

gamma=1;

f=@(t,y)(-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2)));

for i=0:1/5:1,

for j=0:1/5:1,

(T,Y)=ode45(f,(0 100),(i j));

plot(Y(:,1),Y(:,2));

hold on;

end

hold off;