Определение дуальных и двойных чисел

В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.

Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.

Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).

Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).

В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.

Глава I. Определение дуальных и двойных чисел

1.1 Дуальные числа

Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:

(1)

Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа  на другое число  будет вещественным лишь в том случае, когда ; если , то последнее равенство можно записать в виде . Вещественным, в частности, является произведение чисел  и :

(2)

Число  называют сопряжённым числу  (и обратно,  сопряжено ); корень квадратный  из произведения  (совпадающий с полусуммой  сопряжённых чисел  и ) называют модулем дуального числа  и обозначают через  (отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным). Сумма  двух сопряжённых чисел является вещественной; разность  является числом чисто мнимым (т.е. отличается от  лишь вещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число  тогда и только тогда совпадает со своим сопряжённым , когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чисел формулы (3)

, , ,  (3)

полностью остаются в силе для дуальных чисел.

Правило деления на дуальное число  мы теперь можем записать так:

. (4)

Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число  необходимо, чтобы модуль  этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные  и  являются числами новой природы, которые условимся обозначать через  и ; введём также в рассмотрение всевозможные числа вида , где  вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:

 при ; .

Правила действий над символом  определяются следующими формулами:

, , , , , (5)

здесь - произвольное число, причём в среднем равенстве , а во втором и в двух последних ( в этих формулах может быть и числом вида ); правила действий над числами  определяются так:

(6)

Положим ещё

, ; (6а)

тогда для расширенного (введением чисел , ) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство  и все правила (3).

Число  нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число , равное , произведение которого на число  равняется нулю:

. (7)

Поэтому эти числа называют делителями нуля.

Дуальные числа ненулевого модуля  можно также записать в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа:

. (8)

Здесь  есть модуль числа , а отношение  называется аргументом этого числа и обозначается через Argz(rможет быть произвольным вещественным числом, отличным от нуля; - произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа  характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряжённые дуальные числа  и  имеют одинаковый модуль r и противоположные аргументы  и .

Форма (8) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,

; (9)

следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей(1), а аргумент произведения - сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:

. (10)

Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:

 (11)

(из последней формулы вытекает, что корень нечётной степени из дуального числа при  определяется однозначно; корень же чётной степени не существует, если r<0, и имеет два значения, еслиr>0(2)).

1.2 Двойные числа

В полной аналогии со всем изложенным выше назовём двойные числа  и  сопряжёнными, если они имеют вид

 и .

Сумма и произведение  сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа , знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a и , называется модулем числа  и обозначается через . Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство  характеризует вещественные числа , а равенство  - чисто мнимые числа .

Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами

 (12)

Отсюда следует, что и здесь деление на  возможно лишь в тех случаях, когда . Двойные числа , модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что ). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные ,  и  числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения  и  новых чисел  и  на всевозможные вещественные числа c и частные  и . Правила действия над символами , , ,  и  определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например:

 (13)

и т. д. Естественно также положить

, , , , (13а)

что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства  и всех соотношений (3).

Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть  - модуль  двойного числа; далее

.

Из определения модуля следует, что  и что большая (по абсолютной величине) из дробей  и  положительна. Отсюда вытекает, что

,  или , , (14)

где  есть некоторое число (определённое формулами (14)), а  и  – гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .

Таким образом, имеем

 или . (15)

величина  называется аргументом двойного числа z и обозначается через Argz(3).

Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что

 (16)

Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:

;

. (17)

Из формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень и извлекать из него корень степени :

,

при

нечётном,

при чётном;

Глава II.

2.1 Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.

Две ориентированные прямые будем называть параллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле и направления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямые противоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).

а                                                          б

Рис. 1

Под расстоянием от прямой a до не пересекающей её прямой будем понимать ориентированное расстояние {a,} от a до , т.е. ориентированное расстояние от произвольной точки прямой a до прямой ; очевидно, что {a,}=-{,a}, если aи параллельны, и {a,}={,a}, если a и противопараллельны.

Полярные координаты точек плоскости определяются заданием некоторой точки O (полюса системы координат) и проходящей через O ориентированной прямойo (полярной оси); координатами точки M служат расстояние r=OM этой точки от полюса и угол ={o,m}, образованный с oориентированной прямой m, соединяющей OиM. Аналогично этому можно определить полярные координаты ориентированных прямых плоскости, для задания которых надо также указать некоторую ориентированную прямую o (полярную ось) и лежащую на o точку O (полюс); координатами прямой l служат угол ={o,l}, образованный l с полярной осью o, и ориентированное расстояние ={O,L} от O до точки L пересечения lи o (рис. 2,а). Очевидно, что координата ориентированной прямой lможет иметь любое значение, заключённое между  и ; координата  – любое значение, заключённое между 0 и 2. Естественно считать, что =0 для прямых, параллельных полярной оси o, и = для прямых, противопараллельных o; если прямая не пересекает оси o, то координаты она не имеет (можно считать, что в этом случае ).

Условимся сопоставлять ориентированной прямой l с полярными координатами  и дуальное число

, ,  (19)

(рис. 2). При этом параллельным o прямым, для которых =0, естественно относить числа нулевого модуля, т.е. делители нуля . Чтобы установить точное соответствие между параллельными o прямыми и делителями нуля, заметим, что расстояние d={O,l} не параллельной o прямой l от полюса O равно

 (20)

(рис. 2, а). Чтобы формула (20) сохранила силу и для параллельной o прямой m, отстоящей от o на расстоянии {o,m}=d, то этой прямой нужно сопоставить число

 (т.е. , где u=0 и ).

Двум пересекающим o прямым lи l, отличающимся только направлением и, следовательно, имеющим полярные координаты () и (), отвечают дуальные числа

и

.

Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых, не пересекающих o, условимся относить противопараллельной o прямой m, отстоящей от o на расстоянии {o,m}=d, число

(заметим, что если расстояние {o,m} от o до параллельной o прямой m, совпадающей по положению на плоскости с прямой m, равно d, то d=-d). Прямой o, отличающейся только направлением от полярной оси o (противооси), мы сопоставим число .

Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, включая сюда также и числа вида w, где w0 вещественно, и число .

Очевидно, что вещественным числам  отвечают проходящие через полюс O прямые; числам модуля 1 – перпендикулярные o прямые; чисто мнимым числам v (числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуля w отвечают параллельные и противопараллельные оси o прямые. Сопряжённым числам  и  отвечают прямые симметричные относительно полюса O; противоположным числам  и  – прямые, симметричные относительно полярной оси o (т.е. прямые, пересекающие o в одной и той же точке L и образующие сo равные углы {o,z}={-z,o}; см. рис. 2, б); числам z и  отвечают прямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства

 (а),  (б), (в)  (21)

можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O, симметрии относительно прямой o и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).

Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).

Параллельный перенос вдоль o на расстояние t переводит прямую, которой отвечает дуальное число

,

в прямую, которой отвечает число

(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос  можно записать так:

, где ,  (22)

(т.к. ).

Параллельный перенос на расстояние t в направлении, перпендикулярном o, переводит прямую

в прямую

(рис. 3, б). Но

.

Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что

;

таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой

, где , . (22, а)

Отсюда вытекает, что произвольный параллельный перенос, т.е. перенос на расстояние t в направлении o и на расстояние t в направлении lo, записывается формулой

, , ,

или, если ввести обозначение  (т.е. ) и воспользоваться тем, что , , , формулой

, (23)

где , , , .

Перейдём теперь к вращениям плоскости. Очевидно, что поворот вокруг O на угол  переводит прямую  в прямую , где  (рис. 4). Таким образом,

 (24)

(здесь используется то, что если zиz– дуальные числа, то ,  и ). Далее, если dиd′– расстояния прямых zиz′ отполюса , то

поэтому

.

С другой стороны, поскольку , то

.  (24а)

Из (24) и (24а) следует, что наше вращение записывается формулой

, (25)

где , .

Наконец, самое общее движение представляет собой поворот (25) вокруг O на некоторый угол , причём это вращение может сопровождаться ещё параллельным переносом (33):

.

В другом виде это преобразование можно записать так:

, (26а)

где , .

Возможно, также, что исходное движение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o, сопровождаемую преобразованием (36а) (вращением вокруг O и параллельным переносом):

. (26б)

Наконец, движение может представлять собой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или (36б):

, (26в)

где , , или

, (26г)

где , .

Очевидно, что ориентированный угол {} между прямыми  и  равен  (рис. 5, а)

Это можно записать так:

.

Полученный результат можно также представить в следующей симметричной форме:

. (27)

Найдём теперь ориентированное расстояние d={(),()} между точками () и () пересечения определённой прямой  с двумя другими прямыми  и  (рис. 5, б). Очевидно, что расстояние dмежду точками пересечения прямой o с прямыми  и  равно

.

Пример движения, переводящего данную прямую  в прямую o, даётся формулой

;

это движение переводит прямые  и  в прямые  и . Отсюда получаем

.(28)

Условием того, что прямые ,  и  пересекаются в одной точке, является равенство нулю расстояния между точками пересечения  и  с , т.е., в силу формулы (28), вещественность отношения .

Это условие можно переписать ещё так:

. (29)

Следовательно, “уравнение точки”, т.е. условие, которому удовлетворяют прямые , проходящие через одну точку (), имеет вид

,

или

, A– чисто мнимое (30)

(здесь ,  ).

Найдём теперь условие того, что четыре ориентированные точки , ,  и  принадлежат одной ориентированной окружности. При этом под ориентированной окружностью мы здесь понимаем совокупность всех ориентированных прямых l, ориентированное расстояние {O,l} которых от данной точки O (центра окружности) имеет фиксированное значение r. Число r называется радиусом окружности; таким образом, радиус ориентированной окружности может быть как положительным, так и отрицательным. Из определения ориентированного расстояния {O,l} от точки O до прямой l следует, что радиус ориентированной окружности будет положительным, если направление обхода противоположно направлению вращения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Можно показать, что четыре ориентированные прямые , ,  и  в том и только в том случае принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку, если

{(),()}{(),()}={(),()}{(),()}. (31)

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на котором изображены четыре ориентированные касательные , ,  и  ориентированной окружности S, касающиеся S соответственно в точках M,N,PиQ; точки (), (), () и () обозначены через A, B, CиD. При этом, очевидно, имеем

{A,B}{C,D}={A,P}{P,B}{C,Q}{Q,D}

и      

{D,A}{B,C}={D,M}{M,A}{B,N}{N,C}

В силу известного свойства касательных к окружности

{A,P}={M,A}, {P,B}={B,N}, {C,Q}={N,C}, {Q,D}={D,M},

значит, во всех случаях выполняется условие (31)

{A,B}{C,D}={D,A}{B,C}.

Нетрудно убедиться и в том, что если равенство (31) имеет место, то четыре прямые , ,  и  принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку.

Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:

,

или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,

.

Но

и

(т.к.  и )

Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:

. (32)

Дуальное число  естественно называть двойным отношением четырёх прямых , ,  и ; обозначать его будем символом W(,,,). Таким образом, условием того, что четыре прямые , ,  и  принадлежат одной ориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль – точке), является вещественность двойного отношения W(,,,)= этих четырёх прямых.

Последнему условию можно придать вид:

=, (33)

откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой), определяемой тремя данными прямыми , ,  и , имеет вид

=. (34)

Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):

, A иC – чисто мнимые. (35)

Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).

Прямую уравнение (35) выражает при

. (36)

2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского

В полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o ориентированной прямой l, имеющей полярные координаты , , двойное число

, (37)

а расходящейся с oпрямой m, направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ, – число

, (37а)

где d={m,o}={P,Q} – кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми mи o, т.е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых mи o, ’={O,Q} – ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 6).

Далее, так как из формулы (37) вытекает, что двум пересекающим o прямым lи l, отличающимся только направлением, соответствуют двойные числа

и

,

то прямой m, отличающейся только направлением ототвечающей числу (37а) расходящейся с o прямой m, сопоставим число

. (37б)

Прямые, параллельные оси o, можно рассматривать как предельный случай пересекающих o прямых, отвечающий равенству нулю угла , или как предельный случай расходящихся с o прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d. Так как из формул (37) и (37а) следует, что , соответственно , то естественно отнести параллельным o прямым, направленным в ту же сторону, что и o, делители нуля, т.е. числа вида . При этом прямым, параллельным o в положительном или отрицательном направлении, отвечают числа , для которых  или , т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение  равносильно равенству  или , а соотношение  – равенству  или . Из формул неевклидовой тригонометрии следует, что ориентированное расстояние ={O,l} от полюса O до пересекающей o прямой l (рис. 6), отвечающей двойному числу , находится из соотношения

. (38)

Поэтому двум параллельным o прямым и', удалённым от O на расстояние {O, }={O, '}=, надо отнести  числа  (где ), для которых , т.е. числа

 и .

Наконец, исходя из соотношения , связывающего двойные числа zи z, отвечающие пересекающим ось o или расходящимся с o прямым, отличающимся одна от другой лишь направлением, сопоставим противопараллельным o прямым n и n(т.е. прямым, параллельным o и противоположно направленным), удалённым от O на расстояние {O, n}={O,n}=p, числа

 и ,

где  и  – числа, обратные делителям нуля: ,  (если и n– две прямые, отличающиеся только направлением, то ={O, }=–{O,