Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра

2. Интеграл коши на кривой

3. Интеграл коши на области

3.1 Аналитическая зависимость от параметра

3.2 Существование производных всех порядков у аналитической функции

3.3 Вывод формулы Коши

3.2 Следствия из формулы Коши

Заключение

Список литературы

Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Так как целью моей прошлой курсовой работы являлось изучение некоторых аспектов темы, таких как интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Цель данной курсовой работы является изучение новых аспектов по теме «интегралы, зависящие от параметров» и накопление материалов для следующих работ по данной тематике.

В данной курсовой работе я рассмотрел интегралы Коши по кривой  и интегралы Коши по плоскости , также была рассмотрена аналитическая функция, аналитическая зависимость от параметра.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

· Найти и изучить литературу по данной теме

· Накопить и систематизировать полученную информацию по теме

· Изучить основные понятия.

Объектом исследования являются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов.

В работе использованы следующие методы исследования:

1. Анализ научной литературы по теме «интегралы, зависящие от параметров»

2. Синтез полученных знаний

3. Обобщение полученных знаний

Работа насчитывает 26 страницы, состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы и содержащего 10 наименований, вспомогательные указатели, а также содержит 2 иллюстрации.

Рассмотрим интеграл

.(1)

Теорема 1. (7, c. 111) Пусть выполнены условия:

1)  - конечная кусочно-гладкая кривая;

2) функция  непрерывна по  при , где  - область в комплексной плоскости;

3) при каждом фиксированном  функция  регулярна по  в области .

Тогда интеграл (1) есть регулярная в области функция.

Доказательство. В силу условий 1, 2 функция  непрерывна в области . Возьмем произвольную точку  и построим круг , который содержит точку  и лежит внутри . Применим теорему Морера. Пусть  - замкнутая кривая, лежащая в круге . Тогда

,(2)

так как порядок интегрирования можно переставить, а интеграл по  равен нулю (интегральная теорема Коши). По теореме Морера функция  регулярна в круге ; следовательно,  регулярна в области .

Следствие 1. Пусть  - неограниченная кусочно-гладкая кривая, пусть выполнены условия 2, 3 и следующее условие:

4) интеграл (1) сходится равномерно по , где  - любая замкнутая подобласть области .

Тогда функция  регулярна в области .

Следствие 2. Пусть условия 1, 3 выполнены, но функция  может имеет особенности в концах кривой . Если функция  непрерывна по  при ,  не принадлежит концам  и выполнено условие 4, то функция  регулярна в области .

Доказательство следствий 1 и 2 проводится точно также, как и в теореме 1; интегралы в (2) можно переставлять в силу равномерной сходимости интеграла (1).

Теорема 2. (7, c.112) Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда

.(3)

Доказательство. Пусть  - круг , лежащий в области  и  - его граница. Тогда при  имеем

Перестановка порядка интегрирования возможна в силу непрерывности подынтегральной функции и конечности кривых .

Замечание. Теорема 2 остается в силе, если выполнены условия следствия 1 или 2, и интеграл (3) сходится равномерно по , где  - любая замкнутая подобласть области .

Аналитические свойства интегральных преобразований.

Наиболее употребляемыми в математической физике интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа, Фурье и Меллинга.

Пусть функция  определена на полуоси . Ее преобразованием Лапласа называется функция

.(4)

Теорема 3. (7, c.113) Пусть функция  непрерывна при  и удовлетворяет оценке

(5)

Тогда ее преобразование Лапласа  есть функция, регулярная в полуплоскости .

Доказательство. Воспользуемся следствием 1 из теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть . Тогда

.

Так как сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (4) сходится равномерно по  при  и функция  регулярна в этой полуплоскости. В силу произвольности  функция  регулярна при .

Преобразованием Фурье функции  определенной на действительной оси, называется функция

(6)

Теорема 4. (7, c.113) Пусть функция  непрерывна при  и удовлетворяет оценкам

, (7)

где . Тогда ее преобразование Фурье  есть функция, регулярная в полосе .

Доказательство. Разобьем интеграл (6) на два интеграла:

.

В силу условия (7) и теоремы 3 функция  регулярна в полуплоскости , а функция  - в полуплоскости , что и доказывает теорему.

В частности, если функция  финитна, т.е.  при , и непрерывна при , то ее преобразование Фурье является целой функцией. Это следует из теоремы 1, поскольку в этом случае

.

Преобразованием Меллина функции , определенной на полуоси , называется функция

(8)

Здесь .

Теорема 5. (7, c.114) Пусть функция  непрерывна при  и удовлетворяет оценкам:

, (9)

где . Тогда ее преобразование Меллина является функцией, регулярной в полосе .

Доказательство. Разобьем интеграл (8) на два интеграла

.

Пусть ,  и ; тогда

.

Так как  сходится при , то, по признаку Вейерштрасса, интеграл  сходится равномерно по  при . В силу следствия 2 функция  регулярна в полуплоскости .

Далее, при ,  и  имеем

Из сходимости интеграла  и следствия 1 вытекает, что функция  регулярна в полуплоскости .

Преобразования Фурье и Меллина связаны следующим соотношением:

, (10)

где  - преобразование Меллина, а - преобразование Фурье функции . Действительно, делая замену переменной , получаем

(мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы (10).

В частности, с помощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4.

(11)

Интеграл называется интегралом типа Коши. Исследуем его аналитические свойства в предположении, что функция  непрерывна на кривой .

1. Пусть  - конечная кривая. Тогда дополнение к  состоит из конечного или бесконечного числа областей. В каждой из этих областей интеграл типа Коши является регулярной функцией в силу теоремы 1.Однако эти регулярные функции, вообще говоря, различны, т.е. не являются аналитическими продолжениями друг друга. Например,

Покажем, что функция, представленная интегралом (11) регулярна в бесконечно удаленной точке. Делая замену  и полагая , получаем

.

Так как  - конечная кривая, то знаменатель  при достаточно малых  и функция  регулярна в точке  в силу теоремы 1.

2. Пусть  - бесконечная кривая. Ограничимся, для простоты случаем, когда  - вещественная ось; тогда

(12)

Пусть функция  удовлетворяет оценке

(13)

Покажем, что тогда формула (12) определяет две функции , которые регулярны в полуплоскостях ,  соответственно. Воспользуемся следствием 1.Рассмотрим случай . Пусть  лежит в полуполосе : , где , . При вещественных  и при  имеем , если . Следовательно,

Поскольку интеграл  сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл  сходится равномерно по . В силу следствия 1 функция  регулярна при ; так как  можно выбрать сколь угодно большим, а  - сколь угодно малым, то интеграл (12) представляет функцию , регулярную в верхней полуплоскости. Аналогично доказывается, что интеграл (12) представляет функцию , регулярную в нижней полуплоскости.

Пример 1. (7, c.119) Пусть функция  непрерывна на полуоси  и удовлетворяет оценке . Тогда интеграл типа Коши представляет функцию, регулярную в плоскости с разрезом по полуоси .

3. Если функция  регулярная на контуре интегрирования , то интеграл типа Коши допускает аналитическое продолжение через точки контура. Прием, который при этом используется, заключается в том, что мы сдвигаем контур интегрирования.

Пример 2. (7, c.119) Пусть

.

Функция  регулярна в круге . Покажем, что функцию  можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость . Положим при

.

Функция  регулярна в круге . Покажем, что

.

тем самым наше утверждение будет доказано. Подынтегральная функция  регулярна в кольце , если , так как функция  регулярна при всех .

Следовательно, в силу интегральной теоремы Коши интегралы по окружностям  и  от функции  равны при  что и требовалось доказать.

Этот пример допускает следующее обобщение. Рассмотрим интеграл  типа коши (11), где  - простая замкнутая кривая. Тогда этот интеграл определяет функцию, регулярную в области , лежащей внутри .

Пусть функция  регулярна в замкнутой области , ограниченной кривыми  и , где  - простая замкнутая кривая, и  лежит внутри . Тогда формула

дает аналитическое продолжение функции  в область , лежащую внутри . Действительно, функция  регулярна в области , если , так что в силу интегральной теоремы Коши

.

Интеграл в левой части этой формулы задает функцию, регулярную в , а интеграл в правой части равен . Следовательно, , и наше утверждение доказано.

Аналогичный метод применим к интегралам вида (12).

Теорема 6. (7, c.120) Пусть функция  регулярна в полосе  и удовлетворяет условию

.

Тогда интеграл (2) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость  и это продолжение  дается формулой

3.1 Аналитическая зависимость от параметра

Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования и фиксированного значения переменной . Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра. Естественно поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.

Пусть задана функция двух комплексных переменных , однозначно определенная для значений комплексной переменной  из области  и для значения комплексной переменной , принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимное расположение области  и кривой может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных  удовлетворяют следующим условиям:

a) Функция  при любом значении  является аналитической функцией  в области .

b) Функция  и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных  при произвольном изменении  в области  и  на кривой

Условие () означает, что действительная и мнимая части функции  непрерывны по совокупности переменных .

Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функции  по кривой  существует при любом  и является функцией комплексной переменной

(14)

Естественно поставить вопрос о свойствах функции . Оказывается, что при сделанных предположениях относительно функции  функция  является аналитической функцией комплексной переменной  в области , причем производную функции  можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла.

Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл

.

Так как, по предположению, функции  и  обладают частными производными по  и , непрерывными по совокупности переменных, то частные производные функции  по переменным ,  существуют и их можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла (14):

Сами функции  и  являются непрерывными функциями переменных ,  в области  . На основании аналогичных свойств функции  и используя условия Коши-Римана для функции , получим

(15)

Таким образом, для  выполнены условия Коши-Римана (частные производные функции  и непрерывны и связаны соотношениями (15)), что и доказывает аналитичность  в области .

Заметим, что

(16)

Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру. При этом, если  удовлетворяет тем же условиям () и (), что и , то  также является аналитической функцией в области .

3.2 Существование производных всех порядков у аналитической функции

Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные характеристики аналитических функций. Как мы видели, значение функции , аналитической в некоторой области , ограниченной контуром , и непрерывной в замкнутой области , во внутренних точках этой области моет быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:

.(17)

Рассмотрим в области  некоторую замкнутую подобласть , расстояние всех точек которой от границы  области  больше некоторого положительного числа . Функция

является аналитической функцией  в области  причем ее частная производная  в этой области является непрерывной функцией своих аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутренних точках области  производная  может быть представлена в виде

(18)

Интеграл (18) является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (17). Следовательно,  является аналитической функцией  в области  причем для ее производной справедлива формула

.(19)

Так как для любой внутренней точки  области  может быть построена соответствующая замкнутая подобласть  то формулы (18) и (19) справедливы в любой точке . Имеет место и более общая теорема.

Теорема 7. (6, c.58) Пусть функция  является аналитической в области и непрерывной в замкнутой области . Тогда во внутренних точках области  существует производная любого порядка функции , причем для нее имеет место формула

(20)

Для доказательства этой теоремы достаточно повторить предыдущие рассуждения соответствующее число раз. Итак, если функция является аналитической функцией в области , то в этой области функция  обладает непрерывными производными всех порядков. Это свойство аналитической функции комплексной переменной существенным образом отличает ее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производную в некоторой области. В последнем случае из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных.

Рассмотрим ряд важных следствий установленного свойства аналитической функции комплексной переменной.

Теорема 8(Морера). (6, c.59)Пусть функция  является непрерывной в односвязной области  и интеграл от  по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему , равен нулю. Тогда  является аналитической функцией в области .

Доказательство. Было доказано, что при условиях теоремы функция

,

где ,  - произвольные точки области , а интеграл берется по любому пути, соединяющему эти точки в области , является аналитической в этой области функцией, причем . Но, как только что было установлено, производная аналитической функции также является аналитической функцией, т. е. существует непрерывная производная функции , а именно функция , что и доказывает теорему.

Отметим, что теорема 1.10 является в определенном смысле обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить и на многосвязные области.

Теорема 9(Лиувилля). (6, c.59) Пусть на всей комплексной плоскости функция  является аналитической, а ее модуль равномерно ограничен. Тогда эта функция  тождественно равна постоянной.

Доказательство. Запишем значение производной  в произвольной точке  по формуле (18):

,

причем будем вести по окружности некоторого радиуса  с центром в точке . т.е. . По условию теоремы существует такая константа , что  независимо от . Поэтому

.

Так как радиус  можно выбрать сколь угодно большим, а  не зависит от , то . В силу произвольности выбора точки  заключаем, что  на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что .

3.3 Вывод формулы Коши

Пусть функция  является аналитической в односвязной области , ограниченной контуром . Возьмем произвольную внутреннюю точку  и построим замкнутый контур , целиком лежащий в  и содержащий точку  внутри себя. Рассмотрим вспомогательную функцию

(21)

Функция , очевидно, является аналитической функцией всюду в области , за исключением точки . Поэтому, если мы в области  возьмем такой замкнутый контур , лежащий внутри , чтобы точка  попала внутрь области, ограниченной контуром , то функция  будет аналитической в двухсвязной области , заключенной между контурами  и . Согласно теореме Коши интеграл от функции  по кривой  равен нулю:

Изменив направление интегрирования во втором интеграле, это равенство можно переписать в виде

(22)

Поскольку интеграл, стоящий слева, не зависит от выбора контура  то этим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рассмотрений удобно в качестве контура интегрирования  выбрать окружность некоторого радиуса  с центром в точке  (Рис. 1). Положив ,имеем.

Последний интеграл преобразуем следующим образом:

(23)

Устремим теперь  к нулю. Так как  - аналитическая, а следовательно, непрерывная функция в области , то для любого положительного числа  можно указать такое значение , что  для . Отсюда следует, что при  существует предел

Так как в формуле (23) последнее слагаемое не зависит от  то

, а следовательно  и согласно (22)

(24)

Интеграл, стоящий в правой части, выражает значение аналитической функции  в некоторой точке  через ее значения на любом контуре , лежащем в области аналитичности функции  и содержащем точку  внутри. Этот интеграл и называется интегралом Коши. Формула (24) часто называется формулой Коши.

Замечание 1. В формуле (24) интегрирование производится по замкнутому контуру , целиком лежащему в области аналитичности функции  и содержащему внутри точку . При дополнительном условии непрерывности  в замкнутой области  аналогичная формула имеет место в силу теоремы 6 (стр. 56) и при интегрировании по границе  области .

Замечание 2. Проведенные рассмотрения остаются справедливыми и в случае многосвязной области . При этом для вывода основной формулы (24) следует рассматривать такой замкнутый контур , который может быть стянут к точке , все время оставаясь в области . Тогда легко показать, что при условии непрерывности функции  в замкнутой области  с кусочно-гладкой границей формула (24) остается справедливой при интегрировании в положительном направлении по полной границе  данной многосвязной области.

3.2 Следствия из формулы Коши

Сделаем ряд замечаний по поводу формулы (24).

1. Интеграл вида  по замкнутому контуру  целиком лежащему в области  аналитичности функции , имеет смысл для любого положения точки  на комплексной плоскости при условии, что эта точка не лежит на контуре . При этом, если точка  лежит внутри , то значение интеграла равно ; если точка  лежит вне , значение интеграла равно нулю, поскольку в этом случае подынтегральная функция является аналитической всюду внутри . Итак,

(25)

При  интеграл в обычном смысле не существует, однако при дополнительных требованиях на поведение функции  на контуре  этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если функция  удовлетворяет на контуре  условию Гёльдера*

то существует главное значение по Коши интеграла

где  представляет собой часть контура , лежащего вне круга . При этом

2. Пусть  - аналитическая функция в односвязной области  и  - некоторая внутренняя точка этой области. Опишем из этой точки как из центра окружность радиуса , целиком лежащую в области . Тогда по формуле Коши получим

Но на окружности , поэтому

(26)

Или

 (27)

Эта формула носит название формулы среднего значения и выражает значение аналитической функции в центре окружности как среднее из ее граничных значений.

3. Принцип максимума модуля аналитической функции. Пусть функция  является аналитической в области  и непрерывной в замкнутой области . Тогда или , или максимальные значения  достигаются только на границе области.

Действительная функция двух действительных переменных

по условию является непрерывной в замкнутой области