Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Курсова робота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Зміст

Введення

Розділ 1.Вихідні визначення

§1. Порядкові визначення

§2. Топологічні визначення

Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості

§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи

§3. Порядковий тип

§4. Властивості ординальних чисел

§5. Простір ординальних чисел W( 1) і його властивості

Висновок

Список літератури

ВВЕДЕННЯ

ординарний число упорядкований множина

Ідеї топології були висловлені ще видатними математиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, бере початок від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).

Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії, функціональному аналізі й алгебрі.

Лінійно впорядковані простори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел, поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладу теорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальність обраної теми.

Ціль курсової роботи - дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей.

РОЗДІЛ 1. Вихідні визначення й теореми

§1. ПОРЯДКОВІ ВИЗНАЧЕННЯ.

Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарним відношенням порядку , що:

рефлексивно: а  a;

транзитивне: a  b  c  a  c;

антисиметричне: a  b  a  a = b ( для будь-яких a, b, c X ).

Елементи впорядкованої множини називаються порівнянними, якщо

а < b, a = b або b < a.

Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a  b і a  b.

Визначення 1.2. Упорядкована множина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його два елементи порівнянні.

Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А Х, якщо а А и а  х

(х  а) для будь-якого х А.

Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називається мінімальним (максимальним) елементом множини А Х, якщо в А немає елементів, менших (більших) а, тобто якщо х  а (а  х) для деякого х , те х = а.

Визначення 1.5. Нехай А – непуста підмножина лінійно впорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) гранню множини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.

Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).

Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.

Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А. Позначається sup A.

Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А. Позначається inf A.

Визначення 1.10. Нехай > - лінійно впорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b X, a < b покладемо

(a, b) = {x X: a < x < b}. Такі множини будемо називати інтервалами в Х. Множина (a, b) = { x X : a  x  b} називається відрізком у Х.

Визначення 1.11. Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непуста підмножина має найменший елемент.

Визначення 1.12. Нехай М и М1 – упорядковані множини й нехай f – взаємно однозначне відображення М на М1. Відображення зберігає порядок, якщо з того, що a  b ( a, b M ), треба, що f (a)  f (b) (у М1). Відображення f називається ізоморфізмом упорядкованих множин М и М1, якщо співвідношення f (a)  f (b) виконано в тім і тільки в тому випадку, якщо a  b. При цьому множини М и М1 називаються ізоморфними між собою.

§2. ТОПОЛОГІЧНІ ВИЗНАЧЕННЯ

Визначення 1.13. Топологічним простором називається пара (Х, ), що складається із множини Х и деякого сімейства  підмножин множини Х, що задовольняє наступним умовам:

множина Х и Æ належать  ;

перетинання кінцевого числа множин з  належать ;

об'єднання будь-якого числа множин з  належить .

Умови 1 – 3 називаються аксіомами топологічного простору, його елементи – крапками простору. Підмножини множини Х, що належать сімейству , називаються відкритими в Х. Сімейство  відкритих підмножин простору Х називається також топологією на Х.

Визначення 1.14. Замкнутою множиною називається множина, що є доповненням до відкритого.

Визначення 1.15. Околицею крапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, що містить х.

Визначення 1.16. Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриття відкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.

Визначення 1.17. Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х має непусте перетинання.

Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ((5)).

Визначення 1.18. Простір Х називається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якої компактно.

Визначення 1.19. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового відкритого покриття простору Х можна вибрати кінцеве підпокриття.

Визначення 1.20. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо кожне його нескінченна підмножина містить хоча б одну граничну крапку.

Визначення 1.19 і 1.20 рівносильні ((5)).

Визначення 1.21. Простір  називається компактификацією топологічного простору Х, якщо:

1)  компактно;

2) Х – підпростір ;

3) Х щільно в.

Визначення 1.22. Топологічний простір Х називається Т 1-простором, якщо для кожної пари різних крапок х1, х2 існує відкрита множина , таке, що х1 і х2 .

Визначення 1.23. Якщо будь-які дві різні крапки х и в топологічного простору Х мають непересічні околиці, то простір Х називається хаусдорфовим простором або Т 2-простором.

Визначення 1.24. Топологічний простір Х називається регулярним простором, або Т 3-простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого  й кожного замкнутої множини , такого, що , існують відкриті множини U1 і U2, такі, що 1, 2 і U1 U2 = Æ.

Визначення 1.25. Топологічний простір Х називається тихоновським простором, або Т3 - простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого  й будь-якого замкнутої множини , такого, що , існує безперервна функція f: , така, що f(x)=0 і f(y)=1 для .

Визначення 1.26. Топологічний простір Х називається нормальним, або Т 4-простором, якщо для кожної пари непересічних замкнутих множин А и В існують непересічні відкриті множини U і V такі, що А U, B V.

РОЗДІЛ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. ЦІЛКОМ УПОРЯДКОВАНІ МНОЖИНИ І ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ

Розглянемо цілком упорядковані множини і їхні властивості.

Пропозиція 1.1. Усяка підмножина цілком упорядкованої множини саме є цілком упорядкована множина (очевидно).

Пропозиція 1.2. Якщо f – ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в себе, то для будь-якого елемента х А виконується нерівність f (x) x. (1)

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в А є елементи х, не задовольняючій нерівності (1). Тоді серед цих елементів є найменший, тому що А є цілком упорядкованим. Позначимо його через х1 : f (x1)

Таким чином, одержали наступні нерівності: х0 < x1 і f (x0) < x0 . Ці нерівності суперечать визначенню елемента х1, як найменшого з елементів х множини А, не задовольняючій умові f (x) < x. :

Визначення 2.1. Початковим відрізком, що відтинається елементом а А від лінійно впорядкованої множини А, називається множина Аа = {x | x  A, x < a}.

Пропозиція 1.3. Нехай А’ – довільна підмножина цілком упорядкованої множини А. Тоді множина А не ізоморфно ніякому відрізку множини А’.

Доказ:

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що існує ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в деякий відрізок Ах’ підмножини А’ А. Тоді f (x)  Ax’. Отже, f (x) < x – протиріччя із пропозицією 1.2. ■

Наслідок 1.4. Два різних відрізки цілком упорядкованої множини не можуть бути ізоморфні між собою.

Доказ.

Нехай Ах і Агов – два різних відрізки цілком упорядкованої множини А. Тому що Ах і Агов різні, а множина А – цілком упорядкована, те х и в порівнянні, при цьому х в. Нехай для визначеності x < y. Тоді Ах – відрізок множини Агов і за пропозицією 1.3 Ах і Агов не можуть бути ізоморфними. :

Пропозиція 1.5. Існує не більше одного ізоморфізму однієї цілком упорядкованої множини на інше.

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що f і g – два різних ізоморфізми цілком упорядкованої множини А на цілком упорядковану множину В. Тому що f і g різні, то існує а А: b = f (a)  b’ = g (a). Нехай для визначеності b < b’. При всякому ізоморфізмі f множини А на множину У відрізок Ах  А переходить у відрізок Ву  В, де в = f (х). Тому відрізок Аа А подібний до відрізків

Вb  У и Вb’  B, тобто Bb ізоморфний Aa і Аа ізоморфний Вb’. Отже, відрізок Вb ізоморфний відрізку Bb’ , але це суперечить наслідку 1.4. ■

Визначення 2.2. Якщо для елемента а  А існує елемент а' =

= inf {x | a < x, x  A}, те а' називається безпосередньо наступним за а.

Пропозиція 1.6. Якщо А – цілком упорядкована множина, то в кожного елемента множини А, крім найбільшого, є безпосередньо наступний за ним елемент.

Доказ.

Візьмемо деякий елемент а А, нехай а не є найбільшим елементом. Розглянемо множину {x | x  A, x > а}. За пропозицією 1.1 воно має найменший елемент а', що є точною нижньою гранню розглянутої множини. Отже, а' треба за а. :

§2. КІНЦЕВІ ЛАНЦЮГИ І ЇХНІ ПОРЯДКОВІ ТИПИ

Пропозиція 2.1. Множина з n елементів можна лінійно впорядкувати n! способами.

Доказ.

Для доказу досить застосувати формулу числа перестановок для n-елементної множини: Рn=n! :

Пропозиція 2.2. Будь-яке кінцеве лінійно впорядкована множина є цілком упорядкованою множиною.

Доказ.

Нехай є множина А – кінцеве лінійно впорядкована множина. Треба довести, що А є цілком упорядкованим, тобто будь-яку його підмножину має найменший елемент. Розглянемо довільну множину В, що є підмножиною множини А. Припустимо, що воно не має найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В. Позначимо його через b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то в ньому є елемент b2, такий, що b2 < b1. Елемент b2 не є найменшим елементом в В, тому є елемент b3 B, причому bn+1 < bn.

Таким чином, одержали нескінченну множину {b1, b2, . . . ,bn, . . } , але це суперечить тому, що В – підмножину кінцевої множини А и, отже, саме є кінцевим. :

Пропозиція 2.3. Будь-які два кінцеві ланцюги, що складаються з n елементів, ізоморфні.

Доказ.

нехай є два кінцеві ланцюги з n елементів:

a1 < a2 <…

b1

Для кожного аi покладемо f (ai) = bi. Очевидно, що відображення f є ізоморфізмом. :

Зауваження: нескінченні лінійно впорядковані множини однакової потужності можуть і не бути ізоморфними. Наприклад, множина натуральних чисел і множина цілих чисел із природними порядками. Потужності цих множин рівні, але вони не є ізоморфними, тому що в N є найменший елемент, а в Z найменшого елемента немає.

Визначення 2.3. Порядковим типом лінійно впорядкованої множини А називається клас всіх лінійно впорядкованих множин, ізоморфних множині А.

Будемо вважати, що порядковий тип порожньої множини є 0.

Позначимо через n порядковий тип n - елементної множини

Nn = {0, 1, 2,…,n-1}с порядком 0 < 1 < 2 <...< n-1.

§3. ПОРЯДКОВИЙ ТИП

Визначення 2.4. Множина натуральних чисел із природним порядком і всі ізоморфні йому лінійно впорядковані множини називаються множинами порядкового типу .

Пропозиція 3.1. Нескінченне лінійно впорядкована множина А має порядковий тип  тоді й тільки тоді, коли воно задовольняє наступним умовам:

у множині А є найменший елемент a0;

для будь-якого а А існує точна нижня грань а' у множині {x | a < x, x  A};

3) для будь-якої підмножини Х множини А з того, що а0 Х и Х

містить разом з кожним своїм елементом безпосередньо наступний за ним елемент, треба, що Х = А.

Доказ.

 Нехай лінійно впорядкована множина А задовольняє умовам 1)- 3). Доведемо, що А має порядковий тип , тобто А ізоморфно множині N.

З умови (1) треба існування в множині А найменшому елементі а0.

Розглянемо відображення f: N  A, задане в такий спосіб: f (0) = a0,

f (n + 1) = (f (n))’, де n = 0, 1, 2,…Існування (f (n))’ для кожного n забезпечується умовою (2). Тоді внаслідок умови (3) f(N)=A. Таким чином, f інвективне й сюрективне, отже, взаємно однозначно.  Доведемо, що f зберігає порядок: візьмемо n, m  N, нехай для визначеності n < m . З умови (2) треба, що f (n) < (f (n))’  f (m),

тобто f (n) < f (m). Отже, f зберігає порядок.

Таким чином, f – взаємно однозначне відображення N  A, що зберігає порядок. Отже, множина А має порядковий тип .

 Нехай є нескінченне лінійно впорядкована множина А, що має порядковий тип . Множина N задовольняє умовам 1) – 3), а множина А ізоморфно йому, тому й множина А задовольняє умовам 1) – 3). :

Визначення 2.5. Порядковим типом * називається клас лінійно впорядкованих множин, еквівалентних множині N із двоїстим порядком: 1 > 2 > 3 >…

Пропозиція 3.2. упорядкована множина є цілком упорядкованим тоді й тільки тоді, коли воно не містить підмножину типу *.

Доказ.

 Припустимо, що цілком упорядкована множина А містить підмножину Х типу *. Тоді в Х немає найменшого елемента, що суперечить цілком упорядкованості множини А. Отже, в А немає підмножин типу *.

 Нехай множина А не містить підмножина типу *. Доведемо, що А є цілком упорядкованою множиною. Припустимо, що це не так, тобто А містить підмножина В, у якому немає найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В, позначимо його b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то існує елемент b2 , для якого b2 < b1. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного n N елемент bn+1  B, причому:

bn+1 < bn.

Одержали множину {b1, b2, … , bn, ... . .} яке є підмножиною множини А и має тип * - протиріччя. :

§4. ВЛАСТИВОСТІ ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Про ізоморфні між собою лінійно впорядковані множини ми будемо говорити, що вони мають той самий порядковий тип.

Із часів Кантора порядкові типи цілком упорядкованих множин називаються порядковими або ординальними числами (ординалами). Порядкові типи нескінченних цілком упорядкованих множин називаються трансфинитными числами (трансфинитами).

Визначення 2.6. Порядкове число  менше порядкового числа  ( ), якщо яке-небудь цілком упорядкована множина типу  ізоморфно деякому відрізку якого-небудь цілком упорядкованої множини типу .

Нехай  - деяке ординальне число. Позначимо W( ) – множина всіх ординальних чисел, менших .

Теорема 4.1. Відношення  < , установлене для ординальних чисел, перетворює множина W( ) всіх ординальних чисел, менших даного ординального числа , у цілком упорядковану множину типу .

Доказ.

З визначення 2.6 треба, що множина W ( ) перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною всіх відрізків Ах довільно обраної множини А типу ; тому що відрізки Ах взаємно однозначно відповідають елементам х  А, те маємо взаємно однозначна відповідність  = f (х), х  А,  W( ) між множиною W( ) і множиною А типу . При цьому відповідності з х < x’ в А треба, що Ах є відрізок множини Ах’ , виходить,  = f (x) <  = f (x’) в W ( ), і обернено. :

Визначення 2.7. Пари (А, В) непустих підмножин лінійно впорядкованої множини Х називається перетином множини Х, якщо:

А  В = Х;

2) А  В = Æ;

3) для будь-яких х  А и в  У виконується нерівність х < в.

Теорема 4.2. Для будь-яких двох ординальних чисел  і  завжди здійснюється одне й тільки одне із трьох випадків: або  < , або  = , або  > .

Доказ.

Нехай дані два ординальних числа  й . З визначення 2.6 і пропозиції 1.4 треба, що  й  можуть задовольняти не більш, ніж одному із трьох відносин:  = ,  < ,  > .

Позначимо через D множина W ( )  W ( ). Ця множина є цілком упорядкованим. Позначимо його порядковий тип через . Доведемо нерівності , . Досить довести одне з них. Доведемо, наприклад, перше. Маємо D  W ( ). Якщо D = W ( ), тобто  порядковий тип множини W ( ), тобто  = . Нехай D  W ( ). Розбивка W ( ) = D (W( )\D) є перетин у цілком упорядкованій множині W ( ). Справді, нехай х  D, в  W ( )\D. Тому що W ( ) лінійно впорядковане, те або х < y, або в < х. Покажемо, що другий випадок неможливий. Дійсно, тому що х W ( ), х W ( ), те одночасно х <  і х < . Якби було в < х, то було б в < , в < , тобто в  D. Отже, доведено, що х < у для будь-яких х  D, в  W ( )\D, а це й означає, що (D, W ( )\D) є перетин в W ( ). Нехай  <  є перший елемент в W ( )\D. Тоді відрізок, що відтинається в W ( ) елементом , збігається з D, тобто  є порядковий тип множини D,  =  і  < .

Аналогічно доводиться, що .

Однак, нерівності  <  і  <  не можуть бути виконані одночасно, тому що в цьому випадку ми мали б D, так що  було б типом відрізка множини D і не могло б бути типом усього D.

Таким чином, є лише наступні можливості:

1)  = ,  =  і, виходить,  = ;

2)  = ,  =  і, виходить,  < ;

3)  < ,  =  і, виходить,  < . :

Теорема 4.3. Будь-яка множина А, що складається з ординальних чисел, цілком упорядковано.

Доказ.

Лінійна впорядкованість множини А треба з теореми 4.2. Залишається довести, що будь-яка непуста множина A’  А має найменший елемент.

Візьмемо який-небудь елемент а'  A’. Якщо а' – найменший із чисел

х  А’, те все доведено. Якщо ж ні, то перетинання W (a’)  A’ непорожньо й, будучи підмножиною цілком упорядкованої множини W (a’), містить перший елемент а. Ординальне число а і є найменшим елементом в A’. :

Визначення 2.8. Нехай є дві впорядкованих множини А и В, що не мають загальних елементів. Розглянемо множину А В, що складається із всіх елементів а А и b B. Перетворимо множину А В у впорядкована множина А+В, увівши в нього порядок у такий спосіб: якщо а А, b В, те покладемо a і  є порядкові типи множин А и В, то порядковий тип множини А+У називається сумою + порядкових типів  і .

Теорема 4.4. Нехай  - яке-небудь ординальне число. Тоді +1 є ординальне число, що безпосередньо випливає за .

Доказ.

Нехай А – яке-небудь цілком упорядкована множина типу . По визначенню додавання порядкових типів множина А’ типу +1 одержимо, якщо приєднаємо до А новий елемент а', що випливає за всіма елементами а А. Тоді A = A’a’, тобто  < +1.

Усяке ординальне число ’< +1 є типом деякого відрізка Аx’ множини A’. Але якщо х = а', те Аx’ = A’a’ = A і ’ = ; якщо ж x = a < a’, те Ax’ = Aa і ’ < . :

Теорема 4.5. Нехай А и В – цілком упорядковані множини. Нехай  і  - їхні порядкові типи. Якщо А  В, то .

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що  < . Тоді множина В ізоморфно відрізку своєї підмножини А, а це суперечить пропозиції 1.3. ■

Теорема 4.6. Сума будь-яких ординальних чисел х (даних у будь-якому порядку) є ординальне число , не менше, чим кожне з даних що складаються х .

Доказ.

Нехай дане деяке ординальне число  й кожному  <  поставлене у відповідність ординальне число х . Нехай  - сума по типі  всіх ординальних чисел х ; позначимо її через  = .

Якщо Х - яка-небудь множина, упорядкована по типі х , то сума цілком упорядкованого (по типі W ( )) множини множин Х є цілком упорядковану множину Х, типом якого є . Тому що множина Х містить як своя підмножина кожне із множин Х , то на підставі теореми 4.5 для будь-якого х маємо х.:

Теорема 4.7. Для будь-якої множини ординальних чисел можна побудувати ординальне число, більше кожного із чисел цієї множини.

Доказ.

Нехай є множина ординальних чисел Х. На підставі теореми 4.6 сума всіх елементів х множини Х є ординальне число, більше, ніж кожне з даних х