Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Cлучаи c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они "появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность поля и потенциала;

- ρ = ± ∞ - как записать уравнение Пуассона?

- поле точечного заряда ( $\vec{E}=q/4\pi\varepsilon_0\cdot \vec{r}/r^3$ ): пытаемся посчитать div, а получается ноль - где же заряд?

- невозможность наличия каких-либо диэлектриков: если $|\vec{E}|=\infty$ , то любой диэлектрик пробивается.

Преодолеть математическую часть описанных сложностей можно путем записи ρ через δ-функцию. В частности,

ρ(x, y, z)	=	$q\cdot\delta(\vec{r} '-\vec{r}_0 ') - {\rm точечный} {\rm заряд} {\rm в} {\rm точке} \vec{r}_0 '$	(20)
ρ(x, y, z)	=	λ(z)·δ(x)δ(y) –бесконечная нить по оси z (заряд λ(z))
ρ(x, y, z)	=	σ(y, z)·δ(x) –бесконечная плоскость yz (заряд σ(y, z))

Мы не будем применять такой подход. Вместо этого, мы далее считаем ρ конечной величиной, в то время как заряженные бесконечно тонкие поверхности, нити и точечные заряды рассматриваем отдельно.

Смежная проблема: бесконечный суммарный заряд и - как следствие - некорректное поведение потенциала на ∞. Такое происходит в декартовой системе при ρ = ρ(x) и в цилиндрической (ρ = ρ(r)). В реальной задаче этого быть не может, т.к. есть ограничение и по другим координатам. В учебных примерах либо должно быть обеспечен нулевой суммарный заряд $q_{total} = \int\rho(x){\rm d}x = 0$ ( $\int\rho(r)r{\rm d}r = 0$ ), или же, понимая некорректность ситуации, необходимо задать φ = 0 в какой-либо точке не на бесконечности. Примером такой задачи является нахождение потенциала равномерно заряженного цилиндра.

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.