Численное интегрирование функций

Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.

При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида

. (1)

Если функция непрерывна на отрезке (a, ) и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f(x) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.

Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f(x_i) = y_i в некоторых узлах x_i Î(a, ). Затем выбирается интерполяционный многочлен P(x), проходящий через полученные точки (x_i, y_i), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

, (2)

где - узлы интерполирования, A_i – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.

Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х),осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R, характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.

1. Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)

(5)

(6)

Формула трапеции:

Формула Симпсона

где m=n/2

h=b-a/n

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок (0, ) на 6 равных отрезков:

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

2. Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования (a, b) на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х₀= а, х₁= a + h, ..., x_n= b отметим ординаты y₀, y₁,…, y_n кривой f(x), т.е. вычислим у_i= f(x_i), x_i= a+ ih = x_i_-1+ h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и y_i, где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:

. (3)

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f(x) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h, что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

. (4)

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f(x), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

. (5)

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Рис. 1

Рис. 2

Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале (x_i_-1, x_i) длины h точки с координатами (x_i_-1, y_i_-1) и (x_i, y_i) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h(y_i_-1+ y_i). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла:

. (6)

Рис. 3.

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2 равных частей длиной . На каждом отрезке (x_i, x_i+2) подынтегральную функцию f(х) заменим параболой, проходящей через точки (x_i, y_i), (x_i₊₁, y_i₊₁), (x_i₊₂, y_i₊₂). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:

. (7)

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:

где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3. При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:

Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.

3. Автоматический выбор шага интегрирования

В результате расчета по формулам (3) - (8) получают приближенное значение интеграла, которое может отличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования. Ошибка определяется формулой остаточного члена R, различной для каждого из методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h, чтобы выполнялось неравенство R(h) £ e. На практике используют автоматический выбор значения h, обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значение интеграла I(), разбивая интервал интегрирования на п участков, затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I(2). Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие:

где P – порядок точности квадратурной формулы. Для формул левых и правых прямоугольников P = 1, для формул центральных прямоугольников и трапеций P = 2, для формул Симпсона и Ньютона P = 4. В результате полагают, что I » I(2) с точностью e.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как численное интегрирование.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Библиографический список

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. 659 с.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

3. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1998. 383 с.

4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

Размещено на http://www.