Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Основные понятия

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Формула конечных приращений

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Дифференцируемые функционалы

Абстрактные функции

Интеграл

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора

Заключение1

Список литературы:

Введение

Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.

Определение 1. Непустое множество  называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Й. Для любых двух элементов  однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

В  существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа  и любого элемента  определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение 2. Линейное пространство  называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

для любого  и любого числа ;

для любых  (неравенство треугольника).

Определение 3. Оператором называется отображение

,

где - это линейные пространства.

Определение 4. Оператор  называется линейным, если для любых элементов  и любых чисел R выполняется равенство:

Определение 5. Пусть  - линейные нормированные пространства,

 – линейный оператор,

Линейный оператор непрерывен в точке, если из того, что

 следует, что .

Определение 6. Линейный оператор  непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется

Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора

Пусть X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке, если существует такой ограниченный линейный оператор L_xж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство

|| F(x + h)-F(x)-L_xh ||<е||h|| (1)

То же самое сокращенно записывают так:

А(ч + р)-А(ч)-Д_чр = щ(р)ю(2)

Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение L_xh (представляющее собой, очевидно, при каждом hX элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Сам линейный оператор L_xназывается производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F'(x).

Если отображение F дифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство

||L₁h — L₂h|| = o(h) для операторов

L_iж (X, У), i = 1, 2,

возможно, лишь если L₁= L₂.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.

Если F(x) = y₀ = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х)

в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения L есть само это отображение:

L '(x)=L(3)

Действительно, по определению имеем

L(x + h)-L(x) = L(h).

3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х₀Х, F — отображение этой окрестности в У, у₀ = F(x₀), V(y_o) — окрестность точки у₀У и G — отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке х_о, a G дифференцируемо в точке у_о, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х₀) дифференцируемо в точке х_о и

H' (x₀)=G' (y₀)F' (x₀) (4)

Действительно, в силу сделанных предположений

А(ч₀ +о) = А(ч₀) + Аэ (ч₀) о +о₁ (о ) и

G (у_о + з) = G (у_о) + G' (у_о) з + о₂ (з).

НоF'(x₀) иG'(y_o) — ограниченные линейные операторы. Поэтому

H (х₀ + о) = G (у_о + F' (x₀) о + о₁ о ) = G (у_о) + G' (у₀) (F' (х₀) о + +о₁ о)) +

+о₂ (F' (x₀) о + о₁ (о )) = G (у₀) + G' (уо) F' (х₀) о + о₃ (о).

Если F, G и Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть F и G — два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если F и G дифференцируемы в точке х₀, то и отображения F + G и aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем

(F + G)'(х₀) = F'(х₀) + G'(х₀) (5)

(aF)'(x₀) = aF'(x₀).(6)

Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что

(F+G)(x₀ + h) = F(x₀ + h) + G(x₀ + h) = F (х₀) + G (х₀) + F' (х₀) h +

+G' (х₀) h + o₁ (h) и

aF (x₀ + h) = aF (x₀) + aF' (x₀) h + o₂ (h),

откуда следуют равенства (5) и (6).

Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Пусть снова F есть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения F в точке х (при приращении h) называется предел

DF(x,h)=_t=0=,

где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения F в точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейность имеет место, т. е. если

DF (х, h) = F'_c (х) h,

где F'_c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.

Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок (х₀, х) целиком содержится в О. Пусть, наконец, F есть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'_c в каждой точке отрезка (х₀, x). Положив Дх = х — х_о и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию

f(t) = (F(x₀+t Дх)),

определенную при .Эта функция дифференцируема по t. Действительно, в выражении

можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала. В результате получаем

F'(t) =  (F'_c(x₀+tДx) Дx)

Применив к функции f на отрезке (0, 1) формулу конечных приращений, получим

f(l) = f(0) + f'(и), где 0< и <1,

(F(x)-F(x₀))= ( F'_c(x₀+ и Дx) Дx)(7)

Это равенство имеет место для любого функционала У* (величина и зависит, разумеется, от). Из (7) получаем

|(F(x)-F(x₀))||| F'_c(x₀+ и Дx)|| || Дx|| (8)

Выберем теперь ненулевой функционал  так, что

 (F (х) - F (х₀)) = F(х) - F (хо) ||

(такой функционал  существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем

||(F (х) - F (x)||  F'_c(x₀+ и Дx)||  ||Дx|| (Дx=x-x₀) (9)

Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению

х —Ю А (х) — Аэс (х_о) Дч

получим следующее неравенство:

||F(x-F(х_о)-F'c(х_о) Дx F'_c(x_o+иДx) -F'_c(x₀)|||| Дx (10)

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции

f(x) = f(x_1,…,x_n)

при n 2 из существования производной

при любом фиксированном h = (f_1,...,f_n) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных

(11)

Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку

Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h₂=h₁², то

Однако если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем

А(ч + ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и

Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения F следует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'_c (х) отображения F существует в некоторой окрестности U точки х₀ и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x₀, то в точке x₀ сильная производная F'(x₀) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:

|| F'_c(x_o + h)-F'_c(x_o) || е

Применив к отображению F формулу (10), получим:

F(x₀ + h)-F (х_о) - F'_c(х_о) h ||  ||F'_c(x_o+ иh)- F'_c(x_o)||

||h|| е||h||

Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F'(x_о), так и ее совпадение со слабой производной.

Дифференцируемые функционалы

Мы ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У — числовая прямая, то F — принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала F в точке х₀ есть линейный функционал (зависящий от х₀), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||². Тогда

||x + h||²-||x||² = 2(x, h) + || h ||²;

величина 2(x,h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,

F' (x) = F'_c(x) = 2х.

Абстрактные функции

Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.

Интеграл

Пусть F — абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в банаховом пространстве У. Если F задана на отрезке (а, b), то можно определить интеграл функции F по отрезку (а,b). Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм

,

отвечающих разбиениям

ф = е₀Бе₁Б ююю Бе_т = иб о_лхе_лбе_л+1ъб

при условии, что max(t_k+1-t_k) 0. Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент из Y) обозначается символом

Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.

Производные высших порядков

Пусть F — дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x) при каждом xX есть элемент из о (X, У), т. е. F' есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения F и обозначается символом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства о (Х, о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых из X и любых чисел имеют место равенства:

В (x₁ + х₂, ) =В (,)+В (х₂, ),

В (x₁, +) = В (,)+В(x_1,);

2. существует такое положительное число М, что

||В(х, х') || M||x||||x’|| (17)

при всех х, х' X.

Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х², У). При полноте У полно и В(Х², У).

Каждому элементу А из пространства о(Х,о(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х², У), положив

В(х, х') = (Ах)х'.(18)

Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство о(X,о(Х,У)) на все пространство B(X²,Y). Действительно, если у=В(х, х') = (Ах)х', то

||y||||Ax||||x’||||A||||x||||x’||,

откуда

||B||||A||(19)

С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном xXотображение

х'→ (Ах)х' = В(х, х')

есть линейное отображение пространства X в У.

Таким образом, каждому xX ставится в соответствие элемент Ах пространства о(X, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства о(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и

||Ах||=  ||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B|| ||x||,

Откуда

||A||||B||(20)

Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X²,Y) и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства о(Х, о(Х, У)) есть все В(Х², У).

Мы выяснили, что вторая производная F"(x) есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать F"(x) элементом пространства В(Х², Y).

Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения F, действующего из X в Y, определив п-ю производную как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства о(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Х^п, У) n-линейных отображений X в У.

При этом под n-линейным отображением понимается такое соответствие y=N(x', х", ..., x⁽ⁿ⁾) между упорядоченными системами (х', х", .. . , x⁽ⁿ⁾) элементов из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хⁱ при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию

|| N (x', х", ..., x⁽ⁿ⁾) ||М || х' || • || х" || ... || x⁽ⁿ⁾ ||.

Таким образом, п-ю производную отображения F можно считать, элементом пространства N(Xⁿ,У).

Дифференциалы высших порядков

Мы определили (сильный) дифференциал отображения F как результат применения к элементу hХ линейного оператора F'(x), т. е.

dF = F'(x)h

Дифференциал второго порядка определяется как

d²F = F" (х) (h, h),

т. е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению

F''(х) В(X², У)

Аналогично дифференциалом п-го порядка называется

dⁿF=F⁽ⁿ⁾(x)(h, h,   h),

т. е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h)  переводится отображением ^F(n)(x).

Формула Тейлора

Сильная дифференцируемость отображения F означает, что разность

F(x+h)—F(x)

может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.

Теорема 2. Пусть F — отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области ОX и такое, что F⁽ⁿ⁾(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство

f(x + h)-F(x) = F'(x)h + F"(x)(h, h)+ ...

... +F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)

где

Доказательство будем вести по индукции. При n = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное n и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой n на n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых n заменено на п-1. Тогда для отображения F' имеем

F'(x + h) = F'(x) + F"(x)h + F"'(x)(h,h) + ...

… +  F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + щ₁ (х, h), (22)

где

||щ₁ (х, h)|| = o(||h||^n-1)

Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку (х, x+h) и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим

, (21)

Где

.

из (23) получаем

А(ч+ р)-А (х)= Аэ(ч)р + АЭ(ч)(рбр)+ ююю

…+F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + R_n, причем

||R_n||

Тем самым наше утверждение доказано.

Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.

Заключение

В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.

Некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер; они приводят к необходимости развивать наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный анализ, т.е изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах.

К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIII вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.

2. Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве. Ярославль, 1978. – 118стр.

3. Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,Наука, 1972. – 424стр.