Использование обобщений при обучении математике в средней школе

Обобщение как метод научного познания в обучении математике

Методические особенности использования обобщений в изучении теоретического материала

Обобщение определений математических понятий и теорем

Подведение под понятие

Расширенные определения понятий

Расширенные теоремы-свойства понятий

Роль расширенных определений и теорем в процессе обучения

Возможные обобщения теоремы

Обобщения при решении задач на уроках математики

Обобщение в преподавании математики

Взаимосвязь обобщения и анализа

Обобщение как пример варьирования при поиске решения задач

Структурное представление технологии формирования обобщенного подхода к решению математических задач

Обобщение как эвристический прием решения нестандартных задач

Урок обобщения и систематизации знаний

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что математика оперирует определенными «идеальными» объектами. Однако все эти математические объекты отражают свойства материальных предметов и законы материального мира; их идеальный характер означает просто отвлечение от несущественных в момент рассмотрения свойств материальных вещей, благодаря чему исследуемые свойства выступают в наиболее общем и чистом виде. Поэтому все математические понятия и положения представляют собой знание наиболее глубоких и общих свойств реальной действительности.

В процессе познания законов природы математик пользуется особыми математическими средствами, научными методами исследования. В процессе обучения учащиеся также ставятся в положение первооткрывателей математических истин (самостоятельно или с помощью учителя) и поэтому научные методы математического исследования в то же время служат и методами учебной работы учащихся.

Основными методами математического исследования являются:

1) наблюдение и опыт;

2) сравнение;

3) анализ и синтез;

4) обобщение и специализация;

5) абстрагирование и конкретизация.

В данной курсовой работе будет изучен такой метод математического исследования, как обобщение, и выявлено его место и значение в преподавании, так как процесс изучения математики в школе неотделим от процесса ее преподавания.

ОБОБЩЕНИЕ КАК МЕТОД НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ.

Г.И. Саранцев по характеру учебно-познавательной деятельности и организации содержания материала выделяет следующие методы обучения математике:

· индуктивно-репродуктивный (учитель создает такую ситуацию, в которой ученик воспроизводит понятие или теорему в процессе рассмотрения частных случаев. Например, посредством решения задач на выделение ситуаций, удовлетворяющих условию теоремы, или решение задачи (изучение теоремы) осуществляется по плану, предложенному учителем);

· индуктивно-эвристический (метод предполагает самостоятельное открытие фактов в процессе рассмотрения частных случаев. Например, упражнения на умножение степеней с одинаковым основанием приводят к открытию определения произведения степеней с одинаковыми основаниями);

· индуктивно-исследовательский (метод заключается в проведении исследований различных феноменов посредством изучения их конкретных проявлений. Например, изучая свойства четырехугольников в зависимости от наличия у них осей симметрии, приходим к таким видам четырехугольника, как прямоугольник, ромб, квадрат);

· дедуктивно-репродуктивный (метод предполагает воспроизведение частных случаев в процессе решения задач, где используется общее положение. Например, теорема о сумме смежных углов воспроизводится посредством решения задач на нахождение одного из смежных углов, если задан другой);

· дедуктивно-эвристический (метод заключается в открытии частностей какого-либо факта при рассмотрении общего случая. Примером проявления этого метода может служить решение любой конкретной задачи на применение какой-либо теоремы);

· дедуктивно-исследовательский (Сутью этого метода обучения является организация исследований посредством дедуктивного развития учебного материала. Например, аксиоматический метод, метод моделирования, решение задач на применение теорем);

· обобщенно-репродуктивный (цель достигается путем воспроизведения изученных фактов. Например, усвоение векторного метода предполагает овладение действиями перевода геометрического языка на векторный и обратно, сложения и вычитания векторов, представления вектора в виде суммы, разности векторов и т. п.);

· обобщенно-эвристический (метод предполагает создание учителем такой ситуации, в которой ученик самостоятельно (или с небольшой помощью учителя) приходит к обобщению. Например, измеряя стороны и углы произвольных треугольников, ученики могут открыть следующую зависимость между углами и сторонами треугольника: против большей стороны треугольника лежит больший угол и наоборот);

· обобщенно-исследовательский (метод предполагает наличие в учебном материале ситуаций, исследование которых приводит к обобщенному знанию. Например, рассматривая различные случаи расположения вписанных в окружность углов, можно прийти к известной теореме о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБОБЩЕНИЙ В ИЗУЧЕНИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Обобщение определений математических понятий и теорем

Подведение под понятие

Важной особенностью математики как дедуктивной системы является то, что все понятия, за исключением основных, вводятся посредством определений. В определениях указываются некоторые специфические свойства понятий, называемые часто их признаками, по которым можно определить, принадлежит ли данный объект или отношение к объему этого понятия. Остальные свойства определяемых понятий устанавливаются в рассматриваемых о них теоремах. Одни из них дают достаточные условия существования данного понятия, а другие – необходимые условия существования данного понятия. Признаки понятий, выраженные посредством определений и теорем, обычно представляют собой различные простые высказывания, соединенные различными логическими операциями (связками). В каждом определении и в условии каждой теоремы признаки, дающие достаточные условия существования соответственного понятия, связаны связкой «и», т. е. образуют конъюнкцию. По этой причине, чтобы установить, принадлежит ли данный объект (или отношение) множеству объектов (или отношений), составляющих объем соответственного понятия, достаточно показать, что все его признаки имеют место в определении или условии одной из этих теорем. Деятельность, посредством которой доказывается, что определенный объект или отношение принадлежит соответственно множеству объектов или отношений, составляющих объем данного понятия, называется «подведением под понятие». В процессе решения задач почти всегда приходится устанавливать, что определенные объекты или отношения принадлежат объемам соответственных понятий, чтобы было возможно потом применить к ним теоремы, представляющие собой необходимые условия существования этих понятий. Именно этим способом, по известным свойствам данных объектов или отношений устанавливаются их другие, новые свойства.

Расширенные определения понятий

Если о некотором математическом понятии известно одно или больше определений и рассмотрены теоремы, дающие достаточные условия его существования, то отдельные конъюнкции признаков в этих определениях и теоремах образуют дизъюнкцию. Поэтому «подведение под понятие» можно алгоритмизировать. Для этой цели достаточно отдельные конъюнкции признаков в определениях и соответственных теоремах связать между собой в сложном высказывании посредством применения связки «или». Теперь достаточно проверить наличие каждой конъюнкции признаков, пока установится хотя бы одна. Такое сложное высказывание, представляющее собой дизъюнкцию признаков некоторого понятия, выраженных в отдельных определениях и теоремах, дающих достаточные условия существования этого понятия, называют расширенным определением существующего понятия. Так как в процессе обучения сразу не рассматриваются все теоремы, дающие достаточные условия существования соответственных понятий, их расширенные определения усложняются постепенно.

Приведем пример расширенного определения параллелограмма, которое представляет собой определение типа «от рода к виду».

Четырехугольник - параллелограмм , если:

1) и , или

2) и , или

3) и , или

4) и и - точка пересечения диагоналей и .

Короче это расширенное определение можно записать так:

Это высказывание будет истинным в силу закона логики:

Если обозначить через предикат, выражающий свойство четырехугольника «быть параллелограммом», то получим логическую функцию, заданную на множестве , составляющем объем родового понятия «четырехугольник». Каждый из признаков понятия «параллелограмм» можно также рассматривать как логическую функцию, заданную на том же множестве , так как каждым признаком задается свойство определенного подмножества множества .

Если обозначить эти логические функции через , , , , , то определение понятия «параллелограмм» можно записать в виде:

Тогда о произвольном, но фиксированном четырехугольнике получаем высказывание:

которое истинно, если истинна хотя бы одна из составляющих его дизъюнкций. В этом случае и можно утверждать, что произвольный, но фиксированный четырехугольник принадлежит множеству, представляющему объем понятия «параллелограмм».

Все, что было сказано выше об объектах, можно повторить и об отношениях, используя уже двухместные, трехместные и прочие предикаты.

Расширенные теоремы-свойства понятий

До сих пор мы рассмотрели применение теорем, дающих достаточные условия существования соответственных понятий. Рассмотрим теперь теоремы, которые дают необходимые условия существования данного понятия.

Обозначим через предикат «быть параллелограммом », через - множество, на котором определен этот предикат. Каждое необходимое свойство понятия «параллелограмм» можно рассматривать как логическую функцию, заданную на множестве .

Если обозначить эти логические функции через , то расширенную теорему о свойствах параллелограмма можно записать так:

Если произвольный, но фиксированный четырехугольник принадлежит объему понятия «параллелограмм», то в силу закона логики:

мы можем быть уверены, что обладает свойствами .

Аналогичные расширенные определения и расширенные теоремы о свойствах можно поострить и для многих других понятий школьного курса математики (понятия конгруэнтности отрезков, углов, треугольников; параллельности прямых; понятия прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция; параллельность прямой и плоскости, плоскостей; понятие корня квадратного уравнения; возрастающей и убывающей функции и т. д.).

Роль расширенных определений и теорем в процессе обучения

В процессе обучения математике целесообразно как можно чаще применять такие логические конструкции изучаемого материала, как расширенные определения и теоремы.

Чтобы лучше понять расширенных определений и расширенных теорем – свойств в обучении, отметим следующее. В традиционной методике после определения понятия рассматривались обычно весьма случайно отобранные теоремы, среди которых наряду с теоремами-признаками выступали и теоремы-свойства; при этом и те и другие теоремы не представляли собой логически организованной системы. Поэтому, применяя те или иные теоремы к решению задач, лишь немногие учащиеся оказывались способными самостоятельно использовать рассмотренное понятие или относящуюся к нему теорему при решении новых задач или изучении новых теорем.

Конструируя в процессе обучения все более широкие определения некоторого понятия или все более широкие совокупности теорем-свойств, мы тем самым устанавливаем органическую связь между свойствами понятия, отраженными в его определении, и другими свойствами, присущими только этому понятию. Доказав, что данный конкретный объект принадлежит к объему данного понятия, учащиеся актуализируют вои знания об изученном понятии, расширяют объем этих знаний, а значит, и возможности их приложения. Поэтому в процессе изучения понятий, аксиом и теорем рекомендуется сопоставлять вместе с учащимися постоянно дополняющиеся «списки», представляющие расширенные определения важнейших математических понятий или теорем-свойств.

Помимо логической организации изучаемого материала в сознании школьников, отмеченная выше методика работы с понятиями и теоремами делает сам процесс изучения математической теории более организованным и более естественным. Если учитель следует этой методике, его ученики будут ожидать, что после введения и определения нового понятия будут изучаться те его свойства, которые наряду с определение дадут возможности обнаружить это понятие в новой ситуации, а также использовать те свойства этой ситуации, которые имеют место. Если установлено наличие в ней данного понятия. Тем самым изучение теоремы и определения представляются учащимся в единой, взаимосвязанной системе, а не как случайно собранные вместе утверждения.

Возможные обобщения теоремы

Познакомимся с некоторыми способами обобщения, которые будем иллюстрировать утверждениями и задачами.

1. Обобщение по размерности. Известно следующее утверждение:

Если , то для любой точки существуют такие числа и , что

и .

Пользуясь обобщением по размерности, приходим к утверждению:

Если лежит в плоскости , то для любой точки найдутся такие числа , , , что

и .

2. Обобщение путем отбрасывания условий. Данный способ особенно эффективен при решении задач. В частности, он используется тогда, когда не удается решить какую-либо задачу. С этой целью мы отбрасываем какое-либо условие или заменяем его на более слабое, а потом решаем новую задачу:

Доказать, что при выполняется неравенство

Здесь может быть отброшено условие . Тогда, введя функцию при и используя производную, легко устанавливаем, что при .

3. Обобщение на основе рассмотрения частных случаев. Этот метод особенно эффективен в том случае, если желательно угадать ответ. Рассмотрим известный пример:

Найти , если .

Обращаемся к частным случаям:

Это позволяет обобщить утверждение, высказав гипотезу, что , а потом ее и доказать.

4. Обобщение на основе метода доказательства. В ходе поиска решения задачи или доказательства теоремы мы нашли нужный метод. Анализируя метод, выясним, что он может быть использован в более общей ситуации. Это позволяет сформулировать и доказать обобщение утверждения.

Известна задача: Если в параллелограмме соединить середины смежных сторон, то полученный четырехугольник – параллелограмм.

Анализируя метод доказательства, можно получить известное обобщение.

5. Обобщение путем изменения. Анализируя объекты, которые входят в известное утверждение, заменяем их на другие и пытаемся сформулировать и доказать обобщения.

Обратимся к теореме Виета. В условии речь идет о трехчлене . Что можно менять? Это зависит от человека, который пытается обобщать, а точнее, какие объекты он увидит. Дело это творческое, и не существует единого рецепта. Обратимся к записи, где выделена часть объектов, которые могут быть изменены:

Без труда можно сформулировать возможные обобщения.

6. Обобщение как усиление. Этот метод поясняем на примере доказательства неравенства

Введем функцию . Легко убедиться, что при она возрастает и график является выпуклым вниз (рис. 1).

рис. 1

Рассмотрим криволинейную трапецию . Очевидно, что ее площадь может быть вычислена по формуле

Площадь криволинейного треугольника находится по формуле

, или .

Отсюда ясно, что в условии предлагается доказать, что

Так как площадь квадрата равна , то достаточно убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше . Укажем координаты “нужных” точек:

Теперь рассмотрим точку . Пользуясь выпуклостью вниз графика функции , легко убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше площади треугольника . Докажем неравенство (это больше, чем нам нужно):

Отсюда и получаем требуемое неравенство.

7. Обобщение на основе соединения. При данном способе обобщения новые утверждения получаются путем рассмотрения свойств объектов из разных тем (отметим, что этот метод отражен в названии наук – биофизика, биохимия, математическая биология и др.).

Известны следующие утверждения:

1. а) Если и - корни трехчлена , то .

б) Если и - любые числа, а , , то и - корни уравнения .

2. Пусть - точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности с гипотенузой и , (рис. 2). Доказать, что площадь треугольника равна .

рис. 2

Соединяя эти утверждения, можем сформулировать следующие задания:

Если и - отрезки, на которые точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, разбивает гипотенузу, то:

а) ;

б);

в) ,

где - гипотенуза, а - площадь треугольника.

ОБОБЩЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Обобщение в преподавании математики

При обобщении мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.

Так, например, изучение формулы -го члена арифметической прогрессии начинается с рассмотрения конкретных примеров на вычисление различных членов арифметической прогрессии по заданным первому ее члену и разности.

При проведении этих вычислений учащиеся используют равенства:

a₂ = a₁ + d,

a₃= a₂+ d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d,

a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d и т. д.

Естественно, возникает полезное обобщение эти равенств в одной формуле a_n = a₁ + d( – 1), с помощью которой устанавливается более короткий способ для вычисления любого члена арифметической прогрессии.

В дальнейшем эта формула получает новое обобщение, когда устанавливается, что любая арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента:

y = kx + , где xN.

Можно сказать, что обобщение выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащего данное.

Так, например, мы обобщаем, когда переходим от рассмотрения множества натуральных чисел к множеству дробных положительных чисел.

К обобщению могут привести: а) замена некоторой постоянной объекта переменной (треугольник многоугольник); б) отказ от ограничения, наложенного на объект изучения D (D – множество действительных чисел).

Обобщение есть переход от рассмотрения единственного объекта к рассмотрению некоторого множества, содержащего этот объект в качестве своего элемента, или переход от менее емкого множества к более емкому, содержащему первоначальное.

1. Если случайно мы встречаем сумму

мы можем подметить, что ее можно записать в любопытной форме:

Естественно возникает вопрос: часто ли сумма кубов последовательных чисел, т.е.

оказывается полным квадратом? Задавая этот вопрос, мы обобщаем.

Наше обобщение очень удачно: оно приводит нас от одного наблюденного факта к замечательному общему закону. Многие результаты в математике, физике и других естественных науках были найдены в результате удачного обобщения.

2. Обобщение часто может помочь решить задачу. Рассмотрим следующую стереометрическую задачу:

«Правильный октаэдр и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую октаэдр на две равновеликие части». Задача эта может показаться сложной; однако достаточно небольшого знакомства с формой правильного октаэдра, чтобы прийти к следующему обобщению:

«Замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость, конечно, проходит через центр симметрии поверхности и определяется этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается решенной.

Конечно, нельзя не заметить, что вторая задача была более общей, чем первая, и, тем не менее, она оказалась проще. Нашим главным достижением при решении первой задачи было то, что мы придумали вторую задачу. Придумав вторую задачу, мы выяснили роль центра симметрии; мы выделили то свойство октаэдра, которое является существенным в данной задаче, именно – наличие у него центра симметрии.

Более общая задача может оказаться проще. Это звучит парадоксально; однако рассмотренный пример убеждает нас в истинности этого утверждения. Главное достижение при решении частной задачи состояло в том, что мы придумали общую задачу. После этого нам осталось совсем немного работы, чтобы довести задачу до конца.

Итак, в рассматриваем случае решение общей задачи явилось лишь общей частью решения частной задачи.

3. «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна м, сторона верхнего м и высота пирамиды м ». Если числа , , мы заменим буквами, например , ,, мы тем самым обобщим задачу, более общую по сравнению с первоначальной, именно:

«Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна , сторона верхнего и высота пирамиды ». Подобное обобщение может оказаться очень полезным. Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы приобретаем новые возможности; так, например, мы оказываемся в состоянии на данные величины как на переменные, что дает нам разнообразные возможности проверки результата.

Взаимосвязь обобщения и анализа

Рассмотрим пример зависимости обобщения и анализа. Результаты действий (как практических, так и мыслительных) над какими-либо объектами обычно определяются взаимным соотношением этих объектов и их свойств. Действия как бы служат средством для проведения анализа, с помощью которого эти соотношения устанавливаются.

На одном из экспериментальных занятий учащимся была предложена следующая задача: «Доказать, что треугольники ABO и DCO, заключенные между диагоналями трапеции, равновелики» (рис. 3). Наряду с этой основной задачей учащимся была предложена и другая, вспомогательная задача, менее трудная для решения и вместе с тем такая, что ее решение и решение основной задачи было основано на одном и том же принципе. В этой вспомогательной задаче требовалось доказать конгруэнтность диагоналей прямоугольника ABCD (рис. 4).

рис. 3 рис. 4

Убедиться в конгруэнтности диагоналей прямоугольника учащимся легко, так как по существу эта задача представляет собой известную учащимся теорему, восстановить ход доказательства которой нетрудно. После этого и основная задача была быстро решена учащимися, которые сумели осуществить мысленный «перенос» хода решения вспомогательной задачи на решение основной. Общим ключом к решению этой и другой задачи оказалось использование в ходе доказательства общего основания AD треугольников ABD и ACD, которое в первом случае выступало как общее основание равновеликих, а во втором – конгруэнтных треугольников ABD и ACD. Для отыскания решения основной задачи достаточно было установить равновеликость фигур ABD и ACD (связанных с треугольниками ABO и OCD). Достаточно было выделить это звено решения двух данных задач в качестве существенно общего свойства, т. е. совершить обобщение.

Таким образом, возможность обобщения и использования его результата – переноса – в процессе решения этих задач зависели прежде всего от мысленного включения обеих задач в единый процесс аналитико-синтетической деятельности. Успешное проведение обобщения (и переноса) было обусловлено тем, что на отдельных этапах анализа учащимися совершалось соотнесение условий основной задачи и задачи-подсказки. Результат процесса (перенос, использование задачи-подсказки) зависел, таким образом, от работы, проведенной учащимися в процессе анализа условия основной задачи. Это оказалось возможным потому, что объект изучения (основная задача) был включен в систему связей и отношений с другим известным объектом (вспомогательная задача).

Аналогичную ситуацию мы можем неоднократно наблюдать в процессе обучения математике в школе. Вернувшись к примеру с прогрессиями, нетрудно обнаружить ту же схему умственной деятельности школьника при правильно поставленной методике изучения этого вопроса. В самом деле, анализируя каждую из данных последовательностей отдельно (а затем совместно), школьник выявляет существенные свойства, общие для некоторых их этих последовательностей, свойства, позволяющие выделить их в особый класс – арифметических прогрессий и провести естественно вытекающее отсюда обобщение – сформулировать определение прогрессии.

Таким образом, обобщение с анализом являются мощным средством для выявления существенных для решения данной задачи (вопроса) свойств.

ОБОБЩЕНИЕ КАК ПРИМЕР ВАРЬИРОВАНИЯ ПРИ ПОИСКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В современных условиях модернизации образования осуществляется обновление содержания и совершенствование механизмов обучения и контроля за качеством, что предполагает: принятие государственных стандартов общего образования; его разгрузку, ориентацию на потребности личности и современную жизнь страны; экспериментальную обработку нового содержания общего образования и т.д.

Говоря о творчестве в любой области деятельности человека, мы всегда обращаемся к понятию гибкости мышления, от активности формирования которого зависит темп обучения.

К числу способностей человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность, Ю.М.Колягин относит:

- способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах (в частности, на объекте изучения или исследования);

- способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;

- способность из многообразия свойств изучаемого объекта выделить наиболее важные и существенные и в том случае, когда эти свойства существуют в скрытом виде;

- способность к открытию различных связей между объектами идеями, умение использовать логические связи для проверки достоверности сделанного вывода.

Вышеназванные способности у человека не появляются автоматически сами по себе. Одним из путей их формирования является обеспечение динамики внимания, которая осуществляется вариативностью упражнений. Это позволяет преподавателю управлять процессом внимания и ведет к формированию гибкости мышления обучаемых.

Из всех видов варьирования на занятиях по методическим дисциплинам наиболее видное место занимает варьирование содержания обучения математике, связанное с решением вопросов уровневой и профильной дифференциации обучения, что объясняется наибольшей разработанностью данного вопроса исследователями.

Нас будет интересовать варьирование условий задачи как один из способов её решения. Пути поиска решения задачи отражает Д.Пойа в своих работах, не называя термина «варьирование». Но именно этот термин обобщает его рекомендации в области поисков решения задачи.

В самом деле, поиски решения задачи начинаются с анализа условий (Что дано? Что неизвестно? В чём состоит условие?). Казалось бы, это – пустая формальность, и чтобы уяснить суть условия, достаточно внимательно прочитать задачу, может быть, не один раз. Между тем, это не так. Действительно, могут встречаться такие ситуации, когда условие задачи представлено в неявной форме, и тогда её данные могут быть записаны не полностью. Итог – «задача не решается».

Например, в геометрической задаче среди числовых данных встречается условие, когда выполняется движение фигуры. Это означает, что каждый отрезок данной фигуры перешёл в равный ему отрезок. Если представленную здесь часть условия «не заменить», то кажется, что не хватает данных для решения.

В подобных случаях рекомендуется исключить в формулировке задачи условие о движении, ученикам задать вопросы: что изменилось в задаче? Для чего было дано автором это условие?

Иногда задачу требуется иллюстрировать чертежом (особенно, если она геометрическая). При решении текстовых алгебраических задач необходимо осуществить своеобразный перевод на чисто математический язык уравнений (иногда неравенств).

Всё названное – представление условия задачи и его запись в разных вариантах. Примеры варьирования условий задачи можно продолжить.

Иногда условие задачи или теоремы таково, что её можно разбить на несколько задач. Например:

«Доказать, что если при пересечении двух прямых третей либо равны внутренние накрест лежащие углы, либо равны соответственные углы, либо сумма внутренних односторонних углов равна 180, то прямые параллельны» (известная теорема).

Эта задача фактически состоит из трёх задач, условие каждой из которых начинается после очередного слова «либо»; а заключение – одно. Конечно, такую задачу целесообразно разбить на три разные, а затем показать, как может быть осуществлено обобщение результатов задачи.

Полезно тут же сформулировать задачу, обратную данной. Это тоже будут три разные задачи, условия которых одинаковы (две параллельные прямые пересечены третьей). А заключения различные.

Так путём варьирования формулировки задачи можно показать учащимся, как возможности обобщения задач, так и возможности разбития их на несколько.

Иногда частные случаи позволяют выявить следствия из задачи или теоремы. Например, следствие теоремы. «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» является предложение: «В равностороннем треугольнике все углы равны».

Наконец, условия задачи проанализированы, заключение ясно, всё чётко переформулировано так, как удобно ученику в данный момент, и можно переходить к поиску решения задачи.

Что рекомендует Д.Пойа? Первое: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» Если известна, то решение предлагаемой задачи становиться «решением по образцу», и его поиск совершенно не нужен.

Вторая рекомендация Д.Пойа: «Встречалась ли вам какая-нибудь задача с тем же неизвестным?» Этот вопрос далеко не всегда приведёт к правильному ответу на него.

Допустим, что нам требуется найти высоту в треугольнике. Какой метод использовать? Вспомнить о признаках равенства треугольников? О признаках подобия? О вы