Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

1.1 Волновое уравнение Шредингера

Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде

(1.1)

где Н — оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле U(r) оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы

(1.2)

Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов

H,(1.3)

то переход к классическому уравнению Гамильтона—Якоби для функции действия S

можно получить из (1.3) формальным преобразованием

Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования

, (1.4)

если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при волновой функцией

описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство

,(1.5)

указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим

,(1.6)

Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора , получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)

, (1.7)

где является плотностью вероятности, а вектор

(1.8)

можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде

где и — действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности

а плотность тока вероятности

.(1.9)

Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций , у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций .

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции состояние системы можно описать двумя вещественными функциями и , удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н — вещественный, то, подставив в (1.1) функцию и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений

, ,

при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид

, . (1)

1.2 Волновые функции в импульсном представлении.

Фурье-образ волновой функции характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии . Требуется вывести интегральное уравнение для с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями и имеются два взаимно обратных соотношения.

(2.1)

(2.2)

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения и применить к нему операцию , то с учетом определения 3-мерной -функции,

в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

Положим далее

,(2.3)

тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь

(2.4)

Предполагая, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

(2.5)

Подставляя сюда вместо и соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем

В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной к интегрированию по переменной , а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством . Интеграл по обращается в нуль при любом значении лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

.(2.6)

Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как , где .

Необходимо отметить, что из условия нормировки

(2.7)

следует равенство

.(2.8)

Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции :

Если здесь сначала выполнить интегрирование по , то мы без труда получим соотношение (2.8).(2)

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид

(3.1)

где оператор полной энергии системы. Для одномерного случая

Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде

(3.2)

где - волновая функция системы в момент времени

- оператор эволюции (пропагатор).

Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора . Так, в случае дискретного спектра выражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид

(3.3)

Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра.

Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции . Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему

,(3.4)

здесь номер шага по времени. Существенным недостатком этого алгоритма является необходимость знать волновую функцию в моменты и . Кроме того, для оценки действия оператора на функцию нужно вычислять вторую производную по координате. Простейшая конечно-разностная аппроксимация второй производной

(3.5)

дает неудовлетворительный результат. (См. программный блок 1)(3)

2.2 Преобразование Фурье

Начнем с комплексного ряда Фурье

Рассмотрим случай L.Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определим и =g(y).Так как возрастает каждый раз на единицу ,то

где .

Таким образом, полученные выше формулы приобретают вид

(4.1)

Величина называется преобразованием Фурье от и наоборот. Положение множителя довольно произвольно; часто величины и определяют более симметрично:

(4.2)

Выражения (4.1) или (4.2) можно скомбинировать следующим образом:

(4.3)

Равенство (4.3) удовлетворяется для любой функции это позволяет сделать интересный вывод об интеграле как функции . Он равен нулю всюду, кроме точки , а интеграл от него по любому промежутку ,включающему , равен единице, т.е. эта функция имеет бесконечно высокий и бесконечно узкий пик в точке .

Обычно определяют (Дирака) следующим образом:

(4.4)

Из этих уравнений следует, что

(4.5)

для любой функции , в случае если интервал интегрирования включает точку .

Проделанные выше операции над интегралами Фурье показали, что

(4.6)

Это интегральное представление функции.

Дельта – функцию можно использовать, чтобы выразить важный интеграл через преобразование Фурье (4.1) от :

(4.7)

Это равенство называется теоремой Парсеваля. Она полезна для понимания физической интерпретации преобразования Фурье для , если известен физический смысл .

Предположим, что четная функция. Тогда

Заметим теперь, что -- также четная функция. Поэтому

(4.9)

Функция и ,определенные теперь только для положительных и , называются косинус - преобразованиями Фурье по отношению друг к другу.

Рассматривая преобразования Фурье нечетной функции, получаем аналогичные соотношения Фурье между синус - преобразованиями Фурье:

(4.10)

Если нужно, можно симметризовать выражения, поставив множитель перед каждым интегралом (4.7)-(4.10). (4)

2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method)

Рассмотрим более подробно другой метод аппроксимации оператора эволюции, в котором отсутствуют недостатки, свойственные рассмотренной выше схеме. Здесь оператор эволюции аппроксимируется симметричным расщеплением оператора кинетической энергии (split-operator method)

(5.1)

Основная погрешность данной аппроксимации связана с некоммутативностью операторов кинетической и потенциальной энергии. Вычисление действия такого оператора на волновую функцию включает следующие шаги. Преобразованная в импульсное представление волновая функция умножается на и преобразуется обратно в координатное представление, где умножается на . Полученный результат снова преобразуется в импульсное представление, умножается на преобразуется обратно в координатное представление. На этом один шаг по времени завершается. Переход от одного представления к

другому осуществляется посредством преобразования Фурье.

В данной курсовой работе используется Гауссов волновой пакет вида , а также ступенчатый потенциал. Сначала преобразуем нашу волновую функцию из координатного представления в импульсное

,(5.2)

затем умножим полученный результат на . На этом завершается половина временного шага. Полученный результат снова преобразуется в координатное представление

(5.3)

и умножается на . После чего вновь преобразуется в импульсное представление

(5.4)

и умножается на . Завершается шаг по времени еще одним преобразованием полученной волновой функции в координатное представление

.(5.5)

Один шаг по времени завершен.

В данной работе этот метод реализован в среде Java, ниже приведены программный блок и полученные графики поведения волновой функции в различные моменты времени.

Важная особенность этого метода заключается в том, что действие каждого из операторов оценивается в их соответствующем локальном представлении.

С методической точки зрения ценность нестационарного подхода состоит в существенно большей наглядности и информативности результатов, по сравнению с результатами решения стационарного уравнения Шредингера. Круг задач, которые могут быть рассмотрены на основе решения нестационарного уравнения Шредингера очень разнообразен.

Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим задачу о движении частицы в поле потенциального барьера. Хотя стационарный подход позволяет определить коэффициенты прохождения и отражения частицы он, однако, не позволяет рассмотреть реальную пространственно-временную картину движения частицы через потенциальный барьер, которая является существенно нестационарной. Рассмотрение задачи на основе решения нестационарного уравнения Шредингера позволяет не только сопоставить классический и квантовый подход к проблеме, но и получить ответы на ряд вопросов, представляющих значительный практический интерес (например, длительность процесса туннелирования, скорости прошедших и отраженных частиц и т.д.). Ниже мы приводим результаты решения нестационарного уравнения Шредингера для данной задачи. Начальное состояние частицы задано в виде пакета гауссовой формы, движущегося в направлении области действия потенциала. На графиках представлена временная картина туннелирования такого пакета через потенциальный барьер прямоугольной формы в виде "мгновенных снимков" волнового пакета в разные моменты времени. Как видно, при попадании пакета в область действия потенциала его форма нарушается в результате формирования отраженного волнового пакета и его интерференции с падающим на препятствие пакетом. Через некоторое время формируются два пакета: отраженный и прошедший через препятствие. Движение падающего и отраженного пакета можно сопоставить с движение классической частицы, положение которой совпадает с максимумом в распределении вероятности. В случае протяженного потенциала отраженный пакет "отстает" от отраженной от барьера классической частицы. Физически это связано с тем, что пакет частично проникает в классически запрещенную область, в то время как в классике отражение происходит строго в точке скачка потенциала. Образование же прошедшего пакета представляет собой сугубо квантовый эффект не имеющий классических аналогий.(3)

3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера

3.1 Метод Нумерова

Рассмотрим решения одномерного стационарного уравнения Шредингера (3.1) частицы, движущейся в одномерном потенциале U(x).

(3.1)

Будем при этом полагать, что его форма имеет потенциала, представленного на рис.1: в точках x_min, x_max потенциал становится бесконечно большим. Это означает, что в точках x_min, x_max расположены вертикальные стенки, а между ними находится яма конечной глубины.

Рисунок 1.

Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение Шредингера (3.1) в виде:

(3.2)

Где

(3.3)

С математической точки зрения задача состоит в отыскании собственных функций оператора, отвечающим граничным условиям

(3.4)

и соответствующих собственных значений энергии E.

Так как при и при , , то можно ожидать, что собственному решению данной задачи соответствует собственная функция, осциллирующая в классически разрешенной области движения и экспоненциально затухающим в запрещенных областях, где ,, при , . Так как все состояния частицы в потенциальной яме оказываются связанными (т.е. локализованными в конечной области пространства), спектр энергий является дискретным. Частица, находящаяся в потенциальной яме конечных размеров при , при , имеет дискретный спектр при и непрерывный спектр при .

Традиционно для решении задачи о нахождении собственных значений уравнения Шредингера используется метод пристрелки. Идея метода пристрелки состоит в следующем. Допустим, в качестве искомого значения ищется одно из связанных состояний, поэтому в качестве пробного начального значения энергии выбираем отрицательное собственное значение. Проинтегрируем уравнение Шредингера каким-либо известным численным методом на интервале . По ходу интегрирования от в сторону больших значений сначала вычисляется решение , экспоненциально нарастающее в пределах классически запрещенной области. После перехода через точку поворота , ограничивающую слева область движения разрешенную классической механикой, решение уравнения становится осциллирующим. Если продолжить интегрирование далее за правую точку поворота , то решение становится численно неустойчивым. Это обусловлено тем, что даже при точном выборе собственного значения, для которого выполняется условие , решение в области всегда может содержать некоторую примесь экспоненциально растущего решения, не имеющего физического содержания. Отмеченное обстоятельство является общим правилом: интегрирование по направлению вовнутрь области, запрещенной классической механикой, будет неточным. Следовательно, для каждого значения энергии более разумно вычислить еще одно решение , интегрируя уравнение (3.1) от в сторону уменьшения . Критерием совпадения данного значения энергии является совпадение значений функций и в некоторой промежуточной точке . Обычно в качестве данной точки выбирают левую точку поворота . Так как функции , являются решениями однородного уравнения (3.1), их всегда можно нормировать так, чтобы в точке выполнялось условие . Помимо совпадения значений функций в точке для обеспечения гладкости сшивки решений потребуем совпадения значений их производных

(3.5)

Используя в (17) простейшие левую и правую конечно-разностные аппроксимации производных функций , в точке , находим эквивалентное условие гладкости сшивки решений:

(3.6)

Число является масштабирующим множителем, который выбирается из условия Если точки поворота отсутствуют, т.е. E>0, то в качестве можно выбрать любую точку отрезка . Для потенциалов, имеющих более двух точек поворота и, соответственно, три или более однородных решений, общее решение получается сшивкой отдельных кусков. В описанном ниже документе, для интегрирования дифференциального уравнения второго порядка мы используем метод Нумерова. Для получения вычислительной схемы аппроксимируем вторую производную трехточечной разностной формулой:

(3.7)

Из уравнения (3.1) имеем

(3.8)

Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем

(3.9)

Разрешив (3.9) относительно или , найдем рекуррентные формулы для интегрирования уравнения (3.1) вперед или назад по c локальной погрешностью . Отметим, что погрешность данного метода оказывается на порядок выше, чем погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Кроме того данный алгоритм более эффективен, потому что значение функции вычисляются только в узлах сетки. Для нахождения численного решения оказывается удобным провести обезразмеривание уравнения (3.1), используя в качестве единиц измерения расстояния - ширину потенциальной ямы, в качестве единиц измерения энергии - модуль минимального значения потенциала . В выбранных единицах измерения уравнение (3.1) имеет вид

(3.10)

где

(3.11)

Таким образом, вычислительный алгоритм для нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера реализуется следующей последовательностью действий:

1. Задать выражение, описывающее безразмерный потенциал .

2. Задать значение .

3. Задать пространственную сетку, на которой проводится интегрирование уравнения (3.1).

4. Задать , .

5. Задать начальное значение энергии .

6. Задать конечное значение энергии .

7. Задать шаг изменения энергии .

8. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .

9. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .

10. Вычислить значения переменной для значения энергии .

11. Увеличить текущее значение энергии на : .

12. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .

13. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .

14. Вычислить значения переменной для значения энергии .

15. Сравнить знаки ,

16. Если и , увеличить текущее значение энергии на и повторить действия, описанные в пп. 8-17.

17. Если , уточнить методом линейной интерполяции.

18. Если , повторить действия, описанные в пп. 8-18.

19. Если , закончить вычисления.(5)

4. Программная реализация численных методов средствами Java

4.1 Обзор языка программирования Java

Java связан с C++, который является прямым потомком С. Многое в характере Java унаследовано от этих двух языков. От С Java получил его синтаксис. На многие из объектно-ориентированных свойств Java повлиял C++. Некоторые из определяющих характеристик Java происходят от его предшественников. Кроме того, создание Java глубоко внедрилось в процессы усовершенствования и адаптации, которые проявились в языках машинного программирования в течение последних трех десятилетий. Каждое новшество в проекте языка управлялось потребностью решить фундаментальную проблему, с которой не справились предшествующие языки. Java не является исключением.

Internet помог катапультировать Java на передний край программирования, a Java, в свою очередь, имел глубокое влияние на Internet. Этому есть простое объяснение: Java разворачивает вселенную объектов, которые могут свободно перемещаться в киберпространстве. В сети две очень широких категории объектов передаются между сервером и вашим персональным компьютером — пассивная информация и динамические, активные программы. Например, когда вы читаете вашу электронную почту, то рассматриваете пассивные данные. Даже, когда вы загружаете программу, ее код — это все еще только пассивные данные до тех пор, пока вы их не начнете выполнять. Однако на ваш компьютер может быть передан объект второго типа — динамическая, самовыполняющаяся программа. Такая программа — активный агент на компьютере клиента, все же инициализируется сервером. Например, сервер мог бы предоставить (клиенту) программу, чтобы должным образом отображать данные, посылаемые клиенту.

Столь же желательными, как и динамические, являются сетевые программы. Они также порождают серьезные проблемы в области защиты и мобильности. До. Java, киберпространство было эффективно закрыто для половины объектов, которые теперь живут там. Кроме того, Java имеет дело с захватывающе новой формой программ — апплетами.

Java можно использовать, чтобы создать два типа программ — приложения и апплеты. Приложение — это программа, которая выполняется на вашем компьютере с помощью его операционной системы. То есть, приложение, созданное с помощью Java, более или менее подобно приложению, созданному с использованием С или C++. При создании приложения Java не намного отличается от любого другого машинного языка. Более важной является способность Java создавать апплеты. Апплет — это приложение, разработанное для передачи по Internet и выполняемое совместимым с Java Web-браузером. Апплет — это, фактически, крошечная программа Java, динамически загружаемая через сеть, подобная изображению, звуковому файлу, или видеоклипу. Важное отличие заключается в том, что апплет является интеллектуальной программой, а не просто мультипликацией (анимацией) или media-файлом. Другими словами, апплет — это программа, которая может реагировать на ввод пользователя и динамически изменять, а не просто выполнять ту же самую мультипликацию или звук много раз.

Многоплатформная среда Web предъявляет экстраординарные требования к программе, потому что та должна выполниться надежно в самых разнообразных системах. Поэтому способности создавать устойчивые программы был дан высокий приоритет в проекте Java. Чтобы обеспечить надежность, Java ограничивает вас в нескольких ключевых областях, вынуждая рано находить ошибки при разработке программы. В то же самое время, Java освобождает от необходимости волноваться относительно многих из наиболее общих причин ошибок программирования. Поскольку Java — язык со строгой типизацией, он проверяет ваш код во время компиляции. Однако он также проверяет ваш код и во время выполнения. В действительности, множество трудно прослеживаемых ошибок, которые часто обнаруживаются в трудно воспроизводимых ситуациях во временя выполнения, просто невозможно создать в Java. Знание того, что программа, которую вы написали, будет вести себя предсказуемым образом при разных условиях, является ключевым свойством Java.

Чтобы лучше понимать, насколько устойчив Java, рассмотрим две из главных причин отказа программы: ошибки управления памятью и неуправляемые исключительные состояния (т. е. ошибки во время выполнения). Управление памятью может быть трудной и утомительной задачей в традиционных средах программирования. Например, на C/C++ программист должен вручную распределять и освобождать всю динамическую память. Это иногда ведет к проблемам, потому что программисты или забывают освобождать память, которая была предварительно распределена, или, хуже, пытаются освободить некоторую память, которую другая ча