Комплексные числа (избранные задачи)

В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.

Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.

В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.

В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.

Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.

Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.

В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:

1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. (10). Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.

2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. (21) Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.

2. Комплексные числа (избранные задачи)

2.1. Комплексные числа в алгебраической форме

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида

,

где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

.

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

.

Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению

, или ,

следовательно, .

Символ называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида

.

Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

,

где и – действительные числа, а – некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число – его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

, .

Комплексные числа вида являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.

Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства

, .

Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

.

6. .

7. .

8. .

9. Любому комплексному числу соответствует противоположное комплексное число такое, что .

10. Всякому комплексному числу отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число такое, что .

Степени мнимой единицы.

Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r, т.е. если , где n – натуральное число, то

;

при этом

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , если

.

Свойства операции сопряжения.

1.

2. Для любого действительного числа a справедливо равенство

3. Для любого действительного числа b справедливо равенство

4.

5.

Следствие из 5.

6.

7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.

Следствие из 7.

Модулем комплексного числа называется действительное число вида

.

8. Теорема о сопряженном корне.

Если число является корнем уравнения

(1)

с действительным коэффициентами a0 , a1 , …, an , то число также является корнем уравнения (1).

Извлечение квадратного корня из комплексного числа . Пусть

,

где x и y – действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем

.

Что равносильно системе

Решая эту систему, получаем:

; .

Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле

.

В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если , и знак минус, если .

Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения , если:

а) ; б) ; в) .

Решение

а) .

Так как , то это уравнение можно записать в виде или . Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем , откуда , .

б) .

Учитывая, что , преобразуем это уравнение: , , , , откуда , .

в) .

Преобразуем , , , откуда , .

Ответ: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите x и y, для которых .

Решение

Получим и решим систему двух уравнений:

Ответ: .

Задача 3. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Ответ: .

Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут противоположными?

Решение

Комплексные числа и будут противоположными, если выполняются условия:

Ответ: ; .

Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут равными?

Решение

Комплексные числа и будут равными, если выполняются условия:

Ответ: ; .

Задача 6. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Ответ: .

Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .

Решение

Так как , тогда корни находятся по формуле

().

Отсюда, , .

Ответ: .

Задача 8. Решите уравнение .

Решение

Перепишем уравнение в виде .

Полагая , получим уравнение , которое имеет корень . Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена и квадратного трехчлена.

Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера: