Дискретизация обычных и двумерных сигналов

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

кафедра РЭС

реферат на тему:

"Дискретизация обычных и двумерных сигналов"

МИНСК, 2009

Дискретизация

Исключительно важным положением теории связи, на котором основана вся современная радиотехника, является так называемая теорема отсчетов, или теорема Котельникова. Эта теорема позволяет установить соотношение между непрерывными сигналами, какими являются большинство реальных информационных сигналов – речь, музыка, электрические сигналы, соответствующие телевизионным изображениям, сигналы в цепях различных радиотехнических систем и т.п., и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – так называемыми отсчетами. На использовании этой связи строится вся современная цифровая радиотехника – цифровые методы передачи и хранения звуковых и телевизионных сигналов, цифровые системы телефонной и сотовой связи, системы цифрового спутникового телевидения и т.д. Можно сказать больше: будущее всей техники обработки сигналов - в ее цифровой реализации. Пройдет еще 10 – 20 лет - и мы будем вспоминать о традиционных аналоговых методах формирования и приема сигналов, их обработки и хранения лишь в теоретическом плане. Вся практическая радиотехника, связанная с обработкой информационных сигналов, перейдет на цифровую реализацию.

Теорема дискретизации, или, как ее еще называют, теорема Котельникова, теорема Уитекера, формулируется следующим образом: непрерывная функция Х(t) с ограниченным спектром, то есть не имеющая в своем спектре

(1)

составляющих с частотами, лежащими за пределами полосы f Î (-Fm, Fm), полностью определяется последовательностью своих отсчетов в дискретные моменты времени X(ti), следующих с шагом Dt < 1/Fm.

Доказательство сформулированной теоремы основывается на однозначном соответствии между сигналами и соответствующими им спектрами. Иными словами, если сигналы одинаковы, то и соответствующие им спектры также одинаковы. И, наоборот, если спектры двух сигналов одинаковы, то и соответствующие сигналы также одинаковы.

Приведем простейшее доказательство теоремы Котельникова, для чего сначала покажем, каким образом спектр дискретной последовательности отсчетов { Х(ti) } связан со спектром непрерывной функции Х(t).

Последовательность отсчетов непрерывной функции Х(t) можно представить в виде произведения Х(t) на периодическую последовательность d-импульсов (решетчатую функцию) с периодом t:

(2)

Тогда спектр (преобразование Фурье) дискретизованной функции Х(ti) можно записать в следующем виде:

(3)

или, с учетом "фильтрующего" свойства d-функции, выражение (3) приобретет свою окончательную форму:

(4)

Нетрудно заметить, что спектр периодически дискрeтизованной функции Х(it) также становится периодическим, с периодом 1/t.

Действительно,

(5)

Такой же результат, но несколько иным способом можно получить, если вспомнить, что произведению функций во временной области соответствует свертка их спектров, и тогда

(6)

Спектр "решетчатой функции" также имеет вид периодической последовательности d-импульсов, но уже по частоте и с периодом f = 1/t, то есть

(7)

Произведя свертку и с учетом "фильтрующего свойства" d-функции получим

(8)

Таким образом, спектр дискрeтизованной функции Х(i Dt) получается путем периодического, с периодом 1/t, повторения спектра исходной функции Х(t).

Из последнего выражения видно также, что для k = 0

(9)

иными словами, составляющая спектра дискрeтизованной функции для k = = 0 с точностью до постоянного множителя 1/t совпадает со спектром исходной непрерывной функции Х(t). Следовательно, если каким-либо образом можно выделить из полного (периодического) спектра последовательности Х(ti) лишь составляющую с k = 0, то тем самым по дискретной последовательности Х(ti) восстановится непрерывная функция Х(t).

Из выражения (9) следует, что устройством, позволяющим выделить из спектра дискретизованного сигнала Х(ti) составляющую, полностью совпадающую со спектром исходного сигнала Х(t), является идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотной характеристикой вида

(10)

При этом спектры, соответствующие различным значениям k, могут быть разделены только при условии их неперекрываемости. Неперекрываемость же спектров обеспечивается при выполнении условия

Fm ≥ 1/ Δt - Fm или Δt ≤ 1/ 2Fm, (11)

откуда и вытекает значение интервала дискретизации Δt, обеспечивающего восстановление исходного сигнала Х(t) по последовательности его отсчетов.

Импульсная переходная характеристика фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал по дискретной последовательности его отсчетов, может быть получена как преобразование Фурье от частотной характеристики (11) и имеет вид

h(t) = F-1 {H(f) } = sinc (2pFmt). (12)

Пропуская дискретную последовательность Х(ti) через фильтр с импульсной характеристикой h(t), получим исходный непрерывный сигнал:

(13)

Процесс дискретизации непрерывной функции X(t) и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов X(ti) иллюстрируется рис.1:

Рис. 1.

Таким образом, по дискретной последовательности отсчетов функции Х(i Dt) всегда можно восстановить исходную непрерывную функцию Х(t), если отсчеты брались с интервалом Dt £ 1/2Fm. Это говорит о том, что не существует принципиальных различий между непрерывными и дискретными сигналами. Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром (а все реальные сигналы имеют ограниченный спектр) может быть преобразован в дискретную последовательность, а затем с абсолютной точностью восстановлен по последовательности своих дискретных значений. Последнее позволяет также рассматривать источники непрерывных сообщений как источники дискретных последовательностей, переходить, где это необходимо и удобно, к анализу дискретных сообщений, осуществлять передачу непрерывных сообщений в дискретной форме и так далее.

Практические вопросы дискретизации реальных сигналов

Сообщения, передаваемые по каналам связи (речь, музыка, телевизионный сигнал, телеметрические данные и т.д.), на практике являются функциями с ограниченным спектром. Например, верхняя частота спектра Fm примерно равна: для речи - 3,5 кГц, для музыки - 10 - 12 кГц (удовлетворительное воспроизведение), для телевизионных сигналов - 6 МГц.

Некоторая некорректность состоит в том, что теорема отсчетов доказана для функций Х(t), заданных на неограниченном интервале t Î (-¥, ¥). Соответственно отсчеты { Х(i Dt), i = 0, ±1, ±2,. . } представляют собой бесконечную последовательность. Однако в реальных условиях сообщения Х(t) имеют начало и конец, а следовательно, конечную длительность T< ¥. Условия финитности спектра и конечной длительности сообщения, строго говоря, несовместимы. Спектр функции с конечной длительностью теоретически имеет значения, отличные от нуля, при любых значениях частоты FÎ(-¥, ¥). Тогда при любом выборе шага дискретизации Dt соседние боковые полосы спектра (см. рис.1) перекрываются, и на выходе идеального фильтра нижних частот с частотой среза F = 1/2Dt будет восстановлен сигнал Х*(t), не полностью совпадающий с исходным сигналом Х(t). Во-первых, отсекаются частотные составляющие спектра с |f| >F. Во-вторых, в полосу пропускания фильтра попадают "хвосты" периодического продолжения спектра.

Вместе с тем всегда можно задать шаг дискретизации Dt (или верхнюю частоту спектра Fm =1/2Dt) так, чтобы энергия ЭD, сосредоточенная в отсекаемых "хвостах" спектра (на частотах f >1/2Dt), была пренебрежимо мала по сравнению с энергией всего сигнала Эx. Ошибка восстановления сигнала Х*(t) на выходе фильтра зависит от отношения ЭD /Эx и может быть выбором Dt (или F=1/2Dt) сделана меньше любой заданной величины. Совершенно очевидно, что если искажения сообщений, обусловленные временной дискретизацией, будут значительно меньше искажений, вызванных помехами в канале связи и допустимых техническими условиями для данной системы передачи информации, то такие искажения существенного значения не имеют и могут не учитываться.

Таким образом, приближенно можно принять, что реальные сообщения имеют конечную длительность T и одновременно их спектры ограничены по частоте величиной Fm. При этом бесконечный ряд Котельникова (13) преобразуется в конечный с числом ненулевых отсчетов n, примерно равным отношению длительности сообщения к интервалу дискретности:

(14)

Основные формулы теоремы отсчетов для сигналов, отличных от нуля на конечном интервале tÎ (0, T), принимают вид:

(15)

(16)

(17)

Наконец, когда сигнал {X(t), tÎ(0, T) } задан конечным числом отсчетов X(0), X(Dt),. ., x(kDt), в формулах (15) - (17) в отличие от соответствующих точных формул следовало бы писать знак приближенного равенства (@). Однако обычно этого не делают.

Еще одним приближением, которое не может быть выполнено в действительности, является предположение об "идеальности" амплитудно-частотной характеристики восстанавливающего фильтра H(f). Дело в том, что фильтр с идеально прямоугольной АЧХ имеет ИПХ бесконечной длительности и не может быть реализован на практике. Фильтры же с конечной ИПХ имеют теоретически бесконечную полосу. Нетрудно показать, что влияние конечной длительности ИПХ восстанавливающего фильтра на сигнал Х*(t) имеет тот же характер, что и ограниченность интервала наблюдения функции Х(t).

Следовательно, для фильтра НЧ с заданной АЧХ всегда можно выбрать шаг дискретизации Dt таким, чтобы энергия ЭD, просачивающаяся через "хвосты" его амплитудно-частотной характеристики (на частотах f >1/2Dt), была пренебрежимо мала по сравнению с энергией всего сигнала Эx. В связи с этим на практике шаг дискретизации реальных сообщений Х(t) делают несколько меньшим, а частоту дискретизации, соответственно, – несколько большей (по крайней мере, на 30 - 50%), нежели предписывает теорема Котельникова.

Дискретизация двумерных сигналов (изображений)

Все большую часть передаваемых с использованием РТС ПИ сообщений, особенно в последнее время, составляют сигналы, являющиеся функциями не только времени - λ(t) (речь, музыка и т.п.), но и ряда других переменных, например, λ(x,y), λ(x,y,t) (статические и динамические изображения, карты физических полей и т.п.). В связи с этим естественным является вопрос: можно ли так, как это делается для временных сигналов (или других функций одной переменной), производить дискретизацию многомерных сигналов (функций нескольких переменных) ?

Ответ на этот вопрос дает теорема дискретизации для двумерных (или в общем случае - для многомерных) сигналов, которая утверждает: функция двух переменных λ(x,y), двумерное преобразование Фурье которой

(18)

равно нулю при fx ≥ fx max и fy ≥ fy max, однозначно определяется своими значениями в равноотстоящих точках плоскости переменных x и y, если интервал дискретизации удовлетворяет условию Δx ≤ 1/2fx max, Δy ≤ 1/2fy. Процедура дискретизации двумерной функции иллюстрируется примером, приведенным на рис.2 - 4.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Доказательство двумерной теоремы дискретизации основано, так же как и для одномерного случая, на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами: одинаковым изображениям (двумерным функциям) соответствуют одинаковые спектры, и наоборот, если спектры двух функций одинаковы, то и сами эти функции равны друг другу.

Преобразование Фурье (спектр) дискретизованной двумерной функции FF{λ(iDx,jDy) } получается периодическим продолжением спектра исходной непрерывной функции λ (x,y) в точки частотной плоскости (kD fx,lD fy) (рис.5), где fx и fy - так называемые "пространственные частоты", являющиеся аналогами обычной "временной" частоты и отражающие скорость изменения двумерной функции λ (x,y) по соответствующим координатам (крупные фрагменты изображения - низкие частоты, мелкие детали - высокие частоты).

Аналитически это можно записать следующим образом:

(18)

Из рис.1.8. видно, что если соблюдается условие неперекрываемости периодических продолжений спектра FF{λ(iDx,jDy) }, а это справедливо при Δx ≤ 1/2fx max, Δy ≤ 1/2fy max, то с помощью идеального двумерного ФНЧ с частотной характеристикой вида

(19)

из спектра дискретизованной функции FF{λ(iDx,jDy) } можно абсолютно точно выделить спектр исходной непрерывной функции FF{λ(x,y) } и, следовательно, восстановить саму функцию.

Таким образом, видно, что не существует принципиальных отличий в дискретизации между одномерными и двумерными (многомерными) функциями. Результатом дискретизации в обоих случаях является совокупность отсчетов функции, различия могут быть лишь в величине шага дискретизации, числе отсчетов и порядке их следования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лидовский В.И. Теория информации. - М., "Высшая школа", 2002г. – 120с.

2. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах. Учебник для ВУЗов. / В.И. Нефедов, В.И. Халкин, Е.В. Федоров и др. – М.: Высшая школа, 2001 г. – 383с.

3. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. - . – М.: Энергоатом издат, 2005. - 440с.

4. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь, 2001 г. –368 с.

5. Б. Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд.2-е, испр.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом "Вильямс", 2003 г. – 1104 с.