Оптимальные и адаптивные системы

- корни вещественные




Сумма двух экспонент представляет собой:



Если , то корни комплексно-сопряженные и решение будет представлять собой периодическую функцию. В реальной системе, переключений не более 5 - 6.


  1. Метод поверхности переключений


Данный метод позволяет найти управление функций переменной состояния для случая когда оптимальное управление носит релейный характер


.


Таким образом этот метод можно применять при решении задач оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением


,


.


Суть метода заключается в том, чтобы во всём пространстве состояний выделить точки, где происходит смена знака управления и объединить их в общую поверхность переключений.


,


- поверхность переключений


.


Закон управления будет иметь следующий вид


.


Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать переход из произвольной начальной точки в начало координат


.

Если конечная точка не совпадает с началом координат, то необходимо выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.

Имеем объект вида


.


Рассматриваем переход , с критерием оптимальности


.


Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида


,


с неизвестным , начальные условия нам также неизвестны.

Рассматриваем переход:


Метод обратного времени

(метод попятного движения)


Этот метод позволяет определить поверхности переключений.

Суть метода заключается в том, что начальная и конечная точки меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий остаётся одна для .

Каждая из этих траекторий будет оптимальна. Сначала находим точки, где управление меняет знак и объединяем их в поверхность, а затем направление движения меняем на противоположное.



Пример


Передаточная функция объекта имеет вид


.


Критерий оптимальности быстродействия



Ограничение на управление .


Рассмотрим переход


.


1)

,

2)

.

3)


оптимальное управление будет иметь релейный характер


.


4) Перейдём в обратное время (т.е. ). В обратном времени задача будет иметь такой вид


.


5) Рассмотрим два случая:


Получим уравнения замкнутой системы

.


Воспользуемся методом непосредственного интегрирования, получим зависимость от и поскольку -, то имеем


,


т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то , получим


, (*)


аналогично



подставив (*), получим

,


отсюда


.


Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление





Применив метод непосредственного интегрирования, получим:


,


,


.


Функция будет иметь вид:


Изменив направление

точка смены знака

(точка переключения)

Общее аналитическое выражение:

.


Уравнение поверхности:


.


Оптимальный закон управления:


,


подставив уравнение поверхности, получим:


.


2.5. Субоптимальные системы


Субоптимальные системы - это системы близкие по свойствам к оптимальным



- характеризуется критерием оптимальности.



- абсолютная погрешность.


- относительная погрешность.


Субоптимальным называют процесс близкий к оптимальному с заданной точностью.

Субоптимальная система - система где есть хоть один субоптимальный процесс.


Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:


  1. при аппроксимации поверхности переключений (с помощью кусочно-линейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);



    при в субоптимальной системе будет возникать оптимальный процесс.


  2. ограничение рабочей области пространства состояний;





3.АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ


3.1.Основные понятия


Адаптивными системами называют такие системы, в которых параметры регулятора меняются вслед за изменением параметров объекта, таким образом, чтобы поведение системы в целом оставалось неизменным и соответствовало желаемому:


,


.


Существует два направления в теории адаптивных систем:


  1. адаптивные системы с эталонной моделью (АСЭМ);


  2. адаптивные системы с идентификатором (АСИ).


  1. Адаптивные системы с идентификатором


Идентификатор - устройство оценки параметров объекта (оценка парамет­ров должна осуществляться в реальном времени).



АР - адаптивный регулятор

ОУ - объект управления

U - идентификатор


Часть, которая выделена пунктиром, может быть реализована в цифровом виде.


Рис1. Функциональная схема АСИ


V, U, X - могут быть векторы. Объект может быть многоканальным.


Рассмотрим работу системы.


В случае неизменных параметров объекта, структура и параметры адаптивного регулятора не меняются, действует главная обратная связь, сис­тема представляет собой систему стабилизации.

Если параметры объекта меняются, то они оцениваются идентификато­ром в реальном времени и происходит изменение структуры и параметров адаптивного регулятора так, чтобы поведение системы оставалось неизмен­ным.

Основные требования предъявляются к идентификатору (быстродействие и т.д.) и к самому алгоритму идентификации.

Такой класс систем используют для управления объектами с медленными нестационарностями.

Если мы имеем нестационарный объект общего вида:


,

, .


Простейший адаптивный вид будет следующий:


.


Требования, которые предъявляются к системе:


, (*)

,


где и - матрицы постоянных коэффициентов.

Реально мы имеем:


или

(**)


Если приравнять (*) и (**), то получим соотношение для определения параметров регулятора


3.3.Адаптивные системы с эталонной моделью


В таких системах существует эталонная модель (ЭМ), которая ставится параллельно объекту.



БА - блок адаптации.


Рис2. Функциональная схема АСЭМ


Рассмотрим работу системы.


В том случае, когда параметры объекта не меняются или процессы на выходе соответствуют эталонным, ошибка , не работает блок адаптации и не перестраивается адаптивный регулятор, в системе действует плавная обратная связь.

Если поведение отлично от эталонного, это происходит при изменении параметров объекта, в этом случае появляется ошибка , включается блок адаптации, перестраивается структура адаптивного регулятора, таким образом чтобы свести к эталонной модели объекта.

Блок адаптации должен сводить ошибку к нулю ().

Алгоритм, закладываемый в блок адаптации, формируется различными способами, например, с использованием второго метода Ляпунова:


.


Если это будет выполняться, то система будет асимптотически устойчива и .


Актуально: