Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)
Осн. понятия Грани числовых мн-вЧисловые последовательности Непр. ф-ции на пр-ке | Сходящиеся и расходящиеся посл-ти Св-ва сходящихся посл-тейТеорема «Об единственности пределов»Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена» Теорема «О сходимости монотон. посл-ти» | Экспонента или число е Ф-ции одной переменной Обратные ф-ции | Предел ф-ции в точке Свойства предела ф-ции в точке Односторонние пределы ф-ции в т-ке:Предел ф-ции в т-ке Предел и непрерывность функции Предел. Односторонний предел. | Пределы ф-ции на бесконечности Два замечательных предела Б/м ф-ции и их сравнения Непрерывные ф-ции. Непрерывность. |
1. Осн. понятияМат.модель – любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал. Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач. Некоторые числовые множества. Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить. Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х вып-ся усл S(x)}. Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АВ. А=В- мн-ва совпадают. Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В. А В={ххА и хВ} пересечение мн-в А и В. А\ В={ххА, но хВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А Числовые мн-ваR,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {ха<х<в} – интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ)(а,в) – замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.(а,в) – полуинтервал.Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.2. Грани числовых мн-вПусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство сх(хс). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченымЕсли мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено. Точные грани числовых мн-вПусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва ХПример Х=(0,1) то max(0,1) не . min (0,1)=0Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.Таким образом у огран. мн-ва обе грани , док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел. 3. Числовые последовательностиЕсли для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти . !Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти. Основные способы задан. посл-ти: а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та. б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти. Пример: а) xn=5n x1=5, x2=10 б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2,3… х2=-11, х3=-47 Ограниченные последовательности(ОП) Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xnM n (xnm n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу. Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству xn>А. | 4. Сходящиеся и расходящиеся посл-тиБольшое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет. Опр Если для любого >0 найдется такой номер N, для любого n >N:xn-a< Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися. Связь сходящихся посл-тей и б/м. Дает сл. теорему Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+n, где посл-ть {n}0, т.е. является б/м. Док-во а) Допустим, что xna и укажем посл-ть n удовл. равенству xn=a+n. Для этого просто положим n=xn-a, тогда при nxn-a равно растоянию от xn до а 0 =>n б/м и из равенства преобразования определяю n получаем xn=a+n. Свойство б/мЕсли {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением. Т-ма о св-вах б/м а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м 1) их сумма, разность и произведение являются б/м 2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м !О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м. Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N xn>c. !Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б. Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.Св-ва сходящихся посл-тейТеорема «Об единственности пределов»Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного) {xn} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на. Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена» Пусть посл-ть {xn}а >о N:n>Nxn-a< эквивалентна а- Теорема «Об арифметических дейсьвиях»Пусть посл-ть {xn}a,{yn}b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем: а) предел lim(n)(xnyn)=ab б) предел lim(n)(xnyn)=ab в) предел lim(n)(xn/yn)=a/b, b0 Док-во: а)xnyn=(а+n)(b+n)=(ab)+(nn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный ab. Аналогично др. св-ва. б) xnyn=(а+n)(b+n)=ab+nb+an+nn nb – это произведение const на б/м аn0, nn0, как произведение б/м. => поэтому в правой части стоит сумма числа аb+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xnyn сводится к ab Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<… неубывающей, если x1x2…xnxn+1…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1x2…xnxn+1… Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы. | 6. Экспонента или число еР-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е2,7128… Док-ть сходимость посл-ти (1) Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1). Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно возр., но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т.е. 0 tg1=(lg(1+x1))/x1 1>2=>tg1>tg2 tg2=(lg(1+x2))/x2 Поскольку 1>2, то tg1>tg2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) x>0 => kx> >lg(1+x) x>0 Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации. Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению. Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n)P(1+r/m)^mn=Pe^rn Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx. Принцип вложенных отрезковПусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков (a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),… Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.: 1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. (an+1,bn+1)(an,bn), n=1,2,…; 2) Длины отрезков 0 с ростом n, т.е. lim(n)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются. Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1. {bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n)an и с2=lim(n)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n)(bn-an)= lim(n)(bn)- lim(n)(an) в силу условия 2) o= lim(n)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку n ancbn. Теперь докажем что она одна. Допустим что другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му. Принцип вложенных отрезковТ-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку свсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются. Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е. числа c1=lim(n)an и c2=lim(n)bn. Докажем что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n)(bn-an)= lim(n)bn lim(n)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для n ancbn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му. 7.Ф-ции одной переменнойЕсли задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной. Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер. X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xX} x1X1, y1=f(x1) 1) аналит. способ; 2)Табличный способ; 3) Графический способ; 4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. m,M: mf(x)M xX mf(x) xX => огр. сн.; f(x)M, xX=> огр. св. Обратные ф-ции Если задано правило по которому каждому значению yY ставится в соответствие ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y). | Предел ф-ции в точке y=f(x) X опр. {xn} X, xnx0 f(xn)A,=> f(x) в т. x0 (при , xnx0) предел = А А=lim(xx0)f(x) или f(x)A при xx0 Т-ка x0 может и мн-ву Х. Свойства предела ф-ции в точке1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный 2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(xx0)f(x)=A lim(xx0)g(x)B=> то тогда в этой т-ке предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций. а) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB б) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB в) lim(xx0)(f(x):g(x))=A/B г) lim(xx0)C=C д) lim(xx0)Cf(x)=CA Док-во xnx0, lim(xx0)f(x)=A по опр. f(xn)A {f(xn)}Односторонние пределы ф-ции в т-ке:Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)A при хх0, и x>x0Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(xx0+0)f(x)И также с минусами.Признак пределаТ-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел (f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции.Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)A независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1)Предел ф-ции в т-кеЧисло А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если >0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)<0 должно f(x)-A< >0 из х-х0< должно бытьПусть f(x)-x0<, если =, то х-х0< =>f(x)-x0<Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.Предел и непрерывность функции Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0Х или х0Х. Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для >0 >0 такое, что для всех хХ, хх0, удовлетвор. неравенству х-х0<, выполняется неравенство f(x)-A<. Пример Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (xx0)C=C Возьмем любое >0. Тогда для любого числа >0 выполняется треюуемое неравенство f(x)-C=C-C=0<, => lim(xx0)C=C Свойства пределов. Непрерывность ф-ции. Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно ВС, ВС, В/С, т.е. lim(f(x)g(x))= BC, lim(f(x)g(x))= BC, lim(f(x)/g(x))= B/C Теорема также верна если х0 явл. , , Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0) Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке. 10. Предел. Односторонний предел.Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А окрестность (х0):xокрестности (x0) выполняется условие f(x)окрестности. Теорема Все определения предела эквивалентны между собой. Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0)) если f(x)A при хх0, х>x0 Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)A Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(xx0+o)f(x) где запись xx0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0. Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-) Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)= f(x0-)=lim(xx0)f(x)=A Док-воа) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x) А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1. б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что просто предел. Возьмем произвольную {xn}х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности. 1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n}; 2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n}; x’nx0-o x’’nx0+o, т.к. односторонние пределы и равны, то f(x‘n)A и f(x‘‘n)A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа: 1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)A на основании связи между сходимостью последовательностей | 11. Пределы ф-ции на бесконечности Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии. Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x+ если {xn} которая к + соответствующая ей последовательность {f(xn)}A в этом случае мы пишем lim(x+)f(x)=A. Совершенно аналогично с -. Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x {f(xn)} сходится к А Бесконечные пределы ф-цииВводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не -ют. Р-рим на премере: lim(xo+)(1/x) Очевидно не сущ-ет, т.к. для {xn}+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +. Поэтому можно записать lim(xo+)1/x=+ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0. Аналогично с -. Более того символы + и - употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}x0 то {f(xn)}, 12. Два замечательных предела1) lim(x0)sin/x=1 2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение: lim(n)(1+1/n)^n=e (1) lim(n0)(1+x)^1/x=e (2) t=1/x => при х0 t из предела (2) => lim(x) (1+1/x)^x=e (3) Док-во 1)x+ n x:n=(x) => nx Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х+, n) lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n)(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e 2) x-. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y+, при x-. lim(x-)(1+1/x)^x=lim(y+)(1-1/y)^-y= lim(y+)((y-1)/y)^y=lim(y+)(1+1/(y-1))^y=e 3) Пусть x произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x)(1+1/xn)^xn=e (5) Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}+, {x‘‘n}-. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xnx‘nx‘‘n. По т-ме о связи 13. Б/м ф-ции и их сравнения Опр. Ф-ция (х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций: а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции. б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если (х)0 при хх0, а f(x) определена и ограничена ( С:(х)С)=>(х)(х)0 при хх0 Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие: 1) Если отношение 2-х б/м (х)/(х)0 при хх0 то говорят что б/м имеет более высокий порядок малости чем . 2) Если (х)/(х)A0 при хх0 (A-число), то (х) и (х) наз-ся б/м одного порядка. 3) если (х)/(х)1 , то (х) и (х) наз-ся эквивалентными б/м ((х)~(х)), при хх0. 4) Если (х)/^n(х)А0, то (х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно (х). Аналогичные определения для случаев: хх0-, хх0+, х-, х+ и х. 14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность. Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(xx0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через у приращение ф-ции, т.е. у=f(x0+x)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). «» - символ приращения. Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(x0)y=0~ у0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции 0 приращение аргумента. f(x) непрерывна в т-ке х0 <>y0 при х0. Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки. Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(xx0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0. Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(xx0, x Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0) Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке. Пример Р-рим степенную производст. ф-цию Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (Q0 при k0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва |
Классификация т-ки разрыва Непр. ф-ции на пр-кеТеорема ВЕЙЕРШТРАССА | Дифференцирование ф-ций Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков. Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши Правило Лопиталя | Выпуклые и вогнутые ф-ции Т-ки перегиба Выпуклость и вогнутость. Б/б пол-тиГладкая ф-ция Эластичность ф-ций | Применение 1й пр-ной в исслед. ф-цийТ-ма Ферма Т-ма Коши Интервалы монотонности ф-цииТ-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя.Производная обратной ф-ции | Теорема Больцано-Вейерштрасса Теорема Больцано-Коши Теорема Вейерштрасса |
15. Классификация т-ки разрыва Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода. а) если в т-ке х0 оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f. б) если в т-ке х0 оба 1-стороних предела f(x0), которые не равны между собой f(x0+)f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода. При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания: 1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния. 2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр. 3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва: график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги. I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огранич-ти) Док-во использует опр-ние на языке и . Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое >0 можно найти >0 f(x)-f(x0)< при х-х0< ~ f(x0)- II) Св-ва сохранения знака Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)0 то окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0. III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x) непр. на отрезке (a,b) и f(a)=A, f(b)=B причем AB => C(A,B) c(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘). IV)Теорема о прохожд. непр. ф-циичерез 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то т-ка с(a,b). Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана. Пусть f(d)0 (a,d) или (d,b) ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти (a,d) обозначим через (a1,b1). Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку (a2,d2) продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков (a1,b1)>(a2,b2) длинна которых (a-b)/2^n0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки (an,bn) с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков. Непр. ф-ции на пр-кеf непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)0 => f непр. на (a,b) и f(x)f(b)=0 (f(x)f(b)>0 в окр-ти х0) => с(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны. Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на (a,b), тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. с>0:f(x)c x(a,b). Т-ма 2( о экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на (a,b), тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. т-ка max X*:f(x*)f(x) x(a,b), т-ка min X_:f(x_)f(x) x
Подобные работы: |