Расширения полей

В педагогических вузах введена программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса—изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.

На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийся в ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий.

Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики.

Кроме того, изучение элементов теории поля полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

1. Простое алгебраическое расширение поля.

1.1.Простое расширение поля.

Пусть P(x)— кольцо полиномов от xнад полем P, где P — подполе поля F. Напомним, что элемент a поля Fназывается алгеб­раическим над полем P, если aявляется корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P (x).

Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента aназывается наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозна­чается через P (a), основное множество поля P (a) обо­значается через Р(a).

Пусть a0F, P (x) — кольцо полиномов от x и

P(x)={f(a)*f0P(x)},

т. е. P(a) есть множество всех выражений вида a₀ + a₁a+...+ a_naⁿ, где а₀, a_1,...a_n0P и — любое натураль­ное число.

Легко видеть, что алгебра +P(a), +, —, ., 1, — подкольцо поля P (a) — является кольцом; это кольцо обозначается символом P (a).

Теорема 1.1. Пусть P(x)— кольцо полиномов от х над P и P (a)— простое расширение поля P. Пусть y — отображение P(x) на P(a) такое, что y(f)=f(a) для любого f из P(x). Тогда:

(а) для любого а из Р y (а) = а;

() y(x) = a

(с) y является гомоморфизмом кольца P (x) на кольцо P (a);

(d) Ker y ={f0P(x)*f(a)=0};

(е) фактор-кольцо P (x)/Кег y изоморфно кольцу P (a).

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P (x), так как для любых f и g из P(x)

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Далее, по условию, y есть отображение Р(х)на Р(a).Сле­довательно, y является гомоморфизмом кольца P (x)на кольцо P (a).

Утверждение (d) непосредственно следует из определе­ния отображения y.

Поскольку y — гомоморфизм кольца P (x)на P (a), то фактор-кольцо P(x)/Кег y изоморфно кольцу P (a).

Следствие 1.2. Пусть a — трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P (x) изоморфно кольцу P (a).

Доказательство. В силу трансцендентности a над P Kery={0}. Поэтому P(x)/{0}– P (a).Кроме того, фактор-кольцо кольца P (x)по нулевому идеалу изоморфно P (x). Следовательно, P (x)– P (a).

1.2.Минимальный полином алгебраического элемента.

Пусть P (x)— кольцо полиномов над полем P.

Определение. Пусть a — алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента a, над P называется нормированный полином из P(x) наименьшей степени, корнем которого является a. Степень минимального полинома называется степенью элемента a над P.

Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P , существует минимальный полином.

Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и j — его минимальные полиномы над P, то g=j.

Доказательство. Степени минимальных полиномов gи j совпадают. Если g¹j, то элемент a (степени над P) будет корнем полинома g - j, степень которого меньше степени полинома j (меньше ), что невозможно. Следовательно, g=j.

Теорема 1.4. Пусть a — алгебраический элемент степени над полем P (aóP) и g — его минимальный полином над P. Тогда:

(а) полином g неприводим в кольце P (x);

() если f (a) = 0, где f0P(x), то g делит f

(с) фактор-кольцо P (x)/(g) изоморфно кольцу P (a);

(d) P (x)/(g) является полем;

(е) кольцо P (a) совпадает с полем P (a).

Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P (x), т. е. существуют в P(x) такие поли­номы j и h, что

g = jh, 1£deg j, deg h

Тогда g(a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) — поле, то j( a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента a над Pравна п.

Предположим, что f 0 P(x)и f(a) = 0. По условию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно про­стыми. Поскольку полином gнеприводим, то gделит f.

Пусть j — гомоморфизм кольца P (x)на кольцо P (a) (y(f)=f(a) для всякого f из P(x)), рассмотренный в тео­реме 2.1. В силу (Ь) ядро гомоморфизма y состоит из крат­ных полинома g,т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P (x)/(g) изоморфно кольцу P (a).

Поскольку P(a)ÌP(a), то P (a) есть область целост­ности. Так как P @ P(a), то фактор-кольцо P также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из Pобратим в P. Пусть f — элемент смежного класса f. Так как f ¹ 0, то f(a)¹0; поэтому полином gне делит полином f. Поскольку полином gнеприводим, отсюда следует, что полиномы f и g — взаимно простые. Следовательно, в Р(x)существуют такие полиномы uи v, что uf + vg=1. Отсюда вытекает равенство uf = 1, показывающее, что элемент fобратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо Pявляется полем.

В силу (с) и (d) P (a) является полем и поэтому P(a)ÌP(a). Кроме того, очевидно, P(a)ÌP(a). Значит, P(a) = P(a). Следовательно, кольцо P (a) совпадает с полем P (a).

1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.

Теорема 1.5. Пусть a — алгебраический над полем P элемент положительной степени . Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комби­нации элементов 1, a, ..., a^n-1с коэффициентами из Р.

Доказательство. Пусть b— любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P(a) = P(a); следовательно, существует в P(x) полином f такой, что

(1) = f(a).

Пусть g — минимальныйполином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P(x) полиномы hиrтакие, что

(2) f = gh + r, где r = 0 или der r < der g = n , т. е. r=c₀+c₁x +…c_n-1x^n-1(c_i0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) = c₀+c₁a +…c_n-1a^n-1

Покажем, что элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., a^n-1. Пусть

(4) = d₀+d₁a +…d_n-1a^n-1(d_i 0 P)

—любое такое представление. Рассмотрим полином j

j = (с₀ – d₀) + (c₁ - d_i.)x + . . . + (с_n-1 –d_n-1)x^n-1

Случай, когда степень j меньше , невозможен, так как в силу (3) и (4) j(a) = 0 и степень j меньше степени g. Возможен лишь случай, когда j = 0, т. е. с₀ = d₀, . . . , с_n-1 = d_п-1.Следовательно, элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,a^n-1.

1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полино­мов P (x)и h(a)¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)P(a) в виде линейной комбинации степеней эле­мента a,т. е. в виде j(a),

где jP(x).

Эта задача решается следующим образом. Пусть g— минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над Pи h(a) ¹ 0, то gне делит hи, значит, полиномы hи g — взаимно простые. Поэтому существуют в P(x)такие полиномы uи v, что

uh+vg=1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u P(x) и f(a)u(a)P(a). Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателедроби

.

Решение. В нашем случае a=. Минимальным многочленом этого числа является

p(x)=x³-2.

Многочлены (x) и g(x)=-x²+x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что

j+gy=1.

Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

-x³-2 -x²+x+1 -x²+x+1 2x-1

x³-x²-x -x-1 -x²+1/2x -1/2x+1/4

x²+x-2 1/2x+1

x²-x-1 1/2x-1/4

2x-1 5/4

Таким образом,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

или

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x²+x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x²+1/5x+3/5)=1.

Таким образом,

y(x)= (2/5x²+1/5x+3/5).

Тогда

y(a)=y()=.

Следовательно

.

2.Составное алгебраическое расширение поля.

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w_l½l P},,

где w_l- операция умножения элементов из Fнаскаляр lP.

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через (F : P).

Предложение 2.1. Если a — алгебраический элемент степени над P, то (P (a):P)=.

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебра­ическим над P.

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из Fлинейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., aⁿ, т. е. существуют в Pтакие элементы с₀, с_1,…,c_nне все равные нулю, что с₀×1+ с_1a+…+c_n aⁿ= 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля Pназывается составным, если существует

возрастающая цепочка подполей Liполя F такая, что

P = L₀— L₁ —…— L_k= F и k>1.

Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

(I) (F : P)= (F :L)@(L: P).

Доказательство. Пусть

(1) a₁,…,a_m — базис поля Lнад P (как векторного пространства) и

(2) b₁,…,b_n— базис поля F над L. Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l₁b₁+...+l_nb_n (l_kL).

Коэффициенты 1_kможно линейно выразить через базис (1):

(4) l_k = p_1k a +…+ p_mk a_m (p_ikP).

Подставляя выражения для коэффициентов l_kв (3), получаем

d = å p_ik a_ib_k.

^i{1,…,m}

^k{1,…,n}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { a _ib_k½{1,..., m},k {l,..., n}}.

Отметим, что множество Bсостоит из nmэлементов.

Покажем, что Bесть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества Bлинейно независима. Пусть

(5) åc_ika_ib_k = 0,

^I,k

где c_ik P. Так как система (2) линейно независима над L,то из (5) следуют равенства

(6) с_1ka ₁+...+с_mka_m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a ₁, ..., a_mлинейно независимы над P,то из (6) следуют равенства

c_1k = 0,…,c_mk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов Bлинейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что (F , P) = nm= (F:L)×(L: P).Следовательно, F является конечным расширением поля Pи имеет место формула (I).

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L₀— L₁ —…— L_k= F и k>1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L_i является простым алгебраическим расширением поля L_i-1.Число k назы­вается длиной цепочки (1).

Следствие 2.4.Составное алгебраическое расшире­ние F поля P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a₁,..., a_k — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a₁,..., a_k) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L₀ = P, L₁ = P (a₁), L ₂= P (a₁, a₂,),..., L_k = P (a₁ ,..., a_k).

Тогда L₁ = P (a₁) есть простое алгебраическое расшире­ние поля L₀; L₂ есть простое алгебраическое расширение поля L₁ , так как

L₂ = P (a₁,a₂) = (P (a₁))(a₂) = L₁(a₂) = L₁(a₂) и т. д.

Таким образом,

P = L₀—L₁ —…— L_k= F

где L_i = L_i-1(a_i) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле Fявляется составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конеч­ным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расшире­ние поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P —L — F , причем L = P(a), F = L(b)и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над Pсоответственно для чисел a и и degf = m, degg = . Полиномы f и gнеприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле Eкомплексных чисел кратных корней. Пусть

a = a₁ ,..., a_m — корни полинома f в C и

= ₁ ,..., _n— корни полинома gв C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(a_i-a)/(b-b_k)½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконеч­ное), то в Pсуществует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М,cóМ. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g ¹ a_i +cb_k = (i0{1,..., m}, k0{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства a +сb = a_i+сb_k было бы

с = (a_i-a)/(b-b_k) 0 M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P (g) и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h= f(g - cx) — полином из F₁(x) (g, c0P(g) = F₁). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов hи gв кольце F₁(x).Так как g(b) = 0, то x-b делит gв E(x).Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x- делит полином h в E(x).Таким образом, x- есть общий делитель hи gв кольце E(x).

Докажем, что gи h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что b_k, k0{2 ,..., n},есть их общий корень. Тогда h(b_k) = f(g - сb_k) = 0. Сле­довательно, найдется такой индекс i0{1 ,..., m},что g = a_i+cb_k(k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий дели­тель gи h в E(x).Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наиболь­шим общим делителем g и hв кольце F₁(x). Поэтому

(x-b) 0 F₁(x) и b 0 F₁ = P(g).

Кроме того, a = g - cb 0 F₁. Таким образом,

F = P(a, b)Ì F₁, F₁ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над P и F = P (g), то поле F =P (g)является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома поло­жительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, •, 1, является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть aи — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, )является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-1 0 Q (a, )и поэтому а^-1принадлежит А. Следовательно, алгебра Aесть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1,назы­вается полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число a= является алгебраическим.

Решение. Из a= следует a-.

Возведем обе части последнего равенства в третью степень:

a³-3a²9a-3=2

или

a³ +9a-2=3(a²+1).

Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:

a⁶+18a⁴+81a²-4a³-36a+4=27a⁴+54a²+27

или

a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0.

Таким образом a является корнем многочлена

f(x)=a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

Теорема 2.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть A (x)— кольцо полиномов от xнад полем Aалгебраических чисел. Пусть

f = а₀ + а₁x+... + а_nхⁿ (а₀ ,…, а_n 0A)

— любой полином положительной степени из A(x). Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C(x) и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть L= Q(а₀, ..., а_n) и L (с) —простое алгебраическое расширение поля Lс помощью с. Тогда Q —L — L (c) есть конечное алгебраическое расширение поля L. По теореме 2.2, Lесть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с)является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L(с)является алгебраическим расширением поля Q и, значит, c0A. Таким образом, любой полином из A(x)положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D(x) многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и fN(x) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D(x). Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f(x) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '(x) = 0.

Положим

_{n n}

f(x) =3a_nxⁿfN(x) =3na_nx^n-1

^{0 1}

Так как fN(x) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

a_n = 0 ( = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a_n = 0 для всех n ¹ 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства na_n = 0 возможны и для n ¹ 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех a_nxⁿ, для которых nº0(p), т. е. f(x) должен иметь вид

f(x) = a₀+a_px^p+a_2px^2p+…

Обратно: если f(x) имеет такой вид, то fN(x)=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j(x^p).

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в D (x) многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от x^p.

В последнем случае может оказаться, что j(x) в свою очередь является многочленом от x^p. Тогда f(x) является многочленом от x^p2. Пусть f(x) — многочлен от x^pe

f(x) = y( x^pe),

но не является многочленом от x^pe+1. Разумеется, многочлен y(у) неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y(у) имел бы вид c(у^р) и, следовательно, f(x) представлялся бы в виде c(х^pе+1), что противоречит предположению. Следовательно, y(у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители: _m

y(y) = J(y-b_i).

¹

Тогда

_m

f(x) = J( x^pe -b_i)

¹

Пусть a_i— какой-нибудь корень многочлена x^pe -_i. Тогда x_i^pe = _i,

x^pe -_i = x^pe – a_i^pe = (x-a_i) ^pe.

Следовательно, a_i является р^е-кратным корнем многочлена x^pe -b_i и

_m

f(x) = J( x -a_i) р^е.

¹

Все корни многочлена f(x) имеют, таким образом, одну и ту же кратность р^е.

Степень m многочлена y называется редуцированной степенью многочлена f(x) (или корня a_i); число e называется показателем многочлена f (x) (или корня a_i) над полем D. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

n = m р^е,

где m равно числу различных корней многочлена f(x).

Если q — корень неразложимого в кольце D(x) многочлена, обла­дающего лишь простыми корнями, то q называется сепарабельным элементом над D или элементом первого рода над D¹). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, назы­вается сепарабельным. В противном случае алгебраический эле­мент q и неразложимый многочлен f(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение S, все элементы которого сепарабельны над D, называется сепарабельным над D, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраи­ческое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совер­шенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение S = D (q). Когда степень n уравнения f(x) = 0, определяющего это расширение, равна степени (S : D), редуцированная степень m оказывается равной числу изоморфизмов поля S в следующем смысле: рассмот­рим лишь такие изоморфизмы S@S', при которых элементы подполя D остаются неподвижными и, следовательно, S перево­дится в эквивалентное поле S' (изоморфизмы поля S над полем D) и при которых поле-образ S' лежит вместе с полем S внутри некоторого общего для них поля W. В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля W расширение S=D(q) имеет ровно m изоморфизмов над D и при любом выборе поля W поле S не может иметь более m таких изоморфизмов.

Доказательство. Каждый изоморфизм над D должен пере­водить элемент q в сопряженный с ним элемент q' из W. Выбе­рем W так, чтобы f(x) разлагался над W на линейные множители; тогда окажется, что элемент q имеет ровно m сопряженных эле­ментов q,q', ... При этом, как бы ни выбиралось поле W, элемент q не будет иметь в нем более m сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм D(q)@D(q') над D полностью определяется заданием соответствия q®q'. Действительно, если q переходит в q' и все элементы из D остаются на месте, то элемент

3a_kq^k (a_k0D)

должен переходить в

3a_kqN^k

а этим определяется изоморфизм.

В частности, если q — сепарабельный элемент, то m = n и, следо­вательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения f(x) = 0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве W можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого W» во всех предложе­ниях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле W.

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:

Если расширение S получается из D последовательным присоединением m

алгебраических элементов a₁, ..., a_m, причем каждое из a_i,- является корнем

неразложимого над D(a₁, ..., a_i-1) уравнения редуцированной степени '_i, то

_m

расширение S имеет ровно Õn_i¢ изоморфизмов над D и ни в одном

¹

расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля S.

Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения S₁ = D(a₁, ..., a_m-1): в некотором подходящем расширении

_m-1

W₁ есть ровно Õ n_i¢ изоморфизмов поля S над D.

¹ _m-1

Пусть S₁®S₁— один из этих Õ n_i¢ изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле W он может быть продолжен до изоморфизма S = S₁ (a_m) @ S= S(a_m) не более чем n¢_m способами.

Элемент a_m удовлетворяет некоторому уравнению f₁(x) = 0 над S₁ с n¢_m раз­личными корнями. С помощью изоморфизма S₁®S₁многочлен f₁(x) перево­дится в некоторый многочлен f₁(x). Но тогда f₁(x) в подходящем расширении имеет опять-таки n¢_m различных корней и не больше. Пусть a_m— один из этих корней. В силу выбора элемента a_m изоморфизм S₁@S₁ продолжается до изоморфизма S (a_m) @ S (a_m) с a_m®a_m одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

åc_ka_m^k ®å c_ka_m^k

Так как выбор элемента a_m может быть осуществлен n'_m способами, существует n'_m продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма å₁®å₁

Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран

_m-1

Õ n'_i способами,

¹

то всего существует (в том поле W, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)

_{m-1 m}

Õ n'_i×n'_m = Õ n'_i

^{1 1}

изоморфизмов расширения S над полем D, что и требовалось доказать.

Если n_i — полная (нередуцированная) степень элемента a_i над D (a₁,...,a_i-1), то n_i равно степени расширения D (a₁, ... , a_i) поля D(a₁, ... , a_i-1);

следовательно, степень (S : D) равна

_m

Õ n'_i .

¹

Если сравнить это число с числом изоморфизмов

_m

Õ n'_i .

¹

то получится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения S = D(a₁, ... , a_m) над D(в некотором подходящем расширении W) равно степени (S : D) тогда и только тогда, когда каждый элемент a_i сепарабелен над полем D(a₁, ... , a_i-1). Если же хотя бы один элемент a_i несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента a_i быть сепарабельным над предыдущим полем есть свойство самого расширения S независимо от выбора порождающих элементов a_i. Так как произвольный элемент b поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент b оказывается сепарабельным, если все a_i являются таковыми. Итак:

Если к полю D последовательно присоединяются элементы a_i, ... ,a_n и каждый элемент a_i оказывается сепарабельным над полем, полученным присоеди­нением предыдущих элементов a_1, a₂ ,…,a_i-1 то расширение

S = D(a₁, ... ,a_n)

сепарабельно над D.

В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабедьных элементов сепарабельны.

Далее, если b сепарабелен над S, а поле S сепарабельно над D, то эле­мент b сепарабелен над D. Это объясняется тем, что b удовлетворяет некото­рому уравнению с конечным числом коэффициентов a₁, ... ,a_m из S и, сле­довательно, сепарабелен над D (a₁, ... ,a_m). Тем самым сепарабельно и расширение

D (a₁,..., a_m,b).

Наконец, имеет место следующее предложение: числа изоморфизмов конечного сепарабельного расширения S над полем D равно степени расширения (S : D).

4. Бесконечные расширения полей.

Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью конечного или бесконечного расширения. В этой главе рассматри­ваются бесконечные расширения полей, сначала алгебраические, а затем — трансцендентные.

4.1. Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле W было максимальным алгебраическим расшире­нием, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца W(x)полностью разлагается на линейные множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в W(x)разлагается на линейные множи­тели, то все простые многочлены в W(x)линейны и каждый эле­мент любого алгебраического расширения W' поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — aв W(x),т. е. совпадает с некоторым элементом aполя W.

Поэтому дадим следующее определение:

Поле W называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в W(x) разлагается на линейные множители.

Равнозначное с этим определение таково: поле W, алгебраически замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из W(x) обладает в W хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в W(x).

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен f(x) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множе­ство тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебра­ическими числами.

Здесь мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая

Основная теорема. Для каждого поля P существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение W.Сточностью до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнут