Сборник Лекций по матану

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

§1. Основные понятия

Пусть D— некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное числоy, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции fв точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

Функция fназывается возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х₁их₂из множестваG, таких чтоx₁< x₂, выполняется условиеf(x₁) < f(x₂) (f(x₁) >f(x₂)).

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х”и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х₁” будет говориться “значение функции в точке х₁”. В нижеследующем опре­делении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.

Пусть  — некоторое положительное число. -окрестностью точки x₀ называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x₀, x₀ + ), кроме самой точки x₀. Принадлежность точки xокрестности точки можно выразить с помощью двойного неравенства

0 < x – x₀< .

Число называется радиусом окрестности.

§2. Предел и непрерывность функции

Рассмотрим функцию y = x² в точке x₀ = 2. Значение функции в этой точке равно 4.

Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно

выбрать какое-либо поло­жительное число и построить -окрестность точки y₀ = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x₀ = 2 (на рисунке 1 эта окрестность имеет радиус ) , что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x², попадет в -окрестность точки y₀ = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа . Здесь точка x₀ = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.

Рассмотрим функцию . Эта функция не определена в точке x₀ = 2. При x₀ 2 её можно преобразовать:

.

График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x₀ = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y₀ = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положитель­ное число , можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x₀ = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x₀ = 2, причем радиус этой окрестности зависит от ), то соответствующие значения y попадут в -окрестность точки y₀ = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число .

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функцииy = f(x) в точке x₀ (иногда говорят, при x, стремящемся к x₀), если для любого положительного числа  можно найти такое положительное число , что для всех x из -окрестности точки x₀ соответствующие значения y попадают в -окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределомфункцииy = f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа  можно найти такое положительное число , что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < x – x₀< ,

выполняется условие

y – A< .

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x₀, записывается формулой

.

Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x₀, не требуется, чтобы она была определена в этой точке.

Рассмотрим функцию . Очевидно, что если x > 0, то y = 2^x; если x < 0, то y = –2^x; при x = 0 функция не определена.

График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точкеx = x₀, если она определена в этой точке и ее значение f(x₀) равно пределу функции в этой точке: .

Функция y = x² непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Приведем свойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C — постоянная функция.

3. Если существует и C — постоянная функция, то

.

4. Если существуюти , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа  найдется положительное число , такое что из из условия 0 < x – a<  будет следовать B –f(x) < .

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функции f(x) в точке слева (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа  найдется положительное число  такое, что из условия 0 < b – x <  будет следовать C – f(x)< .

Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

; .

Функция f(x) называется непрерывной в точке aсправа (непрерывной в точке слева), если

().

Функция непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке (a, ), если она непрерывна на открытом промежутке (a, ), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке .

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на полубесконечном промежутке (х₀; ). ЧислоАназывается пределом функцииf(x) прих, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числаможно найти такое положительноечислоM(зависящее от), что для всех чиселх, превосходящихМ, выполняется условие:

f(x) – A< .

Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке
(–; х₀). ЧислоАназывается пределом функцииf(x) прих, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числаможно найти такое положительноечислоM(зависящее от), что для всех чиселх, меньших, чем – М, выполняется условие:

f(x) – A< .

Отметим два, так называемых, "замечательных предела".

1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке .

2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S₀ с условием, что через период времени T будет возвращена сумма S_T. Определим величину rотносительного роста формулой

. (1)

Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.

Из формулы (1) легко определить величину S_T:

S_T = S₀(1 + r)

При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S₀ возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз возрастает сумма S₁ = S₀(1 + r), то есть S₂ = S₀(1 + r)². Аналогично получается S₃ = S₀(1 + r)³. Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за лет при расчете по схеме сложных процентов:

S = S₀(1 + r).

В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставкаr и количество начислений за годk. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка T_k составляет часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма S_T рассчитывается по формуле

(2)

Здесь — целая часть числа , которая совпадает с самим числом, если, например, T целое число.

Пусть годовая ставка равна r и производится начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S₀ наращивается до величины, определяемой формулой

(3)

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и (то есть устремить k и к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции S_T и S₁. Применим эту процедуру к формуле (3):

.

Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S₀ за 1 год наращивается до величины S₁^*, которая определяется из формулы

S₁^* = S₀e^r. (4)

Пусть теперь сумма S₀ предоставляется в долг с начислением процента раз в год через равные промежутки времени. Обозначим r_e годовую ставку, при которой в конце года сумма S₀ наращивается до величины S₁^* из формулы (4). В этом случае будем говорить, что r_e — это годовая ставка при начислении процента раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем

.

Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и r_e:

, .

Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.