Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Гимназия №1 города Полярные Зори

Алгебра, геометрия, физика.

Научная работа

ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ”.

Руководители:

Полуэктова Наталья Павловна,

преподаватель алгебры, геометрии

Конкин Александр Николаевич,

преподаватель физики, астрономии

Автор:

Бирюков Павел Вячеславович.

Полярные Зори

Январь-май 2001 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Производная функция: ……………………………………………………………….3

1. Производная функция …………………………………………………………...3

2. Касательная к кривой ……………………………………………………………5

3. Геометрический смысл производной …………………………………………..6

4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции …..7

Производные от элементарных функций: …………………………………………8

1. Производная постоянной ………………………………………………………...8

2. Таблица элементарных производных …………………………………………...8

3. Правила дифференцирования …………………………………………………...8

Изучение функций с помощью производной: …………………………………….9

1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ……………………9

2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ……….11

3. Максимум и минимум функции ……………………………………………….12

4. Признаки существования экстремума …………………………………………12

5. Правило нахождения экстремума ……………………………………………...14

6. Нахождение экстремума при помощи второй производной …………………14

7. Направление вогнутости кривой ………………………………………………16

8. Точки перегиба ………………………………………………………………….17

9. Механическое значение второй производной ………………………………...18

Дифференциал: ………………………………………………………………………19

1. Сравнение бесконечно малых ………………………………………………….19

2. Дифференциал функции ………………………………………………………..19

3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21

4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям …….22

Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике ……….23

Список литературы …………………………………………………………………..34

Рецензия на работу ………………………………………………………………….35

Производная функция

Поставим своей задачей определить скорость, с кото­рой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные слу­чаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на от­резке (а, ). Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, входе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение ∆x; ар­гумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:

∆y=f(x+∆x)-f(x). (I)

Найдем отношение приращения ∆у функции к прира­щению ∆x аргумента:

∆у/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x. (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

(x, x+∆x).

Будем теперь неограниченно приближать ∆x к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆x/∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).