Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета «Математика» в формировании личности. Образовательный и развивающий потенциал математики огромен. В современном обучении математика занимает весьма значительное место.

Изучение основ математики в современных условиях становится все более существенным элементом общеобразовательной подготовки молодого поколения. В настоящее время внимание к школьному математическому образованию усиливается (9), (14).

Содержание школьного курса математики и методика его преподавания – извечный предмет незатихающих и подчас бурных споров. Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, поскольку непрерывно пополняются наши научные знания и подходы к объяснению окружающих нас явлений. Несомненно, что содержание школьного преподавания должно изменяться с процессом науки, несколько отставая от него и давая возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы. Периодическое обновление содержания школьного курса математики – необходимый элемент развития общего образования (1), (4), (19), (20).

Совершенно ясно, что начальное и среднее математическое образование со своими неизменными программами и методами полностью оторвано от современной математической науки, от ее фундаментальных концепций, идей, от ее приложений. Современная школьная программа по математики сложилась в прошлом веке. Она катастрофическим образом отстает от требований современной жизни.

Бурное развитие всех отраслей техники и связанный с этим новый этап в развитии математики как науки начинает настоятельно влиять на школу. Наступило время серьезного пересмотра содержания школьного обучения, причем начать следует с критического анализа материала программы сложившегося в настоящее время школьного курса математики. Нужно отметить, что с точки зрения новых требований в школе наша действующая программа по математике содержит много такого, что не имеет серьезного теоретического и практического значения. В школе уделяется слишком много внимания факторам и методам, не имеющим значения для практической деятельности в любой области (20).

Математика, действительно полезная в настоящее время, - это современная математика. Она имеет наибольший шанс быть созвучной умственным запросам современных детей. Поэтому, особенно назрела необходимость внедрения в школьное обучение элементов современной математики.

На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийся в нашем веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий. Естественно, что здесь на первый план выдвигается теория групп, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую группы играют в современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия. Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения теории групп сочетаются с простотой ее основных положений – понятий группы, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики (3), (7).

Кроме того, изучение элементов теории групп полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

В связи с этим проблема нашего исследования заключается в разработке и апробации факультативного курса «элементы современной алгебры для учащихся старших классов, обоснование возможности и целесообразности внедрения элементов современной алгебры в школьное математическое образование.

Цель исследования – выявление возможностей введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов для учащихся 9-10-х классов, обоснование целесообразности и доступности данного учебного материала и влияние его на развитие абстрактного мышления школьников.

Объект исследования – элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике.

Предмет исследования – теория групп на факультативных занятиях и влияние этой теории на развитие абстрактного мышления школьников.

Гипотеза исследования – введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.

В соответствии с целью и гипотезой в ходе исследования решались следующие задачи:

на основе анализа литературы обосновать возможность и целесообразность использования элементов современной алгебры на факультативных занятиях;
провести психолого-педагогический анализ развития абстрактного мышления учащихся старших классов;
разработать в рамках факультативного курса «Элементы современной алгебры» занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп», а также разработать программу небольшого факультативного курса «Элементы теории групп. Симметрические группы»;
экспериментально проверить эффективность внедрения в программу факультативных курсов по математике элементов теории групп.

Методы исследования: анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по данной теме; отбор учебного материала для использования на факультативных занятиях; осуществление педагогического эксперимента.

Экспериментальная база исследования – национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова (г. Абакан, Республика Хакасия).

Результаты исследования обсуждались на семинарах, доказывались на научно-практической конференции «Катановские чтения» в апреле 2000 года.

Структура дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

ГЛАВА 1. ПОДГРУППЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП

В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики. Особенно велика роль современной математики.

Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра.

В центре внимания современной абстрактной математики не только такие алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и объекты новой природы (27).

Одним из основных разделов современной алгебры является теория групп. Группы – это один из основных типов алгебраических структур.

Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы вы кристаллизировалась с ее сегодняшней ясностью.

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться (3).

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами – в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Понятие группы тесно связано с понятием подгруппы. Слово «подгруппа» означает «группа внутри группы».

Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содержание теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах построения группы по ее подгруппам. Кроме того, с помощью подгрупп можно описать внутреннюю структуру некоторых групп. Выделение тех или иных специальных типов групп также связано преимущественно с понятием подгруппы. Поэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории группы (3), (8).

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение: множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка n!. Эта группа называется симметрической группой n-й степени и обозначается S_n.

Определение: подмножество Н множества S_n называется подгруппой группы S_n, если оно является группой относительно действия умножения перестановок.

Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы S_n.

Симметрическая группа S_n имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы S_n удается лишь для небольших n, а для n больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.

Часто подгруппы симметрической группы S_n называют просто группами перестановок. В частности, само множество S_n также является своей подгруппой, то есть группа S_n будет подгруппой самой себя. Кроме того, множество состоящее лишь из одного единичного элемента, также является подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E^-1=E. Такая подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы S_n выполняется неравенство: 1<|H|

Единичная подгруппа и вся группа называются несобственными подгруппами, а все остальные подгруппы называются собственными.

В основном нас будут интересовать собственные подгруппы групп.

1.2. ТЕОРЕМЫ О ПОДГРУППАХ

Для каждого подмножества множества S_n, которое является подгруппой, должны выполняться все требования определения группы. Но проверять все эти требования не нужно, так как справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: подмножество Н группы S_n, которое содержит по меньшей мере одну перестановку, является подгруппой группы S_n тогда и только тогда, когда:

вместе с каждыми двумя элементами в него входит их произведение ;
если , то .

Доказательство.

Необходимость.

Действительно, если Н – подгруппа группы S_n, то она замкнута относительно действия упражнения перестановок, которые принадлежат Н, то есть выполняется условие 1). Каждый элемент из Н имеет обратный, следовательно, выполняется условие 2).

Достаточность.

Пусть для множества Н перестановок выполняются условия 1) и 2). Проверим, имеет ли множество Н все свойства группы. Условие 1) означает, что множество Н замкнуто относительно действия умножения своих элементов следовательно, выполняются первое требование определения группы. Ассоциативность действия умножения перестановок Н имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат Н) имеет такое свойство. Тождественная перестановка также должна принадлежать множеству Н. Действительно, Н содержит хоть одну перестановку, например , а тогда Н принадлежит по условию 2) и перестановка . Поэтому по условию 1) Н принадлежит перестановка . Наконец, условие 2) показывает, что каждый элемент из Н имеет обратный, который также принадлежит Н. Следовательно, Н является подгруппой группы S_n.

Теорема доказана.

Пример 1.

Пусть Н – множество перестановок , , , .

Проверим, является ли Н подгруппой группы S₄.

Имеем: , следовательно, для множества Н выполняется условие 2) только что доказанной теоремы. Проверим выполнение условия 1) теоремы.

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементов того же множества, то есть для Н выполняется и условие 1) упомянутой выше теоремы.

Таким образом, подмножество Н является подгруппой группы S₄.

Пример 2.

Пусть Т – множество перестановок , , , .

Проверим, является ли Т подгруппой группы S₄.

Оказывается, что множество Т не является подгруппой группы S₄, так как для него не выполняется ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. Действительно, , так как , .

Следует отметить, что сформулированная выше теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка условия 2) является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть - группа, Н - ее конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножения. Тогда Н – подгруппа группы G.

Доказательство.

Докажем замкнутость Н относительно существования обратного элемента.

Возьмем произвольный элемент . Если , то и .

Пусть . Рассмотрим степени элемента : - все эти числа принадлежат Н (так как Н замкнуто относительно умножения по условию). Так как множество Н конечно, то все эти числа различны быть не могут.

Значит, существуют . Пусть (в случае доказательство проводится аналогично). Тогда и , , , .

Следовательно, - обратный для , то есть . Но . Следовательно, , то есть . Таким образом, для произвольного элемента получили, что . Значит, Н – подгруппа группы G.

Теорема доказана.

Нам известно, что симметрическая группа S_n является конечной. Поэтому для того чтобы подмножество Н группы S_n являлось подгруппой группы S_n, достаточно чтобы произведение произвольных двух элементов из Н также принадлежало Н.

1.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА

Особенный интерес представляет множество A_n всех четный перестановок на множестве из n символов. Ясно, что это подмножество симметрической группы S_n. Утверждается, что A_n является подгруппой группы S_n. Чтобы доказать это, проверим, что A_n удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу:

замкнутость.

Если р₁ и р₂ – перестановки из A_n, представимые в виде произведений n₁ и n₂ транспозиций соответственно, то их произведение можно записать с помощью транспозиций. Если n₁ и n₂ – четные числа, то и n₁+n₂ четно, откуда можно заключить, что перестановка четная и, следовательно, эта перестановка принадлежит A_n.

обратимость.

Перестановка р имеет обратную р^-1 (в группе S_n); р*р^-1=Е можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку Е – четная перестановка. Значит, если р – четная перестановка, то р^-1 также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы A_n есть обратный в A_n.

Следовательно, для подмножества A_n выполняются два условия теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не проверять, так как S_n – конечная группа). Поэтому A_n является подгруппой симметрической группы S_n. Подгруппа A_n группы S_n называется знакопеременной группой.

Теорема: порядок группы A_n равен .

Доказательство.

Пусть а – транспозиция из симметрической группы , пусть а=(12)=(12)(3)(4)…(n). Умножим каждый элемент группы S_n слева на а=(12). В результате снова получим множество всех элементов из S_n и ни один из них не повторяется дважды. Но произведение любой четной перестановки из S_n и элемента (12) является нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) является четной перестановкой. Множество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. Следовательно, порядок группы A_n равен .

Теорема доказана.

Эта группа играет очень важную роль в теории групп перестановок.

1.4. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Пусть Н и G – группы перестановок, причём Н является подгруппой G. В теории групп существует теорема, доказанная Лагранжем, устанавливающая связь между порядками групп Н и G. Эта теорема очень часто применяется в теории групп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G.

Доказательство.

Пусть Е, а₁, а₂, …, а_n_-1 – все перестановки, содержащиеся в группе G, - все перестановки из Н (то есть ). Если Н=G, то утверждение теоремы справедливо, поэтому предположим, что НG (Н – собственная подгруппа G). В силу этого предложения существует перестановка такая, что . Рассмотрим ряд перестановок.

(1)

Все перестановки ряда (1) различны: если бы для каких-то i, j имело место равенство , то, умножив его правую и левую части на , мы получили бы равенство . Кроме того, ни одна из них не содержится в подгруппе Н: если бы для какого-то номера i имело место включение , то это означало бы, что для какого-то j. Из этого равенства имеем , а так как Н – группа перестановок, то , что противоречит выбору этой перестановки.

Если перестановками группы Н и ряда (1) исчерпаны все перестановки из G, то |G|=2|H|, и все доказано. В противном случае найдется такая перестановка , что и не содержится в ряде (1). Определим для нее ряд перестановок.

(2)

Аналогично проверяется, что:

все перестановки ряда (2) различны;
они не содержатся в Н;
ни одна из них не встречается среди перестановок ряда (1).

Если перестановками из подгруппы Н и рядов (1) и (2) исчерпываются все элементы группы G, то |G|=3|H|, и все доказано.

В противном случае продолжаем процесс выбора перестановок и построения рядов вида (1) и (2) дальше. Так как группа G конечная, то на каком-то, например, на k-м шаге все перестановки из G будут исчерпаны. Иными словами, все их можно расположить в такую таблицу:

,	,	,	...,	,
,	,	,	...,	,
*,	*,	*,	...,	*, (3)
...,	...,	...,	...,	...,
*,	*,	*,	...,	*,

при этом все перестановки в каждой из строк этой таблицы различны и любые 2 строки не имеют общих элементов. Поскольку общее число элементов в таблице равно n (порядок группы G), а число элементов в каждой строке равно m (порядок группы Н), то имеем равенство , то есть m является делителем n.

Теорема доказана.

Число k называют индексом подгруппы Н в группе G и обозначают (G:H). Из доказательства теоремы Лагранжа мы получаем, что имеет место равенство |G|=|H|(G:H).

Так как порядок циклической подгруппы, порожденной перестановкой , совпадает с порядком перестановки , то из теоремы Лагранжа получаем, что порядок любой перестановки из G – делитель |G|.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп данной группы. Например, собственные подгруппы из симметрической группы S₃ могут состоять из двух и трех перестановок (делители числа 3!=6), поэтому не нужно непосредственно проверять являются ли подгруппами группы S₃ подмножество, состоящее из 4 или 5 перестановок. А ведь эта проверка длинная, так как есть подмножество из S₃, состоящие из 4 или 5 элементов. Таким образом, даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

1.5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА

Сформулируем некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.

Теорема: если порядок группы G есть простое число, то:

группа G не имеет собственных подгрупп;
группа G является циклической.

Доказательство.

Утверждение 1) следует непосредственно из теоремы Лагранжа и определения простого числа.

Для доказательства утверждения 2) обозначим через любой отличный от Е элемент группы G простого порядка.

Если порядок равен n, то и n>1. Множество , n-1>0, составляет циклическую группу n-го порядка в группе G, так что Н – подгруппа данной группы G простого порядка. По теореме Лагранжа порядок n этой подгруппы является делителем числа р. Так как , то n=p. Но Н – подгруппа группы G. Следовательно, Н совпадает с группой G. Это доказывает утверждение 2).

Теорема доказана.

Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G есть подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку группы Н. Но для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если порядок группы G равен g, а h – делитель числа g, то обязательно ли группа G имеет подгруппу порядка h? Для доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу А₄. Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.

Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка h, где h – делитель числа g, указывается в следующей теореме Силова.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если h=pⁿ, где р – простое число, а n – положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка h.

Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы А₄ равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4=2², но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.

1.6. ЗАДАЧИ

1. Описать все подгруппы симметрической группы S₃.

Решение.

Порядок группы S₃ равен 3!=6. из теоремы Лагранжа следует, что собственные подгруппы из S₃ могут состоять из двух или трех перестановок. Следовательно, подмножества S₃, состоящие из четырех или пяти перестановок, подгрупп не образуют.

1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент , то есть .

Элемент обратный к не может совпадать с Е, поэтому . Последнее равенство можно записать так: , то есть Е=. Следовательно, а – перестановка второго порядка, то есть цикл длины 2.

Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы S₃. эти подгруппы легко находятся с помощью таблицы Кэли. Это будут такие подмножества: , , . Легко убедиться, что подмножества А, В и С действительно являются подгруппами группы S₃, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.

Для подмножества А:

Для подмножества В:

Для подмножества С:

2) Теперь опишем подгруппы, которые состоят из трех перестановок. Если - такая подгруппа, то перестановки и должны иметь порядок 3. действительно, если одна из них, например , имеет порядок 2, то =^-1. Пусть , тогда и . Тогда Следовательно, получили противоречие, так как у нас и различны. Значит, , то есть перестановка тоже будет иметь порядок 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Например, .

Следовательно, произведение * не принадлежит G и G тогда не является подгруппой.

Таким образом, перестановки и должны иметь порядок 3, то есть , где ,

Как видим, произведение каждых двух элементов множества G является элементом из G, следовательно, выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, подмножество G множества S₃ является подгруппой группы S₃.

Таким образом, группа S₃ имеет шесть разных подгрупп:

Результат только что рассмотренной задачи наталкивает нас на предположение о том, что если группа имеет порядок n, то она имеет и n различных подгрупп. Чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение рассмотрим следующую задачу.

2. Опишите все подгруппы симметрической группы S₄.

Решение: порядок группы S₄ равен 4!=12. По теореме Лагранжа, собственные подгруппы из S₄ могут состоять из 2, 3, 4, 6, 8, 12 перестановок. По теореме Силова можно лишь утверждать, что группа S₄ содержит подгруппы порядка 2, 3, 4=2², 8=2³, но ничего не можем сказать о подгруппах порядка 6 и 12. надо будет доказать существование или отсутствие подгрупп порядка 6 и 12.

1) Опишем подгруппы, состоящие из двух перестановок.

2) Опишем подгруппы, состоящие из трех перестановок.

10.

11.

12.

13.

3) Опишем подгруппы, состоящие из четырех перестановок.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

4) Опишем подгруппы, состоящие из шести перестановок.

21.

22.

23.

24.

5) Опишем подгруппы, состоящие из восьми перестановок.

25.

26.

27.

6) Опишем подгруппы, состоящие из двенадцати перестановок.

28.

7) Опишем несобственные подгруппы группы S₄.

29.

30. .

Все описанные выше подмножества действительно являются подгруппами, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Кроме того, в группе S₄ имеются подгруппы 6-го и 12-го порядка.

Следовательно, симметрическая группа S₄ имеет 30 разных подгрупп, а порядок группы S₄ равен 24. поэтому, сформулированное нами предложение о том, что количество подгрупп некоторой группы равно порядку этой группы, оказалось не верным.

3. Доказать, что подмножество группы S₄ является коммуникативной подгруппой. Составить таблицу умножения подгруппы Н.