Конспект лекций по дискретной математике

Приложение Булевой алгебры к синтезу комбинационных схем

Двоичная система логики:

1. Элементы Булевой алгебры:

а) числа

b) переменные

с) операции

d) выражения

e) функции

f) законы

А) Числа:

Два числа: логический ноль и логическая единица в Булевой алгебре отождествляются с понятиями “истина” и ”ложь”.

В) Переменные:

Булевы (логические, двоичные) переменные называются переменными, принимающими значение из множества - ноль и единица.

С) Операции:

1. Отрицание (инверсия).

2. Конъюнкция (логическое умножение).

3. Дизъюнкция (логическое сложение).

Унарной является операция отрицания.

Обозначения:

1. Отрицание , щ x

2. Конъюнкция a&b, a·b, ab, aЩb

3. Дизъюнкция aЪb

D) Выражения:

Переменные, знакооперации, соединенные вместе при возможном наличии скобок для задания порядка выполнения операций.

Приоритет задается порядком операции.

Е) Функции:

Булевой (логической) функцией называется такая функция, аргументами которой являются булевы переменные, и сама функция принимает значение из множества ноль и единица.

Областью определения Булевой функции является совокупность 2ⁿ двоичных наборов ее аргументов. Набор аргументов можно рассматривать как n-компонентный двоичный вектор.

Формы задания Булевой функции:

1. Аналитическая (в виде логического выражения)

2. Табличная (в виде таблицы истинности)

3. Графическая

4. Таблично-графическая (в виде карты Карно)

5. Числовая

6. Символическая форма

1) Аналитическая:

_ _

y=(x₁Ъ x₂) x₃

_ _ _ _ _ _

y=x₁ x₂ x₃Ъ x₁ x₂ x₃Ъ x₁ x₂ x₃

2) Табличная:

Переход от аналитической к табличной однозначен! Обратный переход не является однозначным.

Основные законы (тождества)

1) ab=ba

aЪb=bЪa

2) Ассоциативный:

a(bc)=(ab)c

aЪ(bЪc)= (aЪb) Ъc

3) Дистрибутивный:

a(bЪc)=abЪac

aЪ(bc)=(aЪb)(aЪc)

4) Закон двойного отрицания:

=

a=a

5) Тавтологии:

aa=a

aЪa=a

6) Законы нулевого элемента:

a0=0

aЪ0=a

7) Законы единичного элемента:

а1=а

аЪ1=1

8) Законы дополнительного элемента:

_

В Булевой алгебре дополнительным элементом к а является а.

_ _

аЪа=1; аа=0

9) Двойственности (деМоргана):

__ _ _

ab=aЪb

___ _ _

aЪb=a b

Cледствия: ab=aЪb; aЪb=a b

10) Поглощения:

aЪab=a

a(aЪb)=a

11) Сокращения:

_

аЪаb=aЪb

_

a(aЪb)=ab _ _ _ _

Cледствия: aЪab=aЪb; a(aЪb)=ab

12) Склеивания:

_ _

abЪab=a; (aЪb)(aЪb)=a

Комментарии:

1) Для доказательства законов можно использовать:

а) Метод совершенной индукции.

б) Использование одних законов для доказательства других законов.

Метод совершенной индукции состоит в доказательстве эквивалентности левой и правой части на всем множестве наборов аргументов. Для этого составляется таблица истинности.

2) Большинство законов задается парой соотношений, при этом одно соотношение можно получить из другого заменив операции конъюнкции на дизъюнкцию или дизъюнкцию на конъюнкцию (метод не применим в законах, в которых участвуют константы). С константами же константы заменяются на противоположные значения. (Дуальность законов Булевой алгебры)

3) Некоторые законы можно распространять на произвольное число элементов.

4) В любом законе можно заменить любую букву на произвольное логическое выражение.

5) Законы применяются для упрощения Булевых функций.

Разнообразие Булевых функций.

1. Булева функция от одной переменной.

2. Возможные функции от двух переменных.

Определение: Булева функция от n аргументов fⁿ(x) называется вырожденной по аргументу x_i, если ее значение не зависит от этого аргумента, то есть для всех наборов аргументов имеет место равенство:

f(x₁, x₂, ... , x_i-1, 0, x_i+1, ... , x_n) = f(x₁, x₂, x_i-1, 1, x_i+1, ... , x_n).

Функция запрета x₁Dx₂ принимает значение, равное нулю при равенстве запрещающей переменной (x₂) единице и повторяет значение аргумента x₁ при равенстве запрещающей переменной нулю.

Понятие импликации в Булевой алгебре отождествляется с выражением следования (если ... то ... ).

Пример: Имеют место два простых высказывания.

А. На небе тучи.

В. Идет дождь. В®А

Из истины не может следовать ложь!

Некоторые функции от трех переменных.

Функция - сумма по модулю 2 и исключающее ИЛИ являются эквивалентными только для двух аргументов.

_n

Общее разнообразие функций от n аргументов равно 2²

В самом компактном виде любую Булеву функцию можно представить символически: , где n-количество аргументов, а N-десятичный эквивалент двоичного набора значений функции на упорядоченном множестве аргументов.

Пример:

f³(x)=x₁Еx₂Еx₃=

Невырожденные функции от двух переменных с добавлением функции отрицания принято называть функциями Булевой алгебры. С учетом обращаемости некоторых базовых функций к некоторым аргументам, их общее количество равно девяти.

Нормальные формы Булевых функций

Нормальные формы - это особый класс аналитических выражений, используемых при решении задачи минимизации Булевых функций и для перехода от табличной формы задания к аналитической. Нормальные формы строятся на основании операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, причем отрицание только единственной переменной.

Определение: Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется конъюнкция (дизъюнкция) конечного числа попарно различимых переменных или их отрицаний.

Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) принято называть конъюнктивным (дизъюнктивным) термом.

В частном случае терм, как конъюнктивный так и дизъюнктивный может состоять из единственной буквы (литерала). Под буквой будем понимать аргумент Булевой функции и его отрицания.

Примеры конъюнктивных термов:

_ _

x₁, x₂, x₁x₃, x₂x₄x₅ (терм)

___ _

x₁x₂, x₁x₂x₃ (не терм)

Рангом терма называется количество букв входящих в него.

Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой Булевой функции называется дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа попарно различимых конъюнктивных (дизъюнктивных) термов.

Каноническая нормальная форма.

Конституентой единицы (нуля) называется конъюнктивный (дизъюнктивный) терм максимального ранга. Т.е. для Булевой функции от n переменных конституента включает в себя n букв.

Свойство конституенты: Конституента единицы (нуля) принимает значение единицы (нуля) на одном и только одном наборе аргументов.

Пример: _ _

n=4 x₁x₂x₃x₄ (1010)=1

_ _ _

x₁Ъx₂Ъx₃Ъx₄=0

Определение: Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется канонической, если все ее дизъюнктивные (конъюнктивные) термы представляют собой конституенты единицы (нуля). Иногда канонические формы называют совершенными.

Пример получения канонических форм:

y=x₁Еx₂

КДНФ - каноническая дизъюнктивная нормальная форма:

_ _

y=x₁x₂Ъx₁x₂

ККНФ - каноническая конъюнктивная нормальная форма:

_ _

y=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)

1) С помощью канонических форм наиболее просто осуществляется переход от табличной формы задания Булевой функции к аналитической.

2) С помощью канонических форм можно осуществить преобразование любой функции в Булев базис.

3) Любая Булева функция за исключением логического нуля и логической единицы имеет единственные КДНФ и ККНФ. Логическую единицу можно представить в виде КДНФ и логический ноль в виде ККНФ.

4) Правило перехода от табличной формы задания Булевой функции к аналитической:

а) в таблице истинности выделяются все наборы аргументов, при которых функция равна единице (нулю).

б) для каждого из этих наборов составляют конституенты единицы (нуля).

в) объединением конституенты единицы (нуля) знаками дизъюнкции (конъюнкции) получается аналитическая форма в виде КДНФ (ККНФ).

Пояснение: при составлении конституент единицы (нуля) используют следующее правило:

Если некоторый аргумент принимает на наборе значение равное нулю, то в конституенту единицы он входит с отрицанием, а в конституенту нуля без него.

5) КДНФ и ККНФ представляют собой две различные, но эквивалентные аналитические формы булевой функции. Это означает, что из одной формы можно получить другую, используя законы Булевой алгебры.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)=x₁x₁Ъx₁x₂Ъx₂x₁Ъx₂x₂=x₁x₂Ъx₂x₁=x₁x₂Ъx₁x₂ (КДНФ)

6) Принципиально существует другой способ получения ККНФ:

а) составляется КДНФ, но не для самой, а для ее отрицания.

б) берется отрицание над полученной КДНФ, которое снимается с применением закона двойственности.

_ _ _ = ------------ ----- ---- _ _

y=x₁x₂Ъx₁x₂, y=y=x₁x₂Ъx₁x₂=x₁x₂ x₁x₂=( x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)

Разнообразие двоичных алгебр

В связи с тем, что любую сколь угодно сложную Булеву функцию можно представить в канонических формах, то есть записать ее с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции эта система Булевых операций обладает свойством функциональной полноты, т.е. образует так называемый базис. Естественно предположить, что система Булевых операций является не единственной, с помощью которой можно образовать некоторый базис.

В принципе любую из базовых функций можно отождествить соответствующей операцией и на основе совокупности этих операций построить двоичные алгебры, отличные от Булевой. К наиболее распространенным двоичным алгебрам относятся: алгебра Жигалкина (Е, &); алгебра Вебба (Пирса) (Ї); алгебра Шеффера ( | ). В каждой из этих алгебр действуют собственные законы. Естественно существуют взаимно однозначные переходы от операций одного базиса к операциям другого.

Числовое представление Булевых функций

Для любой Булевой функции можно предложить две числовые формы, основанные на перечислении десятичных эквивалентов наборов аргументов на которых функция принимает значение единицы (нуля).

f³(x)=(0,2,6,7) - от этой числовой формы легко перейти к КДНФ путем замены каждого из наборов в перечислении конституенты единицы.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=x₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃=x₁x₃(x₂Ъx₂)Ъx₁x₂(x₃Ъx₃)=x₁x₃Ъx₁x₂ (ДНФ)

f³(x)=&(1,3,4,5)

_ _ _ _ _ _

y=(x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (*)

Преобразование произвольной аналитической формы Булевой функции в нормальную

В Булевой алгебре в виде теоремы доказывается следующее утверждение: существует единый конструктивный подход, позволяющий преобразовать аналитическое выражение Булевой алгебры в произвольной форме к нормальной форме.

Пример:

_ _ _ _ _ _

y=f⁴(x)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁|x₄)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁x₄)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁Ъx₄)=

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

=x₁x₂Ъx₁x₂x₄Ъx₁x₂x₃Ъx₂x₃x₄₌x₁x₂Ъx₁x₂x₃Ъx₂x₃x₄=x₁(x₂Ъx₂x₃)Ъx₂x₃x₄=

_ _ _ _

=x₁(x₂Ъx₃) Ъx₂x₃x₄=x₁x₂Ъx₁x₃Ъx₂x₃x₄ (КДНФ)

Замечания:

1) В общем случае любая Булева функция может иметь несколько КДНФ, отличающихся либо количеством термов, либо количеством букв в этих термах.

2) При построении комбинационной схемы, реализующей данную функцию по ее нормальной форме предпочтительней та, которая обладает наименьшим числом термов и наименьшим количеством букв в этих термах.

3) По сравнению со схемой, построенной по ДНФ, схема, построенная по скобочной форме (*), является более предпочтительной т.к. при одном и том же числе логических элементов (И, ИЛИ) содержат меньшее число входов (9 вместо 10).

Задача преобразования нормальной формы Булевой функции в скобочной форме называют задачей фактеризации.

4) Сущность конструктивного подхода при получении ДНФ состоит в следуюшем:

а) преобразование операций не-Булевого базиса к операциям Булевого базиса (см. последние строки таблицы)

б) снятие отрицаний над выражениями с применением законов двойственности

в) раскрытие скобок с применением дистрибутивного закона

г) упрощения выражения с применением закона поглощения

Приведение произвольных нормальных форм Булевой функции к каноническим

Для приведения произвольной ДНФ к КНФ необходимо использовать правило дизъюнктивного развертывания применительно к каждому из неполных конъюнктивных термов.

_ _

P=P(x_iЪx_i)=Px_iЪPx_i, где P-неполный конъюнктивный терм (ранг этого терма

меньше n), а x_i - недостающий в терме аргумент.

Пример:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=x₁Ъx₂x₃(ДНФ)=x₁(x₂Ъx₂)(x₃Ъx₃) Ъx₂x₃(x₁Ъx₁)=x₁x₂x₃Ъ x₁x₂x₃Ъ

_ _ _ _ _ _ _ _ _

Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъ x₁x₂x₃Ъ x₁x₂x₃ (КДНФ)

Замечание:

После раскрытия скобок могут получиться одинаковые термы, из которых нужно оставить только один.

y= (0,1,2,3,5)=f³

Преобразование КНФ к ККНФ реализуется путем применения правила конъюнктивного развертывания к каждому неполному дизъюнктивному терму.

_ _

P=PЪx_ix_i=(PЪx_i)(PЪx_i)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=x₁Ъx₂x₃(ДНФ)=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₃)(КНФ)=(x₁Ъx₂Ъx₃x₃)(x₁Ъx₃Ъx₂x₂)=

_ _ _ _ _ _ _ _

=(x₁Ъx₂Ъx₃)(x₁Ъx₂Ъx₃)(x₁Ъx₂Ъx₃)(x₁Ъx₂Ъx₃)(ККНФ)

y=(4,6,7)

Минимизация булевых функций на картах Карно(см. Практику).

Метод Квайна-МакКласски базируется на кубическом представлении булевых функций.

Кубическое представление булевых функций.

В кубическом представлении булевой функции от n переменных все множество из 2ⁿ наборов ее аргументов рассматривается как множество координат вершин n-мерного куба с длинной ребра равной 1. В соответствии с этим наборы аргументов, на которых булева функция принимает значение равное 1 принято называть существенными вершинами.

Существенные вершины образуют так называемые ноль-кубы (0-кубы). Между 0-кубами существует отношение соседства и определена операция склеивания. Два 0-куба называются соседними если они отличаются только по одной координате.

Пример : n=4 0101

0001 - два соседних 0-куба

результат склеивания : 0x01 (*)

Склеивание 2-х соседних 0-кубов дает в результате 1-куб. Координата, отмечаемая символом х, называется свободной (независимой, несвязанной), а остальные (числовые) координаты называются зависимыми (связанными). Аналогичное отношение соседства существует между 1-кубами, в результате склеивания которых получается 2-куб.

0х01

0х11 - 0хх1 (**)

В продолжении аналогии два r-куба называются соседними если они отличаются только по одной (естественно зависимой) координате. r-куб содержит r независимых и n-r зависимых координат. В результате склеивания 2-х соседних r-кубов образуется (r+1)-куб содержащий r+1 независимую координату.

Операция склеивания над кубами соответствует применению закона склеивания к конъюнктивным термам, отождествляемым с этими кубами.

Пример : для склеивания (*)

_ _ _ _ _ _ _

х₁х₂х₃х₄Ъ х₁х₂х₃х₄= х₁х₃х₄

(0101) (0001) (0х01)

_ _ _ _

для (**) х₁х₃х₄Ъ х₁х₃х₄= х₁х₄

(0х01) (0х11) (0хх1)

Определения.

Кубическим комплексом K⁰(f) булевой функции f называется множество 0-кубов этой функции. В общем случае кубическим комплексом K^r(f) булевой функции f называется объеденение множеств кубов всех размерностей этой функции

m

k(f)=UK^r(f) m-максимальная размерность кубов функции f.

r=0

Пример получения кубических комплексов

f³(x)=V(1,2,3,6,7) |001 (1) |0x1 (1-3) (1)

(f=1) |010 (2) |01x (2-3) (2)

K⁰(f)=|011 (3) K¹(f)=|x10 (2-4) (3) K²(f)=|x1x (2-5)

|110 (4) |x11 (3-5) (4)

|111 (5) |11x (4-5) (5)

K³(f)=пустому множеству

K(f)=K⁰(f)UK¹(f)UK²(f)

Для получения кубического комплекса K(f) необходимо провести всевозможные операции склеивания над 0-кубами, 1-кубами и т.д. до тех пор пока на очередном шаге не получится K^r+1(f)=пустому множеству. При склеивании 1-кубов 2-кубы представлены в 2-х экземплярах как результаты склеивания 2-х различных пар 1-кубов.

Распространяя этот принцип можно утверждать, что r-кубы как результат склеивания (r-1)-кубов получаются в r-кратном количестве экземпляров.

Куб, входящий в состав кубического комплекса K(f) называется максимальным, если он не вступает ни в одну операцию склеивания.

В приведенном примере максимальными кубами являются х1х и 0х17.

Геометрическая интерпретация кубов малой размерности. Графическое представление булевых функций.

Подобный подход носит ограниченный характер и как правило является наглядным для булевых функций от 2-х и 3-х переменных.

F³(x)=V(1,2,3,6,7)

(f=1)

Геометрическим местом 0-куба является точка, представляющая существенную вершину.

Два соседних 0-куба являются концами какого-либо ребра.

Геометрическим местом 1-куба является ребро, замыкаемое склеивающимися 0-кубами, образующими данный 1-куб.

Два параллельных ребра, образующих грань, являются образами склеивающихся 1-кубов. В соответствии с этим геометрической интерпретацией 2-куба является грань, образуемая парой параллельных ребер. Так как любую грань можно определить одной из пар параллельных ребер, 2-куб может быть получен как результат склеивания двух различных пар 1-кубов, то есть представляется в двух экземплярах.

Геометрическим образом 3-куба можно считать 3-х мерный куб. Так как он может быть образован 3-мя способами как пара параллельных граней, то при склеивании он получается в трех экземплярах.

Покрытия булевых функций.

Между кубами различной размерности, входящих в кубический комплекс K(f), существует отношение включения или покрытия. Принято говорить, что куб А меньшей размерности покрывается кубом Б большей размерности, если куб А включается в куб Б. Это означает, что при образовании куба Б хотя бы в одном склеивании учавствует куб А.

Отношение включения (покрытия) между кубами принято обозначать АМБ. В теории множеств отношение включения связывает между собой некоторое множество и его подмножества.

Для рассмотренного примера отношения включения имеют место между 001М0х1; 011Мx11Мx1x... любой 1-куб покрывает 2 0-куба, 2-куб - 4 0-куба и 2 1-куба, 3-куб покрывает 8 0-кубов, 12 1-кубов и 6 2-кубов.

Покрытием булевой функции f называется такое подмножество кубов из кубического комплекса K(f), которое покрывает все существенные вершины функции.

В связи с тем, что любому кубу комплекса K(f) можно поставить в соответствие конъюнктивный терм, для любого покрытия можно представить некоторую ДНФ булевой функции.

Частным случаем покрытия булевой функции является кубический комплекс K⁰(f), покрытие c⁰(f)=K⁰(f). Этому покрытию соответствует КДНФ.

Для примера покрытием является также

|0x1

|01x

c1(f)=K1(f)=|x10

|x11

|11x

этому покрытию соответствует ДНФ вида

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

f=x₁x₃vx₁x₂vx₂x₃vx₂x₃vx₁x₂ приведенная ДНФ не является минимальной.

В качестве минимальной еще одного покрытия можно использовать множество максимальных кубов

|0x1

c²(f)=|x1x

Действительно, куб 0х1 покрывает существенные вершины 0х1Й(001, 011), а куб x1xЙ(010, 011, 110, 111).

Множество максимальных кубов булевой функции всегда является ее покрытием.

Покрытие c²(f) соответствует ДНФ вида х₁х₃vx₂. Эта ДНФ является минимальной. Покрытие булевой функции, которое соответствует минимальной ДНФ называется минимальным покрытием.

Минимальное покрытие должно состоять только из максимальных кубов.

В частном случае все множество максимальных кубов является минимальным покрытием. Это справедливо для нашего примера. В общем случае множество максимальных кубов является избыточным и для получения минимального покрытия достаточно взять некоторое его подмножество.

Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)

(f=1)

|000 (1) |00x (1-2)

|001 (2) |x00 (1-3)

K⁰(f)=|100 (3) K¹(f)=|1x0 (3-4)

|110 (4) |11x (4-5)

|111 (5)

Для данного примера множество максимальных кубов совпадает с комплексом K¹(f). Z(f)=K¹(f)

Минимальными покрытиями являются

|00x |00x

с¹(f)=|11x c²(f)=|11x

|x00 |1x0

Из анализа покрытия существенных вершин максимальными кубами из комплекса K¹(f) следует :

1. Куб 00х должен обязательно включаться в покрытие, так как только он покрывает существенную вершину 001, аналогично 11х покрывает 111.

Множество максимальных кубов без которых не может быть образовано покрытие булевой функции называется ядром покрытия T(f)=|00x

|11x

2. Так как ядром покрытия кроме существенных вершин 001 и 111 покрываются также существенные вершины 000 и 110, то не покрытой ядром остается только существенная вершина 100. Для ее покрытия достаточно взять 1 из оставшихся максимальных кубов (х00 или 1х0).

Выводы :

Задача получения минимальной ДНФ сводится к задаче получения минимального покрытия.

Получение минимального покрытия реализуется в таком порядке : а) Находится множество максимальных кубов б) Выделяется ядро покрытия в) Из максимальных кубов, не вошедших в ядро, выбирается такое минимальное подмножество, которое покрывает существенные вершины, не покрытые ядром.

Цена покрытия.

Цена r-куба представляет собой количество несвязанных координат. Sr=n*r

Для оценки качества покрытия используют два вида цены покрытия :

m

1. S^a=еS_rN_r, где N_r - количество r-кубов, входящих в по-

r=0

крытие, m - максимальная размерность куба. Цена S^a представляет собой сумму цен кубов, входящих в покрытие.

2. S^b=S^a+k, где k - количество кубов, входящих в покрытие

m m

S^a =е(n-r) N_r ; S^b=е(n-r)(N_r+1)

r=0 r=0

Под минимальным покрытием понимают покрытие, обладающее минимальной ценой S^a по сравнению с любым другим покрытием этой функции.

Можно показать, что покрытие, обладающее минимальной ценой S^a обладает также и минимальной ценой S^b.

Пример : f³(x)=V(0,1,4,6,7)

(f=1)

C⁰(f)=K⁰(f) ; S^a=5*3=15 ; S^b=S^a+5=20

C¹(f)=K¹(f) ; S^a=4*2=8 ; S^b=S^a+4=12

C_min(f) : S^a=3*2=6 ; S^b=9

Цена покрытия S^a представляет собой количество букв, входящих в ДНФ, которая соответствует данному покрытию.

Цена S^b представляет для ДНФ сумму количества букв и количества термов.

Цена покрытия хорошо согласуется с ценой схемы по Квайну, которая строится по нормальной форме, соответствующей этому покрытию.

Для приведенной схемы цена по Квайну S_Q=9=S^b (9-число входов).

В принципе, между S_Q и ценами S^a и S^b существует соотношение S^aЈ S_QЈ S^b Это неравенство имеет место при следующих допущениях по комбинационной схеме :

1. Схема строится по нормальной форме (ДНФ или КНФ).

2. Схема строится на элементах булевого базиса (И, ИЛИ).

3. На входы схемы можно подавать как прямые, так и инверсные значения входных переменных, представляющие собой значения аргументов булевой функции (схема с парафазными входами). Элементы НЕ (инвертора в схеме отсутствуют.

Нулевое покрытие булевой функции и получение минимальной КНФ.

Выше было рассмотрено покрытие булевой функции на наборах аргументов для которых функция равна единице.

Такие покрытия можно назвать единичными. Наряду с единичными покрытиями существуют и нулевые, для которых покрываются наборы аргументов, на которых функция равна нулю, то есть покрытие реализуется для существенных вершин, но не самой функции, а ее отрицания (инверсии).

Нулевое покрытие строится также как и единичное, но только для отрицания исходной функции.

f³(x)=V(0,1,4,6,7) f³(x)=&(2,3,5)

(f=1) (f=0) _ |010

K⁰( f )=|011

_ _ |101

C0( f )= K⁰( f ) S^a=9 S^b=12

_ _ _

K1( f )=|01x Z( f )=C_min( f )=|01x S^a=5 S^b=7

|101

Цена минимального нулевого покрытия оказалась меньше цены минимального единичного покрытия.

Так как заранее предсказать невозможно, какое из минимальных покрытий данной функции, единичное или нулевое, будет иметь меньшую цену, то для построения схемы, обладающей минимальной ценой по Квайну, целесообразно решать задачу минимзации в отношении обоих покрытий.

Импликанты булевой функции.

Системы импликант.

Решение задачи минимизации булевой функции методом Квайна и усовершенствованным методом Квайна-МакКласски базируется на понятиях импликант и их систем.

Определение : Булев