Аксиоматика теории множеств

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мно­жеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснова­ния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание состав­ляют те фунда­ментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся тео­рий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном явля­ется системой того же типа, что и система, предложенная перво­начально фон Нейманом (1925), (1928), а затем тщательно пере­смотренная и упрощенная Р. Робинсоном (1937), Бернайсом (1937—1954) и Гёделем (1940). (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными от­клонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса (1937—1954) и Гёделя (1940), мы бу­дем употреблять в качестве переменных вместо x₁, x₂, … прописные латин­ские буквы X₁, Х₂, ... (Как обычно, мы используем буквы X,Y, Z, ... для обо­значения произвольных переменных.) Мы вве­дем также сокращенные обо­значения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак пони­мается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они со­стоят из одних и тех же элементов.

Определение. служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х YX ≠Y(соб­ствен­ное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) Х = Y (X YYX);

(b) Х = Х;

(с) Х = YY= Х;

(d) Х = Y (Y = ZХ = Z);

(е) Х = Y (ZXZY).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, од­нако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, со­ответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхо­ди­мых в математике классов и являются, достаточно скром­ными, чтобы из них нельзя было вы­вести противоречие). (Эта «ин­терпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-ни­будь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным клас­сом.

Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множе­ство).

Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собствен­ный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоя­щему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми мате­матики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как соб­ственные классы мыслятся как чудовищно необъят­ные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о пред­метах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что мате­матика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная мо­дификация системы NBG позволяет при­ме­нить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский (1939)).

Мы введем строчные латинские буквы x₁, x₂, … в качестве специаль­ных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x₁ A (x₁) бу­дет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x₁ A (x₁)будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что упот­ребленная в этом определении переменная X должна быть отлич­ной от пе­ременных, входящих в A (x₁). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употреб­ляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокра­щением для

ХX_j (М(X_j)Y(M(Y)&ZA (X, X_j, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y(XZYZ).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.)xyzu (uzu = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля­ются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) хy(у х), т. е. су­ществует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

₁xy(у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчи­няв ее следующему условию.

Определение. y(y0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозна­чения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мно­жеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не яв­ляется множеством. Можно доказать, что

_NBG1Z((M(X)&M(Y)&u (uZu = Xu = Y))

((M(X) M(Y))&Z=0)).

Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) &u(и {X, Y} u = Xu = Y))

((M(X)M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно до­казать, что _NBGxyu (u{х, у}u = xu = y) и _NBGxy (M({х, у})).

Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченнойпа­рой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

_NBGxyuv ().

Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y}= {u}, то х = и = у = v, в про­тивном случае {и, v} = {х, у} и, сле­довательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упо­ря­доченной -ки.

Определение

= Х,

Так, например,

и

В дальнейшем индекс NBG в записи _NBGопускается.

Нетрудно дока­зать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утвер­ждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущест­вуют соответствующие классы всех множеств, обладаю­щих этими свойствами.

А к с и о м а В1. Xuv(Xuv) (- отношение).

А к с и о м а В2. XYZu (uZuXuY)

(пересечение).

А к с и о м а В3. XZu (uZuX) (дополнение).

А к с и о м а В4. XZu (uZv (X)) (область

определения).

А к с и о м а В5. XZuv (ZuX).

А к с и о м а В6. XZuvw (ZX).

А к с и о м а В7. XZuvw (ZX).

С помощью аксиом В2—В4 можно доказать

X Y ₁Z u (u Z u X & u Y),

X ₁Zu (u Z u x),

X₁Zu (uZv (X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

Определения

u (uX∩ YuXuY) (пересечение классов Х и Y).

u (uuX) (дополнение к классу X).

u (u D (X) v (X)) (об­ласть определения класса X).

(объединение классов Х иY).

V = (универсальный класс).

X−Y = X∩

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m) – формула, перемен­ныекоторойберутся лишь из числа X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m. Назовём такую фор­мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m)

Zx₁ …x (Z φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та­ких формул φ, которые не содержат подформул вида Y_iW, так как всякая та­кая подформула может быть заменена на x (x = Y_ixW), что в свою оче­редь эквивалентно формуле x (z (zxzY_i) & xW). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор­мулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = XuX), последнее же эквивалентно u (z (zuzX) & uX). Доказа­тельство проведем теперь индук­цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за­писанную с ограниченными пере­менными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид x_ix_j, или x_jx_i, или x_iY_i, где 1 ≤ i< j ≤ . В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W₁ такой, что

x_ix_j (W₁x_i x_j).

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W₂ такой, что

x_ix_j(W₂x_jx_i),

и тогда, в силу

XZuv (ZX),

существует класс W₃ такой, что

x_ix_j(W₃x_jx_i).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W₃ такой, что

x_ix_j(Wφ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Тогда, заменив в

XZ v₁…v_kuw ( Z X)

XнаW, получим, что существует некоторый класс Z₁ такой, что

x₁… x_i-1x_ix_j (Z₁ φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Далее, на основании

XZ v₁…v_mx₁…x (

ZX)

там же при Z₁ = X, заключаем, что существует класс Z₂ такой, что

x₁ … x_i x_i+1 … x_j ( Z₂φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Наконец, применяя

XZ v₁…v_mx₁…x ( Z X)

(1)

там же при Z₂ = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

x₁…x (Zφ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Для остающегося случая x_iY_iтеорема следует из (1) и

XZ x v₁…v_m ( Z x X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k< и что φ со­держит логических связок и кванторов.

(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁…x (Wψ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Теперь остается положить Z = .

(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z₁ и Z₂ такие, что

x₁…x (Z₁ ψ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)) и

x₁…x (Z₂ θ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Искомым классом Z в этом случае будет класс .

(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁…xx (Wψ (x₁,…, x_n, x, Y₁,…, Y_m)).

Применим сперва

XZ x₁ … x(Zy ( X)).

при X= и получим класс Z₁ такой, что

x₁ … x(Z₁x ψ (x₁,…, x_n, x, Y₁,…, Y_m)).

Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно

x ψ.

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y₁, Y₂) есть формула uv (X = uY₁vY₂). Здесь кванторы связывают только перемен­ные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Zx (xZuv (x = uY₁vY₂)), а на основании аксиомы объемности, ₁Zx (xZuv (x = uY₁vY₂)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение. x (xY₁Y₂uv (x = uY₁vY₂)). (Декартово произведение классов Y₁ и Y₂).

Определения.

X²обозначает XX(в частности, V² обозначает класс всех упо­рядоченных пар).

…