Численная модель эволюции плавающих на сферической мантии и взаимодействующих континентов

2. Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами

2.1. Уравнения мантийной конвекции

2.2. Уравнения движения свободно плавающего континента

2.3. Граничные условия

3. Модель

4. Результаты

5. Заключение

Литература

Аннотация

С развитием методов численного моделирования глобальных геодинамических процессов появилась возможность исследовать механизм дрейфа континентов с периодическим объединением их в суперконтиненты типа Пангеи. В предыдущих работах авторов разработан метод численного решения системы уравнений переноса массы, тепла и количества движения для конвекции в вязкой мантии и уравнений Эйлера для движения твердых континентов. Уравнения конвекции и уравнения Эйлера взаимосвязаны условиями прилипания, непротекания и непрерывности температуры и теплового потока на погруженной в мантию поверхности континента. В этих работах показана как возможность континентов объединяться в суперконтиненты, так и возможность распада суперконтинентов. В настоящей работе на идеализированной сферической модели приведены результаты численного эксперимента для длительной эволюции 12 плавающих континентов. Мантия моделировалась вязкой сферической оболочкой с постоянной вязкостью, нагреваемой снизу при числе Рэлея Ra=10⁷. Континенты взяты в виде твердых толстых дисков с угловыми размерами ~4040 градусов. В качестве начального состояния взята современная мантия с распределением температуры, полученным пересчетом данных сейсмической томографии. В этом состоянии распределение поверхностного теплового потока и скоростей мантийных течений согласуется с имеющимися данными наблюдений. Континенты в начальном состоянии взяты равномерно распределенными по поверхности мантии. Вязкое сцепление с мантийными течениями приводит к дрейфу континентов. Рассчитана длительная эволюция системы мантия-континенты в течение нескольких миллиардов лет. Численный эксперимент для рассмотренной идеализированной модели показывает, что на протяжении всей этой истории континенты большую часть времени находятся на местах нисходящих мантийных потоков и перемещаются вместе с ними. При случайном сближении двух мантийных потоков возникает зона, затягивающая к себе соседние континенты (вместе с нижележащими мантийными потоками). В результате начинается процесс объединения нисходящих мантийных потоков и, следовательно, объединения континентов. В проведенном численном эксперименте континенты сначала объединяются в группы по 4-5 континентов и затем в большой суперконтинент. Благодаря перегреву мантии под суперконтинентом в мантии возникают новые восходящие конвективные потоки. В результате большой суперконтинент разбивается сначала на два суперконтинента. Затем распадаются и эти более мелкие суперконтиненты, сначала один из них (подобно Лавразии) распадается на отдельные 5 континентов, затем распадается и второй (подобно Гондване). После этого континенты оказываются разбросанными по поверхности мантии. В дальнейшем сближения и расхождения континентов повторяются.

1. Введение

Движущей силой глобальных геодинамических процессов в Земле является тепловая конвекция. При тепловой конвекции снизу поднимется горячее и, благодаря тепловому расширению, легкое вещество. Вещество, отдавшее тепло внешнему пространству, становится тяжелым и погружается обратно в мантию. В результате возникает циркуляция вещества и в месте восходящих мантийных потоков появляются максимумы теплового потока. Величина этого теплового потока пропорциональна скорости конвекции. Наблюдаемое распределение теплового потока Земли и изменение толщины океанической литосферы соответствуют закономерностям тепловой конвекции. Тепловая конвекция возникает, если температура нарастает вниз с градиентом, большим адиабатического. Для Земли адиабатический градиент в среднем равен, примерно, 0,4 К/км, что дает полный перепад в мантии порядка 1200 К (Trubitsyn, 2000a). По мере подъема вследствие уменьшения давления вещество расширяется и охлаждается. Если реальная температура в Земле была бы меньше адиабатической, то поднимающееся вещество уже по дороге стало бы холоднее и тяжелее окружающей среды и не смогло бы продолжать подниматься. Температуру, которую будет иметь вещество, поднявшееся на поверхность называют потенциальной. Она равна разности реальной температуры вещества в рассматриваемом месте и адиабатической температуры и поэтому вызывает тепловую конвекцию в невязкой мантии. Для возникновения тепловой конвекции в вязкой мантии, кроме этого нададиабатического превышения температуры, необходимо еще дополнительное повышение температуры вещества, чтобы сила его плавучести преодолела вязкие силы торможения. Интенсивность конвекции, характеризуемая безразмерным числом Рэлея, пропорциональна этому нададиабатическому превышению температуры. В мантии Земли имеет место интенсивная тепловая конвекция с числом Рэлея порядка ~10⁷ при полном нададиабатическим перепаде температуры около ~2500 К. Критическое число Рэлея, при котором в декартовой модели со скользкими границами тепловая конвекция только появляется, равно 657. Интенсивность мантийной конвекции при нададиабатическом перепаде температур в мантии всего ~0,25 К соответствует числу Рэлея ~10³.

Во многокомпонентном веществе наряду с тепловой конвекцией может иметь место и композиционная конвекция. Процесс химической дифференциации определял структуру конвекции в ранний период истории Земли, когда происходил рост железного ядра. Оседающее железо увлекало силикаты, и, кроме тепловой, имела место и композиционная конвекция. Гравитационная энергия переходила в тепло, которое до сих пор продолжает излучаться, давая вклад до 30% в современный тепловой поток Земли. По геохимическим данным рост ядра в основном завершился в первые 60-100 млн лет после образования Земли (McCulloch and Bennett, 1998). По сложившимся представлениям вклад химической дифференциации в движущие силы современной глобальной геодинамики значительно меньше тепловой конвекции. Но без химической дифференциации и минералогических превращений невозможно объяснить не только происхождение земной коры, но и аномальную легкость и прочность континентальной литосферы. Кроме того, изучение глобального перераспределения изотопов дает сведения о их переносе мантийными течениями и об эволюции структуры глобальной конвекции. Поскольку плавучесть континентов обусловлена их отличным от мантии минералогическим и химическим составом, то мантийную конвекцию с плавающими континентами можно рассматривать как особый вид термо-композиционной конвекции.

Тепловая конвекция в мантии имеет пять основных свойств, которые и определяют современную геодинамику Земли:

1) Несмотря на относительную небольшую скорость мантийных течений (~1-10 см/год), конвекция в мантии является нестационарной и квазитурбулентной. Вклад конвективного переноса тепла характеризуется числом Нуссельта Nu. Уже при Nu > 10 (что соответствует Ra > 10 ⁵ ) нелинейное взаимодействие процессов переноса тепла и массы (характеризуемое членом VT) оказывается большим. Поэтому в мантии, наряду с регулярной циркуляцией вещества, возникают узкие струи, плюмы, диапиры и всплывающие термики.

2) Эндотермический фазовый переход оливин-перовскит на глубине 660 км приводит к частичной расслоенности мантии. В то время как, благодаря переходу части несовместимых элементов в кору, верхняя мантия стала деплетированной, часть вещества нижней мантии имеет состав, близкий к первичному. При этом возникают особые плюмы, проникающие из нижней мантии в верхнюю через границу фазового перехода, проявляющиеся на земной поверхности в виде горячих точек. В прошлом в более горячей мантии эффект фазовой границы был сильнее и перемешивание вещества верхней и нижней мантии происходило эпизодически, но достаточно интенсивно. При этом на дно нижней мантии затягивались большие обьемы океанической коры и частично континентальной коры. По мере остывания мантии барьер на фазовой границе ослабевает и плюмы горячих точек могли переходить в регулярные восходящие струи общемантийной конвекции.

3) Вязкость вещества сильно падает с ростом температуры и увеличивается с ростом давления. В условиях мантии она меняется более, чем на ~20 порядков, от ~10³ Пас для базальтовых расплавов магматических камер до ~10²⁶ Пас для холодной литосферы. Так как при конвекции средняя температура резко нарастает в верхнем и нижнем кондуктивных погранслоях, то на глубинах 100-200 км и на подошве мантии возникают маловязкие астеносферные слои. Толщина этих слоев не постоянна, так как тепловая конвекция создает горизонтальные вариации температуры в мантии до 300 К.

4) Средняя температура литосферы намного ниже температуры плавления. Поэтому вещество литосферы более хрупко, чем остальной мантии. При резко меняющемся напряжении литосфера раскалывается на плиты, которые конвейером движутся вдоль земной поверхности. Жесткие плиты способны надвигаться и пододвигаться друг под друга только под небольшим углом. Океаническая литосфера способна сильно деформироваться и погружаться в зонах субдукции, потому что при длительных изгибных напряжениях вещество литосферы приобретает свойства пластичности.

5) Почти треть поверхности Земли покрыта континентами, которые тормозят выход тепла из мантии. При среднем мантийном тепловом потоке Земли (без радиоактивного тепла континентальной коры) ~70 мВт/м², через океаны выходит поток ~90 мВт/м², а через континенты почти в три раза меньше ~30 мВт/м². Поскольку континенты перераспределяют тепловой поток, выходящий из мантии, то они должны оказывать большое влияние и на всю структуру мантийной конвекции. Только с учетом механического и теплового взаимодействия мантии с континентами можно объяснить такие процессы как образование континентальной литосферы, состояние мантии под континентами, образование и распад суперконтинентов и др.

Первые три свойства мантийной конвекции и их проявления в глобальной геодинамике изучаются специалистами по наукам о Земле уже в течение нескольких десятилетий. Результатом этого, в частности, явилось создание кинематической теории тектоники литосферных плит и теории мантийной конвекции с фазовыми переходами. В настоящее время изучены модели как расслоенной конвекции (Добрецов, Кирдяшкин, 1994; Allegre, 1982; Allegre et al., 1983; Anderson, 1981, 1982; DePaolo, 1980, 1981; DePaolo and Wasserburg, 1976, 1979; Jacobsen and Wasserburg, 1979, 1981; Jeanloz and Knittle, 1989; O'Nions and Oxburg, 1983; O'Nions et al., 1979), так и общемантийной конвекции (Davies, 1974, 1979, 1984; Grand, 1987, 1994; Grand et al., 1997; Hoffmann and White, 1982; Jackson, 1998; Jordan, 1977; van der Hilst, 1995; van der Hilst et al., 1991, 1997). Построены детальные численные модели современной Земли (Becker et al., 1999; Brunet and Machtel, 1998; Bunge et al., 1997; Kellogg et al., 1999; Machetel and Weber, 1991; Solheim and Peltier, 1994; Steinbach et al., 1993; Tackley, 1996; Tackley et al., 1994). Предложены различные гипотетические геохимичесие модели (Tackley, 2000) для обьяснения природы наблюдаемых различных геохимических резервуаров.

В последнее время успешно ведется построение полной теории океанической литосферы, в основном работами Тэкли (Tackley, 2000), Гурниса с соавторами (Zhong et al., 1998). В этой теории реологические свойства вещества литосферы включаются в уравнения мантийной конвекции. Поэтому не только изгиб и погружение океанической литосферы, но ее раскол на жесткие плиты не задается заранее, а получается самосогласованно как результат решения уравнений.

Изучение мантийной конвекции с учетом континентов сначала проводилось для неподвижных континентов (Lowman and Jarvis, 1995, 1996; Nakanuki et al., 1997; Trubitsyn and Bobrov, 1994; Trubitsyn and Fradkov, 1985). Однако, как оказалось, основные принципиальные явления глобальной тектоники обусловлены именно движением континентов, нелинейно взаимодействующих с мантийными течениями. При моделировании процессов взаимодействия мантийной конвекции с движущимися континентами имеются два подхода. В работах (Gurnis, 1988; Gurnis and Zhong, 1991) рассчитывались двумерные модели, в которых континенты рассматривались как высоковязкие образования в мантии, движение которых ведется фактически с помощью маркеров, без использования явных уравнений для движения континентов. Можно сказать, что этот подход рассматривает мантийную конвекцию с плавающими континентами непосредственно как термо-композиционную конвекцию. В работах (Trubitsyn and Rykov, 1995, 1998a, 1998b, 2000a; Trubitsyn et al., 1999) предложен иной подход и были разработаны основы теории мантийной конвекции с твердыми плавающими континентами. Уравнения мантийной конвекции были дополнены уравнениями Эйлера для поступательного движения и вращения твердых континентов, взаимодействующих с мантией и друг с другом. Теория мантийной конвекции с плавающими континентами (Trubitsyn, 2000b) рассматривает модель твердых плавающих континентов как первое приближение. В этой модели находится положение, скорости, распределение температуры внутри континентов и все силы, действующие со стороны мантии (на их погруженные в мантию поверхность), а также силы столкновения континентов. Поскольку величины деформации континентов много меньше их перемещения при движении, то эти деформации и напряжения уже внутри континентов можно рассчитывать уже в следующем приближении по любой другой реологической модели, но с уже известными внешними силами.

Теория мантийной конвекции с твердыми плавающими континентами основана на численных экспериментах, т.е. на численном решении системы уравнений переноса энергии, массы, импульса и момента импульса для системы мантия-континенты. В предыдущих работах авторов показано, что континенты не являются пассивными образованиями, но могут существенно влиять на эволюцию мантийной конвекции. Их можно рассматривать вмороженными в океаническую литосферу только на небольших интервалах геологического времени. Континентальная литосфера возникает и существует в течение миллиардов лет только потому, что плавучие континенты постоянно затягиваются на холодные нисходящие мантийные потоки. Поэтому континенальная литосфера все время оствается холодной, высоковязкой и прочной. Под неподвижным континентом благодаря эффекту теплоэкранирования мантия со временем (в течениее порядка 200-500 млн лет) неизбежно прогревается и возникают горячие восходящие потоки, стремящиеся расплавить и раздробить континентальную литосферу и кору.

В настоящей работе приводятся результаты длительного численного эксперимента для идеализированной модели с 12 континентами, плавающими на сферической мантии, с учетом их механического и теплового взаимодействия с мантией и между собой. Целью работы была проверка того, могут ли плавающие на сферической мантии континенты многократно объединяться и расходиться без привлечения каких-либо дополнительных усложняющих процессов.

2. Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами

2.1. Уравнения мантийной конвекции

Тепловая конвекция в вязкой мантии описывается распределением вектора конвективных скоростей V_i(x,y,z), распределением температуры T(x,y,z) и давления (x,y,z). Эти неизвестные функции находятся из решения системы трех уравнений: уравнения переноса импульса, тепла и массы

где S_ij - девиаторный тензор вязких напряжений,

Ra - число Рэлея, равное

Уравнения (1-3) записаны в приближении Буссинеска в безразмерных переменных. За единицу измерения для длины принята толщина мантии D, для скорости D/k, для времени D²/k, для температуры T₀, для вязкости h₀, для давления и напряжений h₀k/D². Давление отсчитано от его гидростатического распределения (z), определяемого условием ₀ = - r₀g.

2.2. Уравнения движения свободно плавающего континента

На континент действует сила тяжести, приложенная к центру тяжести, и силы взаимодействия с вязкой мантией, приложенные к элементам поверхности погруженной части континента. Под действием этих сил континент плавает в мантии, перемещаясь вдоль поверхности и вращаясь вокруг вертикальной оси. Так как давление и скорости мантийных течений меняются во времени и в пространстве, то в общем случае не равны нулю как вертикальная скорость центра тяжести континента w₀, так и скорости вращения континента w_x и w_y вокруг мгновенных горизонтальных осей x и y.

Континенты могут опускаться (когда они находятся над нисходящими мантийными потоками) вместе с поверхностью мантии и относительно ее и подниматься (в местах восходящих потоков). При этом величина опускания и подьема разных концов континента могут быть разными. В дальнейшем будем рассматривать только горизонтальные перемещения центра тяжести континента и вращение континента вокруг локальной вертикальной оси, пренебрегая всеми остальными малыми эффектами, полагая w₀=0 и w_x=w_y=0.

Поскольку сила тяжести уравновешана выталкивающея силой, то внешняя сила, действующая на континент сводится к силе вязкого сцепления с мантией, при этом давление нужно считать отсчитанным от гидростатически равновесного распределения ₀(z).

Таким образом, для горизонтального движения и вращения вокруг мгновенной вертикальной оси твердого континента произвольной формы уравнения Эйлера сводятся к системе трех динамических уравнений и трех кинематических соотношений (Trubitsyn, 2000a, 2000b; Trubitsyn and Rykov, 1998a, 1998b)

где M - масса континента, I₃₃ - его момент инерции относительно вертикальной оси, x_c(t) и y_c(t) - координаты центра тяжести континента, j - угол поворота континента, d_ij - символ Кронеккера, равный 1 при i=j и равный 0 при ij,e_ijk - символ Леви-Чивита, равный нулю при совпадении любых двух индексов, равный 1 при четной транспозиции индексов по сравнению с 1, 2, 3 и равный - 1 - при нечетной транспозиции.

Из соотношений размерности следует, что величина инерциальных членов в левой части уравнений Эйлера для движения континентов (6-8), как и для уравнения переноса импулься в вязкой жидкости (1), имеет порядок kr/m10^-23. Поэтому они могут быть положены равными нулю.

После пренебрежения инерциальными членами уравнения Эйлера для движения континентов дают шесть соотношений для нахождения шести неизвестных: координат центра тяжести континента x_c(t), y_c(t), угла его поворота j и скоростей континента u₀(t), v₀(t) и w₃(t)

Уравнение для распределения температуры T_c внутри твердого континента в исходной неподвижной системе координат сводится к уравнению теплопроводности с адвективным переносом тепла со скоростью континента u

2.3. Граничные условия

Уравнения мантийной конвекции (1-3) и уравнения для движения континента (6-8) и переноса тепла в нем (14) связаны между собой через граничные условия.

Как указывалось, для мантийных течений на нижней и боковых границах расчетной области принимается условие непротекания и проскальзывания (равенство нулю нормальной составляющей скорости жидкости и равенства нулю тангенциальных составляющих вязких сил)

где n_k - единичный вектор, нормальный к данной поверхности и t_i - единичные вектора, касательные к ней.

На границе твердых движущихся континентов принимается условие непротекания и прилипания, т.е. равенство скоростей жидкой мантии и скоростей континента

на всей поверхности погруженной в мантию части континента.

Температура на нижней границе области фиксирована T =1. На боковых границах (для конечной области) принимается условие нулевого теплового потока

где n_k - единичный вектор, нормальный к боковой поверхности области.

На верхней свободной поверхности температура мантии равна нулю ( T =0) только в океанической области вне континента.

На поверхности погруженной в мантию части континента принимается условие непрерывности температуры и теплового потока между мантией и континентом

На верхней поверхности континента температура полагается равной нулю

Таким образом, математическая проблема сводится к следующему. Имеется три неизвестные функции координат и времени для мантийной конвекции: вектор скоростей мантийных течений V_i(x,y,z,t), распределение температуры T(x,y,z,t) и распределение давления (x,y,z,t), а также четыре неизвестные функции времени для движения континентов как целых: две компоненты мгновенной скорости поступательного движения центра тяжести u₀(t) и v₀(t), одна компонента мгновенной угловой скорости вращения континента вокруг центра тяжести w(t) и распределение температуры в континенте T_c(x,y,z,t). Для их нахождения имеется система взаимосвязанных уравнений: три дифференциальных уравнения конвекции (1-3), три интегральных соотношения (10-12), к которым свелись уравнения Эйлера и уравнение переноса тепла в континенте (14). Зная в данный момент положение и скорости континента u₀(t), v₀(t) и w(t), можно по (9) найти его положение в следующий момент времени. Для определения постоянных интегрирования дифференциальных уравнений служат граничные условия (14-16).

Отличие рассматриваемой задачи со свободно плавающим континентом от известной задачи с неподвижным континентом состоит в том, что граничные условия для скоростей течений и температуры на границе с континентом ставятся в месте нахождения в каждый данный момент плавающего континента. При этом, скорость и положение континента заранее не известны, а определяются из решения всей системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений.

Если континентов несколько, то уравнения движения (10-13) и уравнение для температуры (14) выписываются для каждого континента. Кроме того, при столкновении твердых контнентов ставится условие невозможности их проникновения друг в друга. Для этого в моменты соприкосновения континентов в какой-либо точке к силам вязкого сцепления с мантией к каждому континенту добавляется сила расталкивания континентов, приложенная в месте их касания и направленная противоположно относительной скорости континентов. Величина этой силы находится перебором из условия соприкасания и непроникновения континентов друг в друга в данный момент.

3. Модель

Мантия моделируется вязкой сферической оболочкой. На нижней границе (на границе ядро-мантия) принимается условие проскальзывания и фиксируется значение температуры T=T₀. Континенты моделируются твердыми толстыми дисками, плавающими в мантии подобно кораблям. На погруженной в мантию поверхности континентов (на подошве и на боковой поверхности) принимается условие полного прилипания, т.е. равенство нормальных и тангенциальных составляющих скоростей мантии и континента в данном месте. Также принимается равенство температуры и теплового потока в мантии в континенте в каждой точке соприкосновения. Толщиной части континентов, выступающей над мантией, пренебрегается. Температура во всех точках верхней поверхности континента полагается равной нулю. Также принимается равной нулю температура на верхней свободной от континентов части мантии.

Вязкость мантии принята постоянной. Фазовые переходы в мантии не учитывались. Число Рэлея, характеризующее интенсивность мантийной конвекции, взято равным Ra=10⁷. Температуропроводность континентов и мантии взята одинаковой 210^-6 m² s^-1. Толщины всех континентов приняты равными 250 км.

В качестве начального состояния континенты были, примерно, равномерно распределены по поверхности мантии. Центры континентов имели координаты по широте q =36^o, 90^o и 154^o, а по долготе j =0^o, 90^o, 180^o и 270^o. Континенты взяты в виде восьмиугольников. Но их форма неодинакова. Для простоты их размеры и форма были взяты из условия, что в начальный момент координаты их крайних угловых точек лежали ни линиях угловой координатной сетки по q и j с угловыми размерами по диаметру dq =36^o и dj =40^o, что соответствует диаметру порядка 4 тыс. км.

В качестве начального распределения температур было взято трехмерное распределение температуры в современной мантии. Усредненное по латерали распределение температуры по глубине в современной мантии без континентов в первом приближении известно (Solheim and Peltier, 1994; Tackley, 1996; Tackley et al., 1994; Trubitsyn and Rykov, 2000). На рис. 1a приведены упрощенные распределения в мантии для адиабатической температуры (розовый цвет), нададиабатической или потенциальной темпрературы, характеризующей интенсивность конвекции (черный цвет) и полной суммарной температуры (красный цвет). Поскольку латеральные вариации температуры имеют порядок до 300 К, то они могут рассматриваться как поправки к радиальному распределению температуры. Их можно найти из предположения, что латериальные вариации плотности в мантии пропорциональны вариациям скоростей сейсмических волн (Anderson, 1989). Коэффициент пересчета dlnr/dlnV_s обычно находится из данных лабораторных измерений и теоретических расчетов для минералов. В работе (Kaban and Schwintzer, 2000) это коэффициент был найден непосредственно из сопоставления данных сейсмической томографии и гравитационных аномалий. Сначала по данным о гравитационном поле для океанической мантии было найдено распределение плотности r. Сравнение этого распределения с данными о скоростях поперечных сейсмических волн позволило определить коэффициент dlnr/dlnV_s для океанической мантии. Этот коэффициент значительно меняется по глубине. Но поскольку при рассчете эволюции движения континентов вязкость берется постоянной, то для для простоты и для коэффициента dlnr/dlnV_s возьмем его приближенное среднее значение, примерно, 0,1.

Вариации плотности в мантии могут зависеть как от температуры, так и от химико-минералогического состава. Тепловая конвекция приводит к перемешиванию вещества с выравниванием состава, но создает латеральные вариации температуры. Полагая, что вариации плотности в основном обусловлены вариациями температуры r=r₀(1-aT) и полагая коэффициент теплового расширения a равным 210 ^-5, получим для коэффициента пересчета данных сейсмической томографии на температуру значение dlnV_s/dT=-210^-4 K^-1. Распределение поперечных скоростей сейсмических волн V_s было взято по модели (Ekstrom and Dziewonski, 1998). Отметим, что предположение о химической однородности мантии не относится к континентальной литосфере. Поскольку она перемещается вместе с движущемся континентом и вещество в ней конвективно не перемешивается, то в течение миллиардов лет в ней должны были возникнуть значительные химические неоднородности. Летучие элементы могли вынести железо (и другие элементы и соединения) из континентальной литосферы в кору. Согласно расчетам (Forte and Perry, 2000) дефицит железа существенно облегчает аномально холодное вещество континентальной литосферы. Изменения плотности литосферы за счет дефицита железа и за счет температуры сравнимы по величине. В то же время сейсмические скорости слабо меняются при изменении химического состава.

4. Результаты

Начальное распределение температуры и координаты континентов были подставлены в уравнения конвекции с плавающими континентами (1-18). Результаты расчета эволюции системы мантия-континенты представлены в виде анимации (совокупности кадров 0000-4290). Номера кадров для удобства соответствуют моментам времени в Ma, для которых возникает соответствующая структура конвекции и расположение континентов.

Для удобства просмотра и копирования анимационных иллюстраций, имеющих обьем в несколько Мбайт, все иллюстрации разбиты на 5 групп. Группа 1 состоит из двух кадров 0000а и 0000б (рис. 1a и 1b), показывающих начальные условия.

Группы 2, 3 и 4 включают соответственно 102, 55 и 60 кадров, показывающих всю рассчитанную историю движения континентов на развернутой сфере соответственно от t=0 до 1000 Ma, от t=2000 до 2500 Ma и от t=2500 до 4300 Ma. Группа 5 включает иллюстрации для некоторых выборочных моментов времени. На них более ясно видно расположение континентов на полусфере. Приведено распределение теплового потока, выходящего через континенты, представленные на просвет контурными линиями. Также показано распределение температуры на глубине 300 км под континентами. Оно иллюстрирует тенденцию континентов постоянно затягиваться на холодные нисходящие мантийные потоки. На рис. 1а показано начальное радиальное распределение температуры (усредненное по латерали), розовый цвет - адиабата, черный цвет - нададиабатическая температура, красный цвет - полная температура. На рис. 1б представлено выбранное начальное положение континентов и вычисленное распределение теплового потока, соответствующее начальному трехмерному распределению температуры. Внешняя поверхность показана в виде развернутой сферической поверхности с центром q=90^o и j=0^o. Континенты показаны черным цветом. Тепловой поток, идущий из мантии, показан цветом в единицах mWm^-2. Максимумы теплового потока (красный цвет) и повышенный тепловой поток (розовый и желтый цвет) соответствуют срединно-океаническим хребтам и вулканическим зонам. Численное решение системы уравнений конвекции с плавающими континентами проводились итерационным конечно-разностным методом (Trubitsyn and Rykov, 1998b, 2000) в сферических координатах. При этом континенты рассматривались в виде сферических шапок, плавающих на сфере. В качестве начального распределения температуры внутри рассматриваемых континентов-дисков можно взять любое распределение, поскольку оно в дальнейшем изменится согласно решению уравнений. Для простоты это распределение бралось таким же, каким оно получается в мантии (в месте, где находится континент) по данным сейсмической томографии.

Зная начальное распределение температуры и положение континентов при t=t₁=0, по уравнениям (2) и (14) находится распределение температуры в мантии и в континентах в следующий момент времени t₂=t₁+dt. Далее это новое распределение температуры подставляется в уравнение (1) и находятся скорости мантийных течений. По этим скоростям находятся вязкие силы, действующие на континенты, и скорости движения континентов. Далее континенты поворачиваются и перемещаются на расстояние, соответствующее этим скоростям и интервалу времени dt.

На кадре 0006 показано рассчитанное положение континентов, распределение теплового потока и скорости мантийных течений в момент времени t =6,6 Ma. Масштаб скоростей указан длиной стрелки, приведенной в левой части рисунка. Время указано в млн лет.

На последующих кадрах 0013-4290 показана полная рассчитанная эволюция системы вязкая нагреваемая мантия - плавающие твердые континенты. Как показывают расчеты, сначала континенты движутся в поле мантийных течений, соответствующих начальному распределению темпрературы, и уже к моменту времени t60 Ma (кадр 0065) затягиваются на места нисходящих мантийных потоков. Следует отметить, что появляющаяся более мелкая структура мантийных потоков частично обусловлена в слишком грубых расчетных сетках Rqj=3263672 и Rqj=161632, для которых численное дифференцирование оказывается недостаточно точным. Но результаты для обеих сеток качественно оказываются похожими. На более мелкой сетке распределение теплового потока становится несколько более гладким, скорости несколько меньшими.

Уже через, примерно, 100 Ma (группа рис. 2) проявляется тенденция континентов к обьединению в группы. Возможный механизм этого процесса состоит в том, что каждый нисходящий мантийный поток затягивает к себе соседние плавучие континенты (подобно щепкам в водовороте). Но каждый континент сидит на месте своего нисходящего мантийного потока и может двигаться преимущественно вместе с ним, так как при вязкости порядка 10²² Pas силы вязкого сцепления континента и мантии очень велики. Поэтому сближаются не только континенты, но и нисходящие холодные мантийные потоки. В результате возникает группа нисходящих потоков, которая еще сильнее стягивает к себе соседние и даже далекие континенты. К моменту времени t250-300 Ma (кадры 0253-0305) образуются две группы по три и пять