Коперник геометрии
Борис Лаптев
Область научных интересов Н.И.Лобачевского не ограничивалась математикой. Он преподавал механику, астрономию, физику, зачастую давая оригинальную трактовку излагаемым предметам. Долгие годы он был ректором Казанского университета.
Известно, что среди математиков, пришедших к ее идеям, Лобачевский не был единственным. Напомним несколько фактов, относящихся к истории создания неевклидовой геометрии.
Свое рассуждение под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теории параллельных» Н.И.Лобачевский представил физико-математическому отделению (факультету) университета 7 (19) февраля 1826 года.
Замечательный венгерский математик военный инженер Янош Бойаи (1802...1860) независимо от Лобачевского развил такую же систему геометрии и опубликовал свой труд как «Приложение» (по-латински Appendix) к первому тому обширного курса математики «Наставление юношам...» (1832) своего отца Фаркаша Бойаи.
Отдельные оттиски «Аппендикса» появились уже в 1831 году – это было на два года позднее публикации Лобачевского. («О началах геометрии»; журнал «Казанский вестник», 1829...1830 годы; рукопись «Сжатого изложения...» не была опубликована и до нас не дошла).
В отличие от Лобачевского Янош Бойаи, не встретив понимания и поддержки, прекратил дальнейшую разработку новой геометрии.
Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777...1855), названный современниками «королем математиков», как выяснилось из посмертных публикаций его переписки с друзьями и его научных дневников, еще до Лобачевского получил основные соотношения новой геометрии. Однако он свои результаты но только не опубликовал, но и запретил друзьям говорить кому-либо о них. Отчасти он опасался непонимания и резких отзывом со стороны современников (боялся потревожить, как он писал, «гнездо ос»), отчасти (и это было основной причиной), он долго не мог примириться сам с полученными им выводами, поскольку новая геометрия нарушала стройность его идеалистического мировоззрения и ему приходилось исключать геометрию из идеальной области чистой математики как нуждающуюся в экспериментальной проверке.
Таким образом, у истоков первой неевклидовой геометрии стоят имена трех ученых. Но работа Н.И.Лобачевского была опубликована первой, и только он полностью разработал свои идеи, включив вопросы о вычислении длин дуг, площадей и объемов. И хотя он встретил непонимание у современников, отрицательное отношение со стороны Академии наук (отзыв М.В.Остроградского, 1832), а в реакционном журнале Ф.Булгарина «Сын отечества» даже появилась анонимная издевательская рецензия (1834), все-таки он продолжал отстаивать свои геометрические идеи на протяжении всей жизни, находя им применение в самой математике, обосновывая и развивая их в целом ряде работ. Последнюю из них, «Пангеометрию», он, ослепший, уже не мог писать сам, и она была им продиктована ученикам за год до смерти.
Непротиворечивость новой геометрии была впоследствии строго доказана Ф.Клейном (1871), опиравшимся на результаты А.Кэли (1859) и Э.Бельтрами (1868) и разработавшим общую теорию неевклидовых геометрий.
В этой общей системе «воображаемая геометрия» была названа Ф.Клейном гиперболической, но по справедливости она будет сохранять также и другое имя – «геометрия Лобачевского – Бойаи».
В своих работах Н.И.Лобачевский предстает перед читателем прежде всего как глубокий математик, обратившийся к исследованиям начал этой науки.
В самом деле, кто не согласится, что никакая математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы геометрию, и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий Правда, что против ложных заключений от неясности первых и общих понятий в геометрии предостерегает нас представление самих предметов в нашем воображении, а в справедливости принятых истин без доказательства убеждаемся простотою их и опытом, например, астрономическими наблюдениями; однако ж все это нисколько не может удовлетворить ум, приученный к строгому суждению. К тому и не вправе пренебрегать решением вопроса, покуда оно неизвестно и покуда не знаем, не послужит ли оно еще к чему другому...
Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами: врожденным – не должно верить.
«О началах геометрии». 1829.
Прибегнув к опыту и использовав новейшие современные ему результаты астрономических измерений параллаксов звезд, опираясь па соотношения своей геометрии, Лобачевский пришел к выводу, что геометрия реального мира, где прямые линии реализуются лучами света, для довольно больших расстояний (порядка диаметра солнечной системы) почти евклидова. Иными словами, отклонение от евклидовой геометрии, если оно и существует, весьма мало. Таким образом, более общая геометрическая система послужила логическим базисом для обоснования практической применимости более простой, «употребительной» геометрии.
Лобачевский установил, в частности, что по его теории в масштабах солнечной системы сумма углов треугольника может отличаться от 180° (или, как еще говорят, от двух прямых) не более чем на несколько миллионных долей секунды, то есть в пределах ошибок измерений.
Чем менее, следовательно, треугольник, тем сумма углов его менее разнится от двух прямых. После этого можно воображать, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала этой последней рассматривать как бы строго доказанными.
Между тем нельзя не увлекаться мнением г.Лапласа, что видимые нами звезды и Млечный Путь принадлежат к одному только собранию небесных светил, подобному тем, которые усматриваем как слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога и проч. Итак, не говоря о том, что в воображении пространство может быть продолжаемо неограниченно, сама природа указывает нам такие расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостью даже и расстояния нашей земли до неподвижных звезд.
После этого нельзя утверждать более, что предположение, будто мера линий не зависит от углов, – предположение, которое многие геометры хотели принимать за строгую истину, не требующую доказательства, – может быть не оказалось бы приметно ложным еще прежде, нежели перейдем за пределы видимого нами мира.
«О началах геометрии». 1829.
Глубокий интерес к началам наук Лобачевский проявлял уже с первых лет своей научной деятельности. Общеизвестно, к каким достижениям это привело его в геометрии. И в алгебраических исследованиях и в математическом анализе его внимание к началам науки дало ряд глубоких, ценных результатов. Так, в своей «Алгебре» – первом в русской литературе курсе высшей алгебры (книга прошла цензуру в 1832 году) – он обратил особое внимание на свойства операций с числами. Здесь же при решении систем линейных алгебраических уравнений впервые в мировой учебной литературе вводятся определители. В области математического анализа Лобачевский занимался вопросами сходимости («исчезания») рядов и в связи с этим уточнил понятие функции («Об исчезании тригонометрических строк», 1834), разграничил понятия непрерывности и дифференцируемости. Ценные результаты он получил и в теории вероятностей.
Существенно отметить, что Лобачевский не был только математиком, замкнувшимся в своей деятельности в одной этой области науки. Для него математика – лишь один из инструментов, позволяющих наиболее глубоко проникнуть в познание закономерностей природы.
Науке чисел принадлежит все, что имеет величину; а что в физическом мире ее не имеет? В нем всё существует под необходимым условием быть измеряему и, следовательно, все подчинено законам математики. Посему все естественные науки силятся встать на ту высокую ступень совершенства, на которой последует их соединение с математикой; и со времени сего соединения их успехи пойдут быстрыми шагами вперед. Это случилось уже с физикой, в недавнее время с минералогией, и есть надежда того же ожидать для всей химии. Достигая до истин, к открытию которых ведет математика и которых важность поражает, если возвратиться назад к самому источнику великих и неожиданных успехов, то найдем, что строгая наука есть вместе наука здравого суждения, что всему основанием служит справедливое понятие о вещах, которое не оставляет вести математика чрез его вычисления. После чего нет уже явлений природы, которых бы он не мог изъяснить; нет явлений, которых бы он не мог предсказать и определить с точностью и время и меру. Казалось бы, что понятие о вещах и здравое о них суждение не должно зависеть от вычислений; но то, однако ж, правда, что ум, приученный вычислениями, далеко продолжает еще идти за ту границу, которую не переступит ум, непосвященный в таинство науки чисел.
«Происхождение и распространение звука в воздухе». 1823.
Широта естественнонаучных интересов Лобачевского проявилась и в его педагогической деятельности в университете (1811...1845), которая не ограничивалась математическими дисциплинами. Длительные периоды он вел преподавание механики, астрономии, физики, высказывая при этом весьма прозорливые суждения. Приведем ради примера его мысль о связи пространства, движения и материи.
В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой геометрии. Чтобы выяснить эту мысль, полагаем, как и многие в этом уверены, что силы притягательные слабеют от распространения своего действия по сфере. В употребительной геометрии величину сферы принимают 4πr2 для полупоперечника r от чего сила должна уменьшаться в содержании к квадрату расстояния. В воображаемой геометрии нашел я поверхность шара
π (er – e–r)2,
и такой геометрии, может быть, следуют молекулярные силы, которых за тем все разнообразие будет зависеть от числа е, всегда весьма большого. (Не следует путать параметр е, употребляемый Лобачевским, с эйлеровым числом е, основанием натуральных логарифмов.) Впрочем, пусть это чистое предположение только, для подтверждения которого надобно поискать других убедительных доводов; но в том, однако ж, нельзя сомневаться, что силы все производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы. С силами все находится в тесной связи, которую, не постигая в сущности, не можем утверждать, будто в отношение разнородных величин между собою должны только входить их содержания. Допуская зависимость от содержания, почему не предполагать и зависимости прямой? Некоторые случаи говорят уже в пользу такого мнения; величина притягательной силы, например, выражается массою, разделенной на квадрат расстояния. Для расстояния нуль это выражение, собственно, ничего не представляет. Надобно начинать с какого-нибудь большого или малого, но всегда действительного расстояния, и тогда только сила появляется. Теперь спрашивается, как же расстояние производит эту силу? Как эта связь между двумя столько разнородными предметами существует в природе? Этого, вероятно, мы никогда не постигнем; но когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть также в зависимости с углами. По крайней мере разнородность одинакова в обоих случаях, которых различие не заключается собственно в понятии, но только в том, что мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при недостатке наблюдений должны предполагать умственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений.
«Новые начала геометрии». 1835.
Замечательные мысли Н.И.Лобачевского о необходимой связи свойств пространства и действующих в нем материальных сил получили впоследствии свое конкретное осуществление в общей теории относительности А.Эйнштейна.
Нельзя забывать о роли Лобачевского как выдающегося университетского деятеля первой половины XIX века, отдавшего почти двадцать лет своей жизни строительству и развитию Казанского университета, замечательного педагога, просветителя и методиста.
Эта сторона его деятельности хорошо иллюстрируется речью Н.И.Лобачевского «О важнейших предметах воспитания». Она была произнесена им в 1828 году по истечении первого года ректорства. Речь публикуется с несущественными для ее темы сокращениями.
О важнейших предметах воспитания
Николай ЛОБАЧЕВСКИЙ
В каком состоянии, воображаю, должен бы находиться человек, отчужденный от общества людей, отданный на волю одной дикой природе. Обращаю потом мысли к человеку, который среди устроенного, образованного гражданства последних «веков просвещения высокими познаниями своими составляет честь и славу своего отечества. Какая разность, какое безмерное расстояние разделяют того и другого. Эту разность произвело воспитание. Оно начинается от колыбели, приобретается сперва одним подражанием; постепенно развертываются ум, память, воображение, вкус к изящному, пробуждается любовь к себе, к ближнему, любовь славы, чувство чести, желание наслаждаться жизнью. Все способности ума, все дарования, все страсти, все это обделывает воспитание, соглашает в одно стройное целое, и человек, как бы снова родившись, является творением в совершенстве.
Наружный вид его, возвышенное чело, взор, который всюду устремляется, все созерцает вверху, вокруг себя; черты лица, в которых изображается чувственность, покоренная уму, – все показывает, что он родился быть господином, повелителем, царем природы. Но мудрость, с которой он должен править с наследственного своего престола, не дана ему от рождения: она приобретается учением.
В чем же должна заключаться эта мудрость? Чему должно нам учиться, чтобы достигнуть своего назначения? Какие способности должны быть раскрыты и усовершенствованы, какие должны потерпеть перемены, что надобно придать, что отсечь как излишнее, вредное?
Мое мнение: ничего не уничтожать и все усовершенствовать. Неужели дары природы напрасны?..
Всего обыкновеннее слышать жалобы на страсти, но как справедливо сказал Мабли: чем страсти сильнее, тем они полезнее в обществе; направление их может быть только вредно.
Что же надобно сказать о дарованиях умственных, врожденных побуждениях, свойственных человеку желаниях? Все должно остаться при нем: иначе исказим его природу, будем ее насиловать и повредим его благополучию.
Обратимся, во-первых, к главнейшей способности, уму, которым хотят отличить человека от прочих животных, противополагая в последних инстинкт. Я не того мнения, чтобы человек лишен был инстинкта, который является во многих действиях ума, который в соединении с умом составляет гений. Замечу только мимоходом, что инстинкт не приобретается; гением быть нельзя, кто не родился. В этом-то искусство воспитателей: открыть гений, обогатить его познанием и дать свободу следовать его внушениям. Ум, если хотят составить его из воображения и памяти, едва ли отличает нас от животных. Но разум, без сомнения, принадлежит исключительно человеку; разум, это значит известные начала суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины вселенной и которые соглашают, таким образом, все наши заключения с явлениями в природе, где противоречия существовать не могут.
Как бы то ни было, но в том надобно признаться, что не столько уму нашему, сколько дару слова одолжены мы всем нашим превосходством перед прочими животными. Из них самые близкие по сложению своего тела, как уверяют анатомики, лишены органов, с помощью которых могли бы произносить сложные звуки. Им запрещено передавать друг другу понятия. Одному человеку предоставлено это право; он один на земле пользуется сим даром; ему одному велено учиться, изощрять свой ум, искать истин соединенными силами. Слова, как бы лучи ума его, передают и распространяют свет учения. Язык народа, свидетельство его образованности, верное доказательство степени его просвещения.
Чему, спрашиваю я, одолжены своими блистательными успехами в последнее время математические и физические науки, слава нынешних веков, торжество ума человеческого? Без сомнения, искусственному языку своему, ибо как назвать все сии знаки различных исчислений, как не особенным, весьма сжатым языком, который, не утомляя напрасно нашего внимания, одной чертой выражает обширные понятия. Такие успехи математических наук, затмивши всякое другое учение, справедливо удивляют нас; заставляют признаться, что уму человеческому предоставлено исключительно познавать сего рода истины, что он, может быть, напрасно гоняется за другими; надобно согласиться и с тем, что математики открыли прямые средства к приобретению познаний. Еще не с давнего времени пользуемся мы сими средствами. Их указал нам знаменитый Бэкон. Оставьте, говорил он, трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины, и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно...
Одно образование умственное не довершает еще воспитание. Человек, обогащая свой ум познаниями, еще должен учиться уметь наслаждаться жизнью. Я хочу говорить об образованности вкуса.
Жить, значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живем. Так стихотворец наш Державин говорит о людях:
Непостоянство – доля смертных, В пременах вкуса – счастье их. Среди утех своих несметных Желаем мы утех иных.
Единообразное движение мертво. Покой приятен после трудов и скоро обращается в скуку. Наслаждение заключается в волнении чувств под тем условием, чтобы оно держалось в известных пределах. Впрочем, все равно, на веселое или печальное обращается наше внимание. И возвраты к унынию приятны; и трогательные картины бедствий человеческих нас привлекают. С удовольствием слушаем мы Эдипа на сцене театра, когда он рассказывает о беспримерных своих несчастиях. Веселое и печальное, как две противные силы, волнуют жизнь нашу внутри той волны, где заключаются все удовольствия, свойственные человеческой природе. Или подобно реке она течет в излучистых берегах: то разливается в лугах радости, то обмывает крутые утесы горестных размышлений. Ничто так не стесняет сего потока, как невежество: мертвою, прямою дорогою провожает оно жизнь от колыбели к могиле...
Кажется, природа, одарив столь щедро человека при его рождении, еще не удовольствовалась. Вдохнула в каждого желание превосходить других, быть известным, быть предметом удивления, прославиться, и таким образом, возложило на самого человека попечение о своем усовершенствовании. Ум в непрестанной деятельности силится стяжать почести, возвыситься – и все человеческое племя идет от совершенства к совершенству – и где остановится?
Другие обязанности отзывают и охлаждают стремление к славе. Срочное время поручено человеку хранить огонь жизни, хранить с тем, чтобы он передал его другим. Он живет, чтобы оставить по себе потомство. Любовь к жизни, сильное побуждение во всех тварях, ты исполняешь высокую цель природы, Я переступил через вершину моей жизни, при первом шаге чувствую уже тяжесть, которая увлекает меня по отлогости второй половины моего пути. Всегда был я внимателен к явлениям организма; теперь не могу наблюдать, не могу говорить о них равнодушно. Покоится жизнь в зерне растения под охранительной пленою против враждебных стихий, но деятельность их, наконец, улучает время и до того беззаботная вдруг пробуждается от сна. Тогда с превосходством еще сил строит она орудное жилище против непрестанного нападения. Скоро, почувствовав неравный бой, помышляет о побеге и скрывается в новом зерне. Вот краткое описание явления жизни в растении – животном и человеке. Чем удержать это стремление к побегу изменяющей жизни? Как рано пробуждается оно, и как верно рассчитано бывает время? Посмотрите на этот прививок: он уже цветет в первую весну. Органическая сила в нем предчувствует, что отчужденной черен от родного дерева не долговечен и что ей надобно спешить с плодами. Посмотрите на огородные овощи, когда холодные ночи грозят им скорым морозом: вдруг останавливают они рост свой, и зерна в них спеют. Яблоко, тронутое червем, зреет ранее других и валится на землю. Так порок сокращает жизнь, так юноша созревает преждевременно, удовлетворяя ранним своим желаниям, и ложится в могилу, когда бы ему надобно было цвести. Мы все живем втрое, вчетверо менее, нежели сколько назначено природой...
Натуралисты, сравнивая время возрастания человека и животных, приходят к тому же заключению: мы должны бы, говорят они, жить около 200 лет. Но увы, напрасно жизненная сила собирает питательные соки; их сожигает огонь страстей, снедают заботы и губит невежество. Пылкость нашего воображения, наше знание, всегда готовые воспоминания будят страсти и призывают желания недолжные. Наставник юношества пусть обратит сюда внимание и постарается предупредить безрассудность молодости, еще не знающей цены своему здоровью...
Мы родимся с добродетелями, и совесть дана им в охранение. Примеры учат лучше, нежели толкования и книги.
Вы, воспитанники сего заведения, вы пользовались этими примерами. Уверен, что вы отсюда понесете любовь к добродетели и сохраните ее вместе с благодарностью к вашим наставникам. Вы узнаете, и опыт света еще более уверит вас, что одно чувство любви к ближнему, любви бескорыстной, беспристрастной, истинное желание добра вам налагало на нас попечение просветить ваш ум познаниями, утвердить вас в правилах веры, приучить вас к трудолюбию, к порядку, к исполнению ваших обязанностей, сохранить невинность ваших нравов, сберечь и укрепить ваше здоровье, наставить вас в добродетелях, вдохнуть в вас желание славы, чувство благородства, справедливости и чести, этой строгой, неприкосновенной честности, которая бы устояла против соблазнительных примеров злоупотребления, недосягаемых наказанием.
Еще вы не в состоянии дать истинной цены словам моим, и не вдруг опытность может вразумить вас. Теперь вступаете вы в свет, новизна и многоразличность впечатлений не дают места размышлениям. Но придет время, когда на блеске настоящего вдруг явится прошедшее с обворожительной прелестью своего туска, подобно нежной затуманенной резьбе на ярком золоте, подобно отраженным предметам в слабом зеркале вод, тогда лета воспитания, лета беззаботной юности со всеми невинными удовольствиями предстанут в вашем воспоминании, как образ совершенного счастья, невозвратимо потерянного. Тогда вашего товарища учения встретите вы как родного; тогда в разговоре о вашей юности с благодарностью будете произносить имена ваших наставников, признаетесь, сколь много они желали вам добра, и с торжеством друг другу дадите обещание следовать примерам, от нас слышанным...