Об основаниях теории множеств

П. Дж. Коэн

Высказываться о философских проблемах теории множеств, — разумеется, не совсем то, что высказываться о самой теории множеств. Я, по крайней мере, в этом положении чувствую себя непривычно и неловко. Я остро ощущаю тщетность попыток сформулировать позицию, приемлемую для всех или хотя бы для многих, и одновременно сознаю непоследовательность и трудности моей собственной точки зрения. Конечно же, те, кто до меня совершали этот рискованный переход от математики к философии, обычно шли на это на более позднем этапе своей научной карьеры. Наконец, к довершению трудностей, почти немыслимо добавить что-нибудь новое к этому старому спору. В самом деле, я склонен думать, что на такие фундаментальные вопросы любые технические достижения почти не проливают света — хотя, конечно, они могут повлиять на распространение той или иной точки зрения.

Но вот, невзирая на все эти оговорки, я чувствую некоторое воодушевление от возможности высказать свои мысли, надеюсь, не слишком догматично, и указать на обстоятельства, на которые, пожалуй, следует указать. Фундаментальные открытия в логике были сделаны так недавно, что мы ещё в состоянии разделять глубокое волнение от этих поисков вслепую. Всплеск исследовательской активности в теории множеств, о котором свидетельствует нынешняя встреча, возможно, усиливает наш энтузиазм. Тон сегодняшних философских дискуссий, однако, как будто изменился. Возможно, математики полностью выложились в неистовых спорах прошлого, или их аудитория утомилась от полемики, — как бы то ни было, сейчас принято формулировать свою точку зрения, но не пытаться тут же обращать слушателя в собственную веру. В этом духе собираюсь выступить и я, чистосердечно уверив слушателей в своей терпимости к чужим взглядам.

Хотя я не представляю себе, что можно было бы назвать «истинным» прогрессом в основаниях математики, очень интересно проследить с точки зрения историка, как высказывались на эту тему разные поколения, и попытаться угадать, как окрашивал их мнения дух времени. Сам я предпочитаю рассматривать математическую деятельность как сугубо человеческое предприятие, а отнюдь не как безличное наступление науки, свободной от всех человеческих слабостей. Так, позиция по вопросам оснований, которую занимает тот или иной математик, в большой мере определяется его воспитанием и окружением. Мне кажется, что желание принять принципы, ведущие к интересной и красивой математике, в прошлом безусловно преодолело разнообразную и серьёзную критику. В этом докладе я хотел бы указать на аналогичные тенденции, которые существуют сегодня.

Прежде в центре споров находились многие вопросы, о которых я без особых на то причин высказываться не стану, например, закон исключённого третьего. Хотя он и связан с проблемами теории множеств, скажем, через использование непредикативных определений, сам по себе он не относится к теории множеств и здесь обсуждаться не будет. Я не намерен заниматься также всеми остальными проблемами законности применения исчисления предикатов, вопросами о природе формализации математики и чисто философскими вопросами, мало связанными со спецификой математического знания. Для меня важнейшей проблемой представляется существование бесконечных совокупностей. Отношение к бесконечным множествам по традиции было критерием размежевания математиков. Знаменитые логические антиномии никогда не играли заметной роли в математике просто потому, что они не имели ничего общего с обычно используемыми рассуждениями. Никогда не рассматривались все мыслимые объекты универсума, длины описаний и т.п. Все эти трудности принадлежат, собственно, истории развития понятия формальной системы. Подобно этому, парадоксы Зенона вовсе не производят на нас впечатления демонстрации серьёзных трудностей, ради чего они и были придуманы. В общем, я склонен считать, что многие из этих проблем исторически связаны с переходным периодом от классической философии к нынешней математике.

Нет сомнения, что в ряде случаев бесконечными множествами можно пользоваться без особых опасений. Очевидно, всё равно, сказать ли, что некоторым свойством обладают все целые числа или все элементы множества целых чисел. Точно также, сказать, что n принадлежит множеству четных чисел, всё равно, что сказать «n чётное». Иными словами, можно заменить использование некоторых множеств названием соответствующих свойств. Если бы это удавалось сделать всегда, у нас осталось бы мало оснований для беспокойства. В теории чисел, желая избежать апелляции к понятию произвольного множества целых чисел, мы должны формулировать принцип индукции отдельно для каждого свойства, которое можно выразить. Однако чрезвычайная сложность теории множеств, особенно её непредикативный характер, мешают просто представлять себе множества как стенограмму свойств. Всё же самые мощные и характерные аксиомы теории множеств — аксиомы степени и подстановки — описывают множества свойствами, а гёделевская теория конструктивных множеств показывает, что некоторую модель теории множеств можно получить, рассматривая вообще только множества, в некотором смысле отвечающие свойствам. То обстоятельство, что аксиома подстановки есть на самом деле бесконечная схема аксиом, в определённых отношениях является недостатком. Действительно, создаётся впечатление, что мы позволяем рассматривать лишь некоторые свойства, вместо того чтобы указать фундаментальное описание способов построения множеств. Конечно, всё это связано с теоремой Гёделя о неполноте, согласно которой никакая конечно аксиоматизируемая система не может быть полной. Эта теорема является величайшим препятствием для любой попытки полностью понять природу бесконечных множеств. Одновременно, показывая, что высшие бесконечности отражаются в теории чисел, ибо позволяют нам доказывать недоказуемые без них утверждения, теорема Гёделя чрезвычайно затрудняет отстаивание той точки зрения, что высшие бесконечности можно попросту отвергнуть. Наша привычка к теореме о неполноте не должна мешать нам постоянно видеть эту фундаментальную недостаточность всех формальных систем, которая имеет гораздо более далеко идущие последствия, чем независимость частных утверждений вроде гипотезы континуума. Именно это лежит в основе моего пессимистического мнения о том, что любое техническое достижение и в будущем не прольёт света на основные философские проблемы.

Рядовому математику, желающему лишь увериться в том, что его дело стоит не на песке, самым привлекательным способом избежать трудностей может показаться программа Гильберта. С этой точки зрения математика есть формальная игра, в которой следует заботиться лишь о непротиворечивости. С течением времени, когда операционный подход распространился на другие области, скажем, физику, привлекательность этой позиции, возможно, увеличилась. Можно работать лишь с непосредственно данными объектами, а в математике к таким относятся скорее формальные языки, чем бесконечные множества. Действительно, гильбертовская программа формализации по-прежнему остаётся единственной вполне точной (мы не говорим правильной) точкой зрения в этих вопросах. Вот убедительный пример того, как само по себе течение времени мало повлияло на появление новых и оригинальных концепций в основаниях. Но, разумеется, формализму присущи свои трудности, и прежде чем вернуться к нему, мы рассмотрим его главную альтернативу, точку зрения, которую можно назвать платонизмом, а мы предпочтём называть реализмом.

Сторонник реалистической философии полностью принимает ценности традиционной математики. Все вопросы типа гипотезы континуума допускают положительный или отрицательный ответ в реальном мире безотносительно к их независимости от той или иной системы аксиом. Вероятно, большинство математиков предпочли бы эту точку зрения. В ней начинают сомневаться лишь после осознания некоторых трудностей теории множеств. Если эти трудности особенно смущают математика, он спешит под прикрытие формализма, предпочитая, однако, в спокойное время обретаться где-то между двух миров, наслаждаясь лучшим, что есть в обоих. Главное преимущество реализма состоит в том, что он избавляет от необходимости обосновывать аксиомы теории множеств. Нет нужды устанавливать их непротиворечивость и, что кажется мне столь же важным, нет нужды объяснять, почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, вынужден будет признать любой реалист, состоит в неспособности объяснить нескончаемую последовательность новых аксиом, вроде высших аксиом бесконечности. Несомненно, самый закоренелый реалист содрогнётся, рассматривая кардиналы достаточно недостижимого типа. А есть ещё аксиомы, как аксиома об измеримом кардинале, которые сильнее всех предложенных аксиом бесконечности и относительно которых, по-видимому, нет ни малейших интуитивно убедительных свидетельств в пользу принятия или отвержения. Недавние результаты о независимости также бросают вызов реалистической позиции. Хотя некоторые чувствуют, что какая-то интуитивно приемлемая аксиома сможет в конце концов разрешить проблему континуума и подобные ей вопросы, нет ни малейшей надежды на такой исход для аксиомы об измеримом кардинале, которую ревностные теоретико-множественники, вероятно, вынуждены будут признать в качестве аксиомы, ни к чему не сводимой. Однако даже в этом отношении позиция реалистов завиднее, чем формалистов, потому что для последних существуют даже неразрешимые теоретико-числовые предложения, скажем, Consis (ZF). Оптимистическая точка зрения реалиста может состоять в том, что утверждение Consis (ZF + измеримый кардинал) как-нибудь сведётся к вопросу о непротиворечивости достаточно сильных предложений того же типа, что аксиомы бесконечности. Самая оптимистическая точка зрения заключается в надежде, что любой вопрос теории чисел решается с помощью подходящей аксиомы бесконечности.

Исторически математика как будто не склонна терпеть неразрешимые предложения. Такое предложение может быть возведено в ранг аксиомы и стать широко принятым после многократного употребления. Такова в общих чертах судьба аксиомы выбора. Я склонен оценить эту тенденцию просто как форму оппортунизма. Разумеется, это безличный и весьма конструктивный оппортунизм. Тем не менее, вера в ценность и важность математики не должна полностью изглаживать из нашего сознания честную оценку беспокоящих проблем. В случае с гипотезой континуума (КГ) эта тенденция может, хотя и с малым вероятием, привести теорию множеств к расщеплению на несколько ветвей в зависимости от принятой мощности континуума. Несколько цинично можно сказать, что оппортунизм решает философские проблемы так, чтобы развитие математики давало заработок возможно большему числу математиков. В последнее время много занимались вопросами независимости в теории множеств. Удивительный эффект состоит в том, что большая лёгкость в обращении с этими вопросами привела к бóльшей вере в «реальность» математических объектов теории множеств. Было бы поистине печально, если бы эта волна успеха закончилась полным пренебрежением к философским проблемам гипотезы континуума и смежных вопросов как непоследовательным. Разумеется, хорошая математика красива, тогда как философские дискуссии по большей части бесплодны и уж, конечно, не красивы.

С реалистической позиции можно гадать о судьбе КГ. Казалось бы, только аксиомы типа аксиомы конструктивности, ограничивающие природу рассматриваемых множеств, могут разрешить её. С другой стороны, мало надежды, что такая аксиома будет принята в качестве интуитивно очевидной. Более правдоподобно, что в качестве аксиомы будет принято её отрицание. Оправдание этого может состоять в том, что континуум, данный как множество всех подмножеств, не может быть достигнут любыми средствами, строящими кардиналы, исходя из меньших, на основе аксиомы подстановки. Таким образом, континуум следует считать большим, чем ₁; _n, _ω и т.д. Разумеется, всё это — чистая спекуляция. Технические последствия принятия различных аксиом, связанных с КГ, уже в какой-то мере привлекли внимание. Хотя эта работа может представлять большую эстетическую ценность, в высшей степени неправдоподобно, что она способна привести к прояснению фундаментальных философских проблем.

К этому моменту должно быть ясно, что я выбираю формализм. Едва ли можно назвать этот выбор мужественным, — вероятно, большинство известных математиков, высказывавшихся на этот счёт, в той или иной форме отвергали позиции реализма. Сформулировать свою точку зрения совершенно явно меня побудила речь Абрахама Робинсона в Иерусалиме в 1964г. Она вынуждает принять на себя тяжёлую ношу. Едва ли не тяжелей остального необходимость допустить, что КГ, — возможно, первый приходящий в голову важный вопрос о бесконечных множествах — не имеет внутреннего смысла. Жизнь была бы гораздо приятнее, не будь гильбертовская программа потрясена открытиями Гёделя. Я твёрдо верю, что программа Гильберта ни в каком смысле не может быть восстановлена. Доказательства непротиворечивости всегда вызывают острую неудовлетворённость и явно сохраняют черты порочного круга.

Как уже говорилось, величайшая слабость формализма состоит в необходимости объяснить успешность чисто формальных аксиом, составляющих теорию множеств. Моя точка зрения, неоднократно выражавшаяся и прежде, состоит в том, что эти аксиомы экстраполируют язык более финитистской математики. Тенденции к такому расширению очень сильны. Для пояснения позвольте мне сначала напомнить ситуацию, в которую рано или поздно попадает каждый логик. Беседуя с квалифицированным математиком, не знающим логики, обнаруживаешь трудность общения, едва лишь речь заходит о формальных системах и анализе структуры формул. Математик гораздо охотнее будет говорить о моделях какой-нибудь системы аксиом, нежели о множестве всех формул, доказуемых исходя из них. Разумеется, согласно теореме о полноте обе точки зрения эквивалентны. Однако имеется естественная тенденция заменить обсуждение методов и предложений обсуждением подходящих абстракций, рассматриваемых как «объекты» теории. Например, развитие вещественного анализа в XIX веке было отмечено изменением отношения к понятию функции. Сначала функция рассматривалась как явное правило, сопоставляющее числа числам. В конечном счёте функция стала представляться целостным объектом безотносительно к явному заданию способа её вычислять. Непрерывная нигде не дифференцируемая функция Вейерштрасса приобрела те же права на существование, что и sinx. Когда Кантор впервые обсуждал теорию множеств, возможно, значительная часть сопротивления была вызвана просто мнением, что говорить можно лишь о тех множествах, которые уже были явно определены. Всем нам известно, что точка зрения Кантора восторжествовала полностью. В конечном счёте главной причиной этого было, возможно, удобство. Гораздо проще говорить об абстрактных множествах, чем постоянно заботиться об их построении. Более свежий пример той же тенденции — теория категорий. Здесь говорят, скажем, о категории групп. Можно спросить, в чём преимущество выражения «G есть объект категории групп» перед выражением «G — группа». Простой ответ состоит в том, что перенос методов из одной категории в другую и даже доказательство общих теорем о категориях может подсказать очень полезные идеи. И всё же, если я не ошибаюсь по недостатку сведений о современных течениях, теоретико-множественные трудности работы с категориями не вдохновили многих специалистов по теории множеств и не оказали серьёзного влияния на логику в целом. Таким образом, полностью приняв весьма непредикативную теорию множеств, внутреннюю убедительность которой мы понимаем, мы как логики менее склонны принимать теорию категорий, корни которой лежат в алгебраической топологии и алгебраической геометрии. Хотя, возможно, существующих аксиом бесконечности было бы достаточно для формализации теории категорий, настойчивый специалист по ним мог бы возразить, что сами категории следует считать примитивными объектами. В определённом смысле они подобны классам в теории множеств Гёделя—Бернайса. И в этом случае классы, предназначенные всего лишь для замены бесконечной схемы аксиом Цермело—Френкеля, стали широко приняты как самостоятельные объекты. Другой пример того, как привычка притупляет критические способности, доставляет аксиома о недостижимом кардинале. Её принятие обычно оправдывают чисто отрицательными аргументами; дескать, неразумно считать, что любое множество достижимо. Здесь усматривается аналогия с переходом от конечных множеств к бесконечным. Совершив по индукции трансфинитную последовательность тех или иных операций замыкания, мы якобы всё ещё способны двинуться дальше и найти за этими пределами недостижимый кардинал. Мне кажется, однако, что это неубедительное рассуждение, поскольку оно скорее предназначено оправдать существование стандартной модели теории множеств, а эта гипотеза несравненно слабее. Честнее было бы признать, что недостижимые кардиналы можно принять, ибо, как показал опыт, это не ведёт к противоречиям, и мы развили некоторую интуицию, позволяющую надеяться, что противоречие не появится никогда.

Став на позиции формализма, я чувствую себя обязанным объяснить, почему я не призываю отменить всю инфинитистскую математику. Я хотел бы высказать следующее мнение: мы занимаемся теорией множеств по той причине, что ощущаем наличие неформального доказательства её непротиворечивости. Вот на чём основано это чувство: в каждом конкретном случае мы говорим лишь о специфических множествах, определённых свойствами и, прослеживая противоречие в обратном порядке, мы можем в конце концов свести его к теоретико-числовому. Использование непредикативных определений усложняет задачу интуиции, потому что неограниченная непредикативность определённо ведёт к хорошо известным парадоксам. Всё же обычная аксиома подстановки даёт нам возможность начать с какого-то множества упомянутую выше редукцию, ибо во вновь определяемом множестве каждый элемент должен быть занумерован подходящим элементом множества, построенного раньше. Уже высказав мнение, что техническое развитие не приводит к прояснению основ, я не намерен пытаться дать строгое доказательство непротиворечивости, основанное на каком-нибудь мощном высшем принципе, эквивалентном теории Цермело—Френкеля. Я ограничусь лишь наброском общей схемы, внутри которой развиваются эти интуитивные соображения.

Вот один из способов размышлять о доказательствах непротиворечивости. Начнём с конечного числа аксиом, скажем, S₁. Для каждого множества, существование которого постулируется, выберем по символу и подставим его в соответствующее утверждение. Получится новая система утверждений S₂. Чтобы перейти к S_k, мы выбираем новые символы для всех множеств, существование которых утверждалось ранее; кроме того, для каждого утверждения вида x A(x) и каждого уже введённого символа c мы добавляем A(c). Предположим, что на некотором шаге появится противоречие между суждениями без кванторов. Для удобства мы можем на некоторых стадиях расщепить вывод на две ветви, добавляя в одной из них A, а в другой ~A. Предположим, что к противоречию приводит и то и другое. Положение дел ещё можно упростить, не добавляя всех суждений, а лишь необходимые. Наша цель — набросать способ уменьшения сложности противоречия. Начнём с символов  и ω. Допустим, что на некотором шаге мы встретились с множеством x₁, которое определяется частным случаем аксиомы подстановки, отвечающим некоторому свойству. Если другое множество x₂ в конца концов появляется в формуле x₂  x₁, мы можем попытаться исключить x₁, заменив его соответствующим свойством x₂, и расщепить вывод на две ветви, предположив, что x₂ им обладает или нет. Если само множество x₁ появляется позже, мы попытаемся заменить его конечным множеством тех его элементов, которые появляются в ходе вывода. Разумеется, чтобы уточнить всё это, необходим анализ непредикативных определений и упорядочение степеней непредикативности. Зная, что теорема о неполноте делает эту задачу по существу безнадёжной, мы не станем ею заниматься. Ключевой пункт состоит в том, что всякий элемент нового множества должен быть связан с некоторым элементом множества, построенного раньше, так что редукцию можно продолжать. В парадоксе Рассела этому мешает круг. Общеизвестно, что Гентцен провёл такое доказательство для теории чисел в пределах ординала ε₀. В случае Цермело—Френкеля неясно, можно ли определить аналогичный ординал. Если ответ положителен, было бы интересно изучить его связь с другими известными инвариантами, например, счётным ординалом минимальной модели. Это такой наименьший ординал α, что M_α, множество Гёделя на α-м шаге, является моделью для аксиом Цермело—Френкеля. Ординал из теории вывода должен быть меньше, ибо он «строит» наименьшую нестандартную модель аксиом.

Даже в самом оптимальном случае схема, которую я набросал, позволила бы справиться лишь с проблемами, связанными с аксиомой подстановки. Наша интуиция о недостижимых или измеримых кардиналах ещё недостаточно развита или по крайней мере не поддаётся передаче в общении. Мне кажется, тем не менее, что полезно развивать наше таинственное чувство, позволяющее судить о приемлемости тех или иных аксиом. Здесь, разумеется, мы должны полностью отказаться от научно обоснованных программ и вернуться к почти инстинктивному уровню, сродни тому, на котором человек впервые начинал думать о математике. Лично я, например, не в состоянии отказаться от этих проблем теории множеств просто потому, что они отражаются в теории чисел. Я сознаю, что моя позиция в прагматическом плане мало чем отличается от позиции реализма. Всё же я чувствую себя обязанным сопротивляться великому эстетическому соблазну без околичностей принять множества как существующую реальность.

Читатель безусловно ощутит горечь пессимизма в моих заметках. Математика подобна прометееву труду, который полон жизни, силы и привлекательности, но содержит в самом себе зерно разрушающего сомнения. К счастью, мы редко останавливаемся, чтобы обозреть положение дел и подумать об этих глубочайших вопросах. Всю остальную жизнь в математике мы наблюдаем блестящую процессию и, возможно, сами участвуем в ней. Великие задачи теории множеств, казавшиеся неодолимыми, падают. Изучаются новые аксиомы, всё большие и большие кардиналы становятся доступнее интуиции. Маяк теории чисел сияет над этой зыбью. Когда сомнения начинают одолевать нас (что, я надеюсь, происходит нечасто), мы отступаем под безопасные своды теории чисел, откуда, собравшись с духом, снова бросаемся в неверные воды теории множеств. Такова наша судьба — жить, сомневаясь; преследовать цель, в абсолютности которой мы не уверены; короче, понимать, что наша единственная «истинная» наука имеет всё ту же смертную, возможно, опытную природу, что и все прочие человеческие предприятия.