Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Курсовая работа по сеточным методам
Студент: Смирнов А.В.
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Москва 2002
Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью 
. На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена 
и температурой среды 
. Коэффициент теплопроводности материала пластины 
Введем декартову систему координат 
, выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2.
Рис. 2
Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
(1)
(2)
(3)
где 
- направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, 
- граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена 
, 
- граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности 
.
Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала
. (4)
Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.
Результат триангуляции представлен на рис.3.
Рис. 3
Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.
Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины 
и 
. Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы
, (5)
где 
, A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры 
в узловых точках
. (6)
Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов 
, каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
. (7)
Минимум функционала (4) находим из условия
(8)
Функционал можно представить в виде
(9)
Здесь 
, глобальный вектор температур 
, 
- матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид 
, 
. Локальный вектор температур 
. Здесь матрица геометрических связей 
имеет размерность 
. Элементы этой матрицы определяются следующим образом: 
; все остальные элементы равны нулю.
Продифференцируем функционал (9):
Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем 
, где матрица теплопроводности элемента 
; вектор нагрузки элемента 
.
В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.
В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица 
и вектор 
будут определяться несколько различным образом.
Обозначим
.
Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат 
. Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью 
. Координаты 
определяются из соотношений 
.
Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:
Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то 
. Если ко второй, то 
. Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то 
.
Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений
, (10)
где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам
, 
. (11)
Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:
Вычисление 
разложения матрицы 
(
).
Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше 
(
определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы могут привести к большим отклонениям в решении.
. 
.
Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
Рис.7
Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).