Симметpия относительно окpужности

Со временем замечаешь, как непохожи друг на друга пути, ведущие к решению красивых геометрических проблем. Бесконечность возможных направлений поиска многих людей приводит в трепет, но одновременно дает хорошую надежду отыскать свою собственную дорогу в геометрическом лабиринте. В любом случае открытие метода, позволяющего решить целый ряд сложных задач, является событием большой редкости. Об одном из таких методов и пойдет речь в этой статье. Мы начинаем с перечисления некоторых классических проблем, решения которых будут приведены позже.

A. Четыре окружности w₁, w₂, w₃ и w₄ расположены таким образом, что w_i касается w_i+1 для i < 4, а w₄ касается w₁. Образуются четыре точки касания. Доказать, что найдется окружность, проходящая через все эти точки.

B. Разделить с помощью циркуля данный отрезок (AB) на n равных частей (n Î N).

C. Только с помощью циркуля найти центр данной окружности.

D. Даны точки A, B, C, D и окружность w. Только с помощью циркуля найти пересечение прямых (AB) и (CD), а также точки пересечения прямой (AB) с окружностью w (задачи геометрии Мора-Маскерони).

E. Построить окружность, которая проходит через две данные точки A и B и касается данной окружности w₁.

F. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей.

G. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

H. Для двух различных точек A и B и положительного числа k найти геометрическое место точек X, для которых отношение |XA|/|XB| равно k ¹ 1 (окружность Аполлония).

I. Для произвольного треугольника через r, R и d обозначим соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Доказать, что d² = R²-2Rr (формула Эйлера).

Инверсия и ее свойства

В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать преобразование плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение). Под инверсией плоскости a относительно окружности w(O,R) с центром в точке O и радиусом R понимают такое преобразование множества a\{O}, при котором каждой точке A Î a\{O} ставится в соответствие такая точка A¢, что A¢ лежит на луче (OA) и |OA|·|OA¢| = R² (далее будем использовать обозначение inv_O^R(A) = A¢). Заметим сразу, что инверсия не определена в точке O, но иногда бывает полезно добавить к плоскости одну бесконечно удаленную точку, т.е. рассмотреть множество aÈ{¥} и при этом считать, что inv_O^R(O) = ¥ и inv_O^R(¥) = O.

На рис. 1 указан способ построения образа точки A при инверсии относительно окружности w = w(O,R). Для этого проводят перпендикуляр (AB) к прямой (OA) и из точки пересечения wÇ(AB) проводят касательную к окружности w. Из подобия треугольников DOAB и DOBA¢ получаем отношение |OA|/ |OB| = |OB|/ |OA¢| или

|OA|·|OA¢| = |OB|² = R². Следовательно inv_O^R(A) = A¢.

Рис. 1

На рис. 2 построение образа выполнено только с помощью циркуля (в предположении, что |OA| > R/2). Для этого достаточно провести окружность

w(A,|OA|) и для двух точек пересечения w(O,R)Çw(A,|OA|) построить равные окружности w(B,R) и w(C,R). Вторая точка пересечения w(B,R)Çw(C,R), отличная от точки O, является искомой. Для доказательства используем подобие равнобедренных треугольников DOBA¢ и DOBA. Сначала получаем |OA¢|/ |OB| = |OB|/|OA|, а затем, необходимое |OA|·|OA¢| = |OB|² = R². Если же |OA| £ R/2, то сначала увеличивают отрезок (OA) в n раз до отрезка (OB) (удвоение отрезка показано на рис. 3 - последовательно откладывают радиус |OA| на окружности w(A,|OA|) и используют свойство правильного вписанного шестиугольника), после этого находят B¢ = inv_O^R(B) и снова увеличивают (а не уменьшают!) отрезок (OB¢) в n раз до отрезка (OC). Можно доказать, что C = inv_O^R(A).

Рис. 2 Рис. 3

Из многочисленных свойств инверсии рассмотрим лишь следующие. Пусть

A¢ = inv_O^R(A) и B¢ = inv_O^R(B).

I. Если A ¹ B, то A¢ ¹ B¢.

Утверждение требует проверки только когда лучи (OA) и (OB) совпадают. В этом случае |OA| ¹ |OB| и поэтому |OA¢| ¹ |OB¢|. Приходим к неравенству A¢ ¹ B¢.

II. Все точки окружности w(O,R) при инверсии inv_O^R остаются неподвижными. Внутренние точки круга с границей w(O,R) переходят во внешние, а внешние - во внутренние.

Первая часть утверждения очевидна, а вторая следует из замечания: если

|OA| < R, то |OA¢| = R²/|OA| > R.

III. Если A¢ = inv_O^R(A), то A = inv_O^R(A¢). Для произвольных фигур F и F¢ из условия F¢ = inv_O^R(F) также следует F = inv_O^R(F¢).

IV. Треугольники DAOB и DA¢OB¢ подобны. При этом ÐOBA = ÐOA¢B¢.

Достаточно заметить, что эти треугольники имеют общий угол, а из равенства |OA|·|OA¢| = R² = |OB|·|OB¢| следует равенство отношений |OA|/|OB¢| = |OB|/|OA¢|. Обратите внимание, что в отличие от подобия, пропорциональность связывает стороны (OA) и (OB¢), (OB) и (OA¢), а не (OA) и (OA¢), (OB) и (OB¢). Из подобия получаем ÐOBA = ÐOA¢B¢.

V.

|A¢B¢| = |AB|