Распространение плоской волны

Лекция 7

5. Распространение (плоской) волны.

Некоторые “тонкости”

по фронту

φ = const

θ θ излучение при

θ = 0

Мне бы хотелось еще раз подчеркнуть, что колебания в некоторой области пространства вызывает колебания в соседних областях, они в свою очередь вновь вызывают колебания и так происходит распространение волны. Рассмотрим на примере плоской волны этот вопрос несколько подробнее.

На рисунке показана плоскость, параллельная фронту волны, распространяющейся направо. Колебания в этой плоскости происходят с постоянной (по осям координат) фазой, и мы выяснили, что в такой ситуации излучение происходит по направлению θ = 0. Но таких направлений два - налево и направо. И представляется довольно естественным вопрос: почему волна распространяется только в одном направлении? Почему колебания электрического поля плоской волны в некоторой плоскости, параллельной фронту, вызывает распространение колебаний лишь в одном направлении, в направлении распространении волны? Попробуем ответить на этот вопрос.

4 1 2 3

Δx

X

Рассмотрим некоторую протяженную узкую область, например, в виде цилиндра, ось которой перпендикулярна фронту плоской волны . Выберем в этой области две произвольные точки на расстоянии Δx. В этих точках, как и в любой другой точке внутри выделенной области, происходят колебания вида . При этом разность фаз колебаний φ2-φ1 = -kΔx - мы уже говорили, что для разных точек вдоль оси 0X величина -kx имеет смысл начальной фазы.

Эти точки (области малого объема) являются (не “могут считаться”, а именно “являются”!) источниками волн, распространяющихся во времени колебаний. И эти колебания в точке 3 происходят в фазе, складываются. Действительно, колебания в точке 1 опережают колебания в точке 2 на kΔx, но из этой точки колебания до точки 3 распространяются дольше на . Поэтому разность фаз колебаний волн, приходящих в точку 3 из точек 1 и 2

.

Естественно, из точек 1 и 2 колебания распространяются и назад, к точке 4. Но теперь дольше распространяются колебания от точки 2. Поэтому

и всегда найдутся такие две точки, что будет выполняться равенство 2kΔx = π, - колебания будут гасить друг друга.

Этим и объясняется, то обстоятельство, что если в некоторой области распространяется плоская волна, то в противоположном направлении распространения колебаний возникать не будет.

6.1. Отражение света на границе раздела двух сред

Рассмотрим несколько подробнее процесс отражения на границе двух сред.

Прежде всего вспомним, что мы говорили при анализе отражения света от металлического зеркала. При падении на поверхность металла волна, естественно, вызывает колебания находящихся в нем электронов. Эти колеблющиеся электроны, в свою очередь, влево и вправо от поверхности излучают плоские волны с амплитудой, равной по модулю амплитуде падающей волны и противоположной по знаку. То, что эти вторичный волны одинаковы следует из соображений симметрии, а изменение знака амплитуды следует из такого элементарного рассуждения. В направлении распространения падающей волны (в металле) волна не распространяется. Но она равна сумме волны падающей и излученной колеблющимися электронами. Значит, их амплитуды противоположны по знаку.

Обратите внимание - мы не анализируем характер движения электронов, не подсчитываем амплитуду их колебаний и амплитуду излучаемых волн и проч. Мы судим о одной из волн по результату сложения другой с падающей волной.

E0 E1⊥ E1||

E2⊥ E2||

α α β α β

E0 E0⊥ E0||

При падении луча света на границу раздела двух сред, когда возможно распространение волны (в отличии от металла) в обеих средах, происходят достаточно сложные процессы. И прежде всего сложности связаны с тем, что процесс отражения происходит по-разному для волн, колебания вектора электрического поля которых происходят перпендикулярно плоскости падения (E0⊥) и параллельно ей (E0||). Любая волна представляет собой сумму волн с такими направлениями колебаний электрического вектора, но процессы отражения и преломления их мы рассматриваем по отдельности, одновременно их сравнивая.

Введенные обозначения должны быть понятны из рисунка.

Отражение двух компонент с разными направлениями линейной поляризации происходит по-разному. Отраженная волна, как и в случае металлического зеркала, излучается колеблющимися электронами Среды, и их колебания происходят в направлении, перпендикулярном преломленному лучу.

Вспомним особенности зависимости амплитуды излучаемой диполем в перпендикулярной и параллельной направлению его колебаний плоскостях. В первой амплитуда волны не зависит от направления, как это и следует из соображений симметрии. Иначе обстоит дело в параллельной направлению колебаний плоскости.

θ θ

dE/dθ = 0 E = E0cos(θ)

Дело в том, что в направлении, совпадающим с направлением колебаний, диполь волну не излучает. Для произвольного направления, составляющим угол θ с направлением колебаний диполя, амплитуда колебаний E = E0cos(θ). Это будет понятным, если вспомнить, что диполь можно представить как сумму двух диполей - параллельного направлению излучения (амплитуда излучаемой волны нулевая) и перпендикулярного - .

α β

α

Таким образом, в перпендикулярном преломленному лучу направлении и при параллельной плоскости падения поляризации свет отразиться не может: амплитуда отраженной волны в этом случае пропорциональна - угол между преломленным лучем, который направлен перпендикулярно направлению колебаний диполя, и лучем отраженным равен 1800-α-β, и .

Это обстоятельство приводит к любопытному эффекту: при α+β=π/2 отражения света при такой поляризации не происходит. Такой угол падения называется углом Брюстера:

.

Коэффициентом отражения называют отношение интенсивности отраженного луча к интенсивности луча падающего. Они, в свою очередь, пропорциональны квадратам амплитуд колебаний соответствующих волн. Их значения даются формулами Френеля. Мы опустим вывод этих формул, но упомянуть о них необходимо:

; .

Знак ’-’ перед отношениями тригонометрических функций означает, что при отражении от границы с оптически более плотной средой (α>β) отражение происходит с потерей полуволны.

Соответственно, коэффициенты отражения

; .

При α+β=π/2 будет и .

6.2. Полное отражение

До сих пор мы рассматривали падение луча на границу вакуум - некоторое вещество, в вакууме n=1. При падении света на границу раздела двух сред, для которых n1≠1 и n2≠1 вид закона преломления несколько изменится:

.

При падении света на границу с оптически менее плотной средой (n1>n2) относительный показатель преломления n12<1 и β>α, и если sin(α)=n12, то β=π/2. При дальнейшем увеличении угла α преломленного луча наблюдаться не будет.

Такой предельный угол падения называется углом полного отражения - при таком и больших значениях α коэффициент отражения равен единице.

450

1

2

2’

1’

Явление полного (внутреннего) отражения используется в так называемой обращающей призме. Обычно это прямоугольная призма, угол падения на границу равен α=450. Чтобы происходило полное внутреннее отражение необходимо, чтобы коэффициент преломления n был больше .

При отражении от металлического зеркала мы говорили, что отраженная волна генерируется в результате колебаний электронов металла вблизи поверхности. Но при отражении от поверхности, разделяющей некую среду и вакуум, справа от поверхности электронов нет. Тогда возникновение отраженной волны можно объяснить только таким образом.

Электромагнитное поле проникает правее поверхности отражения, в вакуум, и там происходят электромагнитные колебания. Эти колебания и вызывают появление волны, которая гасит волну падающую (справа от границы отражения), и создает волну отраженную. И вот здесь, для понимания физики отражения оказывается существенным прежнее наше замечание, что при колебаниях электронов причиной излучения является, собственно, не сами колебания электронов, а колебания электромагнитного поля, которые обусловлены колебаниями электронов. В рассматриваемом случае электронов справа от поверхности отражения нет, но есть колебания электромагнитного поля как причина излучения отраженной волны.

Обратимся вновь к отражению световой волны на границе раздела вакуум-металл. В этом случае также происходит проникновение электромагнитного поля за границу отражения - в металл. При этом диэлектрическая проницаемость

.

При таком условии распространения волны наблюдаться не будет. Формально при отрицательном значении ε скорость распространения становится величиной мнимой как и показатель преломления n=c/v.

Давайте также формально воспользуемся выражением для фазовой скоростью в случае мнимого ее значения:

.

Вместо действительного волнового числа k в знаменателе теперь стоит мнимая величина ik’. Запишем выражение для колебаний в “волне” при мнимом волновом числе:

.

Мы получили выражение для колебаний, амплитуда которых экспоненциально зависит от координаты. Физический смысл это выражение может иметь только при k’<0 - амплитуда колебаний не может расти неограниченно. Заметим, что этот результат может быть получен и непосредственно из уравнений Максвелла.

Металлы часто бывают окрашенными. Мы наблюдаем их в отраженном свете и причина окрашенности отраженного света в том, что при некоторой частоте (частотах) электромагнитные колебания поглощаются в металле. Это согласуется с утверждением, что электромагнитная волна проникает на некоторую глубину внутрь металла. Об этом свидетельствует и то, что (весьма) тонкий слой металла может пропускать свет, коэффициент отражения ρ тонкого слоя зависит от его толщины. Такое зеркало называют полупрозрачным и оно используется на практике достаточно часто. Коэффициент пропускания такого зеркала равен 1-ρ зависит от того, как сильно уменьшается амплитуда колебаний . Вспомним еще раз, что в этом выражении k’<0.

Цвет металла в проходяшем свете оказывается дополнительным к цвету, наблюдаемому при его (света) при отражении.

6.3. Затухание волны

При частотах, близких к резонансной, происходит поглощение волны. Сколько-нибудь точный обсчет этого процесса для нас затруднителен. Ограничимся поэтому лишь качественным обсуждением того, что при этом происходит.

Объясняя, каким образом фазовая скорость может быть больше или меньше скорости света в вакууме, мы рассматривали сложение распространяющейся (со скоростью c), так сказать, первичной волны и другой, излучаемой колебаниями электронов некоторого слоя вещества. При этом соответствующая “добавка”, вектор был направлен перпендикулярно вектору . И направление вектора либо совпадало с направлением вращения вектора , либо противоположно. Связано это было со значением разности фаз между вынуждающей силой (действующим на электроны электрическим полем) и смещением электронов. Эти два случая соответствуют разности фаз 0 или π.

При резонансе разность фаз равна π/2. Поэтому вектор оказывается направлен вдоль вектора или составляет с ним некоторый угол, отличный от π/2. В результате изменяется амплитуда колебаний. При затухании волны, поглощении энергии, естественно, должно наблюдаться уменьшение амплитуды.

Соответствующее выражение для затухающей плоской волны можно получить, введя комплексное выражение для волнового числа:

;

.

Мы получили выражение для волны с экспоненциально убывающей амплитудой.

Отметим, что векторы и - это вспомогательные векторы векторной диаграммы, не векторы электрических полей.