Комплексные числа и действия над ними

1.   История развития комплексных чисел.

     Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке

  И до этого открытия при решении квадратного уравнения x 2 + + = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из ( p /2) 2 - q ,   где величина ( p /2) 2 была меньше, чем q . Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень

  Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён и народов.   На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием

2.О комплексных числах

В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными

  Комплексное число имеет вид a + bi ; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей

“Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел(когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0)

  Действительное число a назовем   абсциссой комплексного числа a + bi ; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi . Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно –1, т.е

                                       i 2 = -1.                                                            (1)

  Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности   правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i , потому что в разных областях науки этот смысл различен

  Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними

3 . Соглашение о комплексных числах.

Действительное число а записывается также в виде a + 0 i (или a – 0 i )

П р и м е р ы. Запись 3 + 0 i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0 i означает –2.  

Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi

Два комплексных a + bi ,   a ’ + b ’ i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если

a = a ’, b = b ’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим   соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:

2 + 5 i = 8 + 2 i , то по правилам алгебры мы имели бы   i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом

  З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5 i есть сумма чисел 2 и 5 i . Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7 i

4.Сложение комплексных чисел

  О п р е д е л е н и е.   Суммой комплексных чисел a + bi и a ’ + b ’ i называют комплексное число ( a + a ’) + ( b + b ’) i

  Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

  Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0 i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9)

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4.   (-2 + 3 i ) + ( - 2 – 3 i ) = - 4

  В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a + bi и a - bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу

  З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi . Так, число 2 и число 5 i в сумме дают число 2 + 5 i

5.Вычитание комплексных чисел.

О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a ’ + b ’ i (вычитаемое) называется комплексное число ( a – a ’) + ( b – b ’) i

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

6.Умножение комплексных чисел.

  Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a ’ + b ’ i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2­­­­­ = - 1. В силу требования 1) произведение ( a + bi )( a ’ + b ’ i ) должно равняться   aa ’ + ( ab ’ + ba ’) i + bb ’ i 2­­­ ­ , а в силу требования 2) это выражение должно равняться ( aa ’ – bb ’) +                            ( ab ’ + ba ’) i . В соответствии с этим устанавливается следующее определение

  О п р е д е л е н и е.   Произведением комплексных чисел a + bi и a ’ + b ’ i называется комплексное число

                                     (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i

З а м е ч а н и е 1. Равенство i 2­­­­­ ­ ­­ ­ ­­ = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 ­­­­­ ­­­­­­­, т. е. i * i , равнозначна записи (0 + 1* i )(0 + 1* i ). Здесь a = 0, b = 1, a ’ = 0, b ’ = 1 Имеем aa ’ – bb ’ = -1, ab ’ + ba ’ = 0, так что произведение есть        –1 + 0 i , т. е. –1.      

З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i 2­­­­ = -1

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 ­ = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число

7. Деление комплексных чисел.

  В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение

  О п р е д ел е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a ’ + b ’ i – значит найти такое число x + yi , которое, будучи помножено на делитель, даст делимое

  Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом

  Пример 1. Найти частное (7 – 4 i ) :(3 + 2i)

  Записав дробь (7 – 4 i )/(3 + 2 i ), расширяем её на число 3 – 2 i , сопряженное с 3 + 2 i .   Получим:

((7 – 4 i )(3 - 2 i ))/((3 + 2 i )(3 – 2 i )) = (13 – 26 i )/13 = 1 – 2 i

  Пример 1 предыдущего параграфа даёт проверку

  Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i

  Проступая, как в примерах 1 и 2,   найдем общую формулу:

     Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a ’ + b ’. Получим a + bi

З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления

З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: ( a ’ + b ’ i )( x + yi )   = a + bi . Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:

                                  a ’ x – b ’ y = a ; b ’ x + a ’ y = b

Эта система имеет единственное решение:

если a ’/ b ’ = - b ’/ a ’, т. е. если a ’ 2 + b ’ 2 = 0

  Остается рассмотреть случай a ’ 2 + b ’ 2   = 0. Он возможен лишь тогда, когда a ’ = 0 и b ’ = 0, т. е. когда делитель a ’ + b ’ i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное не определено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности)

8. Модуль и аргумент комплексного числа

  Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r . Из чертежа видно, что

                                  r = | a + bi | = a 2 + b 2            

  Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль

9. Геометрический смысл сложения и вычитания

комплексных чисел.

  Пусть векторы ОМ и ОМ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z = x + yi u z ’ = x ’ + y ’ i . Из точки М проведем вектор МК, равный OM ’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел

  Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’

  Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые

  Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

         || z | - | z ’|| < | z + z ’| < | z | + | z ’|

  Равенство имеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые (фиг.5) или противоположные (фиг.6) направления. В первом случае | OM | + | OM ’| = | OK |, т. е. | z + z ’|=| z | +      + | z ’|. Во втором случае | z + z ’|=|| z | - | z ’||

               10. Тригонометрическая форма комплексного числа.                                               

  Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль   r   и аргумент   q . Формулами

                   a = r cos q;                   b = r sin q

  Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r ( cos q + i sin q ), где r > 0

  Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.                              ­